Hodge理论

Part 1: Brief introduction to Hodge theory

(1) complex Hodge theory

对于一个complex manifold X，由代数拓扑的观点我们想研究它的homotopy type，比如cohomology group, fundamental group(nonabelian)

而在complex geometry里面有一类重要的就是Kahler manifold(example是可以embedding to a projective space的)，Kahler metric 提供了Kahler identity，这在Hodge分解中起到了作用

主要结果如下图，Hodge decomposition是Hodge structure定义的motivation, Hard Lefschetz是某种形式的Poincare duality

Kahler manifolds

X compact Kähler manifold (e.g. X ↪P”)

①Hⁿ(X，Q) carries a Hodge structure

Hⁿ(X，Q) ⨂ C ≃ ⨁ Hᵖ，q，Hᵖ，q＝Hᵖ，q＝Hq(X,，，Ωᵖₓ) p＋q＝n

，────

Hᵖ，q＝Hq，ᵖ.

②Hard Lefschetz：

– ∪[ω]ᵏ ： Hᵈ⁻ᵏ(X，C) ∼→ Hᵈ⁺ᵏ(X，C).

③ nonabelian Hodge theory ⇒ restrictions on π₁(X)(Kähler groups)

入门可以看Voison的Hodge theory and complex algebraic geometry第一卷的前两章

(2) p-adic Hodge theory‬

本质上引入period rings来作为p-adic analogue of complex numbers, 来进行各种cohomology的comparison. 比如de-Rham cohomology, crystalline cohomology, etale cohomology‬

最初的想法来源于对Hodge decomposition的p-adic analogue，Tate在p-divisible groups这篇文章中给出了Hodge-Tate decomposition for p-divisible groups，这里用到的是etale cohomology. 具体的解读可以看这个notes math.uni-bonn.de/ag/alg...

入门可以看Fontaine and ouyang 的Theory of p-adic Galois representations或者Brinon和Connad的notes math.stanford.edu/~conr...

Part 2: Applications

• 先说说complex Hodge theory里的核心猜想吧，Hodge conjecture简单概括就是Every Hodge class is algebraic. 这个unknown的东东，我们研究各种各样的版本，比如variations of Hodge structures, integral p-adic Hodge theory(over ring of integers of C_{p}，C是那个complex number)

• 这里插播一个关于Hodge conjecture的一个通俗易懂的解释，一句话概括Give a random shape, when it is homeomorphism to a shape described by polynomials? 换言之，就是把jagged edges变成smooth edges，附视频截图的解释

ALGEBRAIC

GEOMETRY ToPOLOGy

R² υ² P R R

P₂R

Tᵗ · Sᵗ × Sᵗ

y b β y x y x

SMOOTH

y

x

SHOOTH

jegepd

edge

SMOOTH

jogge

edge

StogcotTH

jegged

edge

Hodge Conjechve：

─────────

Given α rαndom shape，

ωhen is if homeomorphic

to α shαpe described by

polynomiαls?

• 关于moduli space的一些应用，complex Hodge theory重要的两个例子是abelian varieties和K3 surface，研究它们的moduli space的时候一个关键的条件是polarization on Hodge structure (保证了存在性)

• 最后说下p-adic Hodge theory里面的一个fundamental curve是Fargues-Fontaine curve，可以理解为twisted of P^1，性质是regular Noetherian scheme of Krull dimension 1.

应用主要思想是给出了geometric perspective on arithmetic objects. 有一些研究比如classification of vector bundles on Fargues-Fontaine curve，研究family of Fargues-Fontaine curves后续为了Langlands program里的一个Fargues猜想对于Fontaine-Fargues curve是否成立，如果成立，那么local Langlands conjecture可以理解为geometric Langlands conjecture on the Fargues-Fontaine curve

关于Fargues-Fontaine curve的进一步的参考的资料可以先看下这个outline

里面有一些不错的notes推荐，比如Morrow的Bourbaki seminar: Fargues-Fontaine curve and diamonds‬

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。