道义逻辑

今天我们来谈一谈道义逻辑(Deontic Logic)，这在伦理计算中可能会有作用。道义逻辑和义务与“应当”相关。

道义逻辑相关概念的引入

逻辑学家是如何理解道德的？我们引入一套符号，Op表示p是义务(It is obligatory that p)，Pp表示p是被允许的(It is permitted that p)，Fp表示p是被禁止的(It is forbidden that p)，这些算符满足关系：

Pp＝O ~ p

Fp＝O ~ p

道义逻辑满足公理K和公理D，即：

O(p → q) → (Op → Oq) K Axiom

Op → Pp D Axiom

公理D意为，凡是义务都是被允许的。

由公理D我们进行推导：

Op → Pp

⇔ ¬Op∨¬O¬p

⇔ ¬(Op ∧ O¬p)

也就是说不兼容性，Op和O¬p至多满足一者。

能否引入别的公理，以处理O算符的叠加？

首先公理T不能被引入。公理T意为Op → p。但是在我们的现实世界中，一个人可能不会履行自己的义务。但是我们可以引入公理OM，即O(Op → p)，即一个人有义务履行义务。

那么OO公理Op ↔ OOp可以引入吗？这条公理意为凡是义务，都有有义务成为义务。这不应该成立。在古代社会，服从皇帝的统治是义务，但这种“把这种义务作为一种义务”不应该是一种义务，就像现代社会不用服从皇帝的统治。

那么Pp ↔ OPp可以引入吗？这也不应该引入，类似的道理。在古代，允许妻妾制度，那么“允许妻妾制度”不应该是一种义务，因为现代不允许了。

善良的撒玛利亚人悖论(The Good Samaritan Paradox)

这一悖论是由普遍必要性规则(General NecessitationGN)导致的，我们将分析三种情况，说明我们应当舍弃GN.

所谓普遍必要性原则，即╞ p ⊃ q可以推出╞ Op ⊃ Oq。我们下面还会涉及几个关于普遍必要性原则的修订。

现在我们考虑一个命题：p → q。其中p为“那个善良的撒玛利亚人包扎了旅行者的伤口”，q为“那个旅行者受伤了”。这个命题p → q是恒为真的。

第一种情况，如果一般的普遍必要性规则(GN)成立，那么由于p → q为真，Op → Oq为真。意即：“如果那个善良的撒玛利亚人有义务包扎旅行者的伤口，那么旅行者有义务受伤。”这就很荒谬了。

接下来我们考虑二、三两种情况，二、三情况是修补的尝试。我们设W＝旅行者受伤，B＝这个善良的撒玛利亚人包扎了伤口。

W∧B → B

经过GN后，变为

O(W∧B) → OB

这一定为真，因为旅客没有义务受伤，O(W∧B)为假。这相当于没有表达除了O(W∧B)为假外的别的信息。。

第三种情况下，我们为了使得前陈为真，修正了前陈：原句子p → q依然是

W∧B → B

我们将GN的使用限制范围，这样写，前陈W∧OB就是真的了，因为旅客受伤，并且撒玛利亚人有义务包扎：

W∧OB → OW

但是这样的话，这就是一个假命题，因为前陈W∧OB 为真，后陈OW为假，旅客没有义务受伤。如果这样限制GN的适用范围，那么我们必须拒绝GN成立。

所以，为了解决这一悖论，我们应该拒绝普遍必要性原则(GN)成立。

奇泽姆难题(Chisholm's Puzzle)

如果我们仅仅采用道义逻辑的基本的语义，那么我们会面临悖论。我们来审视一个例子：

下面这四句话是互相独立的：

（1）小明有义务去帮邻居

（2）如果小明去帮邻居，他有义务告诉邻居。

（3）如果小明不去帮邻居，他有义务不告诉邻居。

（4）小明不去帮邻居。

我们设g为小明去帮邻居，t为小明告诉邻居，那么上面这四句话有这三种理解方式。

First Path Second Path Third Path

(1')OBg (1')OBg (1') OBg

(2')OB(g→t) (2')OB(g → t) (2'')g → OBt

(3')¬g → OB¬t (3'' )OB(¬g → ¬t) (3')¬g → OB¬t

(4')¬g (4')¬g (4')¬g

From(1')，(2')，OBt. (1') implies(3'' ). (4') implies(2'')

From (3')，(4')，OB¬t.

