公理对应的框架

在模态逻辑(modal logic)中，何谓框架(frame)？框架，就是一个三元组〈W，R，V〉，W是世界的集合(a set of worlds)，R是W上一个二元关系（一个由W元素组成的二元组的集合），V是一个赋值函数，其中V(p) ⊆ W表示命题p成立的世界的集合。

在〈W，R，V〉中，对ω ∈ W，如果在任意满足ωRω'的ω' ∈ W中，都有成立p，那么在ω中记作□p，这种符号被用来表示必然性。如果存在ω' ∈ W使得ωRω'并且p在ω'中成立，则在ω中记作♢p，这种符号被用来表示可能性。这两种符号满足□＝¬♢¬，♢＝¬□¬

那么就有各种各样的框架。比方说：自反(reflexive)、对称(symmetry)、传递(transitive)、欧几里得性(euclidean)、序列性(serial)。我们下文会做一些介绍，这里先不详细介绍。

不同的框架可能满足不同的公理，我们有以下这些公理：

K □(p ⊃ q) ⊃ (□p ⊃ □q)

T □p ⊃ p

D □p ⊃ ♢p

4 □p ⊃ □□p

E ♢p ⊃ □♢p

B p ⊃ □♢p

一个框架成立的公理对应着这个框架的结构，以下举几个例子。

T：自反：∀ω ∈ W，ωRω

B：对称：∀ω，ω' ∈ W，ωRω' → ω'Rω

4：传递：∀ω，ω'，ω'' ∈ W，ωRω'∧ω'Rω'' → ωRω''

E：欧几里得性：∀ω，ω'，ω'' ∈ W，ωRω'∧ωRω'' → ω' Rω''

D：序列性：∀ω ∈ W，∃ω'(ωRω')

5.6. Summary of Axioms and Their Conditions on Frames

In this list of conditions on ＜W.R＞,the variables ‘w'.‘v', and ‘u’ and thequantifier‘∃v'are understood to range over members of W.(We use symbols of logic to express the conditions with the understanding that‘→' is always the main connective.)

Axiom Condition on ＜W, R＞ ＜W, R＞ is..

(D) □A→◇A ∃v wRv Serial

(M) □A→A wRw Reflexive

(4) □A→□□A wRv&vRu→wRu Transitive

(B) A→□◇A wRv→vRw Symmetric

(5) ◇A→□◇A wRv&wRu→vRu Euclidean

(CD) ◇A→□A wRv&wRu→v=u Unique

(□M) □(□A→A) wRv→vRv Shift Reflexive

(L) □(□A→B)V□((B&□B)→A) wRv&wRu→vRuvuRvvv=u Connected

(M)+(5)＝S5 wRv Universal

(C4) □□A→□A wRv→∃u(wRu&uRv) Dense

(C) ◇□A→□◇A wRv&wRu→∃x(vRx&uRx) Convergent

Garson J.W.: Modal Logic for Philosophers,Second

edition,USA: 2013,112

当然，如果我们提到具体的系统(system)时，每个系统满足不同的公理：

系统 满足的公理

K K

T K，T

D K，D

S4 K，T，4

S5 K，TE

B(Brouwerian) K，T，B

Ver K，□p

Triv K，□p≡p

这里Ver(Verum Systemn)对应的框架是每个世界只看到自己

(R＝f{(ω₁，ω₁)}，· · ·，(ωₙ，ωₙ)}。Triv对应的框架是R＝W × W，即每个世界可以看见所有世界，这就退化为经典逻辑了。

参考文献

• [1]Garson J.W.: Modal Logic for Philosophers, Second edition, USA: 2013

• [2]G.E.Hughes, M.J.Cresswell: A New Introduction to Modal Logic, London: T.J. International Ltd. 1996

• [3]Benthem, J. F. A. K. van: modal logic for open minds, USA: CSLI Publications 2010

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