By NC，consistency is lost.Independence is lost.Independence is lost.

https://plato.stanford.edu/entries/logic-deontic/

我们发现第一种理解方式会导致违反道义逻辑的性质¬(OBt∧OB¬t)。第二、三种理解方式会导致这四个句子之间的独立性丧失。所以逻辑学家是如何修正这一漏洞的？

逻辑学家引入了条件义务OB(q|p)，意为“如果q，那么应该是（或有义务是）p”。具体的定义为OB(q|p) ≝ p ⇒ OBq，这里 ⇒ 表示条件逻辑(Conditional Logic)，不满足经典逻辑的一些性质，前面的文章中我们也讨论了条件逻辑，我们就不在这里赘述了。

可能世界语义下的道义逻辑

基本语义下的道义逻辑

我们采用可能世界语义(Possible World Semantic)，在这里我们再赘述一下框架。

何谓框架(frame)？框架，就是一个三元组〈W，R，V〉，W是世界的集合(a set of worlds)，R是W上一个二元关系（一个由W元素组成的二元组的集合），V是一个赋值函数，其中V(p) ⊆ W表示命题p成立的世界的集合。

将道义逻辑搬入框架，在〈W，R，V〉，中，对ω ∈ W，如果在任意满足ωRω'的ω' ∈ W中，都有成立p，那么在ω中记作Op，如果存在ω' ∈ W使得ωRω'并且p在ω'中成立，则在ω中记作Pp。

那么道义逻辑对应的框架和语义是什么呢？

道义逻辑的框架〈W，R，V〉中，W表示的是一个由不同道德规范的世界组成的集合，那R表示的是什么？ωRω'表示的是ω'是世界ω的一个道德上可接受的替代(moral alternative)，ω'不比比ω。那么道义逻辑的框架是怎样的呢？

道义逻辑的公理是K，D以及O(Op → p)，对应的框架涵很有特点。道义逻辑的框架的特点被称作漂移自反性(Shift Reflexive)，即：如果ωRυ，那么υRυ。

W．↷．v

↺

R is Shift Reflexive： If wRv，then vRv.

Garson J.W.:Modal Logic for Philosophers，Secondedition，USA:2013,109

道义逻辑语义的变种

这里的υRυ引起人思考，这意味着世界υ自己就是道德可接受的，那对于一个有道德瑕疵的世界，υRυ可能不成立。通过思考这点，我们可以采用如道义逻辑框架的变种：

我们假设一个道德完美的世界集合𝕄＝{ω₁，ω₂，· · ·}，R的定义修改为ωRυ ⇔ υ ∈ 𝕄，那么这个变种框架就形如下图：

·𝕄

道义逻辑的模型

在𝕄内的世界是全连接的，而𝕄]外的每个世界都有箭头指向𝕄内的世界。

注意到，在这里，R满足对称性和传递性，所以对应的道义逻辑也满足公理：

(OP) OPp ↔ Pp

(OO) OOp ↔ Op

对于功利主义(Utilitarianism)来说，根据“最大幸福”原则(The Greatest Happiness Principle)，每个人都有义务以某种方式为共同利益(Common Good)行动。那么上面所说的𝕄就坍缩为仅仅一个世界，那么R就满足唯一性(Unique)，即如果ωRu，ωUυ我们就有u＝υ

v．↶．w↷．u

↻＝↺

R is Unique：

If wRv and wRu，

then v＝u.

Garson J.W.:Modal Logic for Philosophers，Secondedition，USA:2013,111

参考文献

• [1]Garson J.W.: Modal Logic for Philosophers, Second edition, USA: 2013

• [2]G.E.Hughes, M.J.Cresswell: A New Introduction to Modal Logic, London: T.J. International Ltd. 1996

• [3]Benthem, J. F. A. K. van: modal logic for open minds, USA: CSLI Publications 2010

• [4] plato.stanford.edu/entr...

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