曲面的拓扑分类

本文内容来自《 什么是数学 : 对思想和方法的基本研究》，作者：R•柯朗 / H•罗宾 / I·斯图尔特，翻译： 左平 / 张饴慈 / 复旦大学出版社 /，本文略去一些数学推理，只是保留了图片，旨在强调形式而非逻辑。

在19世纪中叶，几何学开始了一个新的发展，它很快地变成了现代数学中的一股巨大力量。这门新的学科称为位置解析或拓扑学。它所研究的是几何图形的这样一些性质，这些性质在图形经受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，仍然存在着。

莫比乌斯(A.F.Moebius,1790~1868)是那个时代伟大的几何学家之一，然而，缺乏主见却使他一生只能在德国的第二流的天文台里当一个不知名的天文学家。他在68岁时向巴黎科学院提交了一篇关于“单侧”曲面的论文，其中包括了这种新型几何学的一些最惊人的事实。这篇文章在公之于世之前它就像以前其他一些重要贡献一样，在科学院的文件堆里被埋没了许多年。哥廷根的天文学家李斯庭（J.B.Listing,1808~1882)独立于莫比乌斯作出了类似的发现，而且他接受高斯的建议在1847年出版了一本小书《拓扑学的初步研究》（Vorstudien2 ur Topologie),当黎曼(1826~1866)作为一个学生来到哥廷根时，他发现这个大学城对这种新奇的几何思想具有强烈的兴趣。他立刻认识到，这是理解复变量解析函数最深刻的性质的关键。黎曼的函数理论极大地促进了拓扑学后来的发展，而且，在黎曼的理论中，拓扑的概念则是最基本的东西。

最初，这个新领域中的方法之所以新奇就在于，它使数学家无法把他们的结果表示为初等几何的传统公理形式。于是，像庞加莱那样的先驱者不得不依赖于几何直观。甚至今天拓扑学的研究者也会发现，过多地坚持严格的形式表述，容易使他在大量的形式细节中看不到几何内容的本质。尽管如此，把拓扑学纳入严格的数学模式仍然是最近工作的一大功绩，在那里，直观仍然是真理的源泉，而不是检验真理的最终标准，在这个过程中由于布劳威尔(L.E.J.Brouwer)的开创，拓扑学对几乎整个数学的重要性一直在不断地增长着。美国数学家，尤其是维布林（O.Veblen)、亚历山大(J.W.Alexander)、莱夫切茨(S.Lefschetz)对这门学科作出了重要的贡献。

虽然，拓扑学肯定是近百年来的创造，但是早期已有了一些个别的发现，后来在近代的数学系统发展中找到了它们的位置。其中最重要的一个是关于简单多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系的公式。这个关系式，笛卡儿早在1640年就已经注意到，1752年欧拉又重新发现并加以应用，这个关系式是一个典型的拓扑性质的定理，只是后来当庞加莱认识到“欧拉公式”和它的推广是拓扑学的中心定理之一后，才弄清了这一点由于历史的及其本身的原因，我们将以欧拉公式作为讨论拓扑学的开端在我们刚刚踏入这个不熟悉的领域时，完全严格的概念既不是必要的，也不是我们所希望的，因此，我们将毫不犹豫地一次又一次求助于读者的几何直观。

§1 多面体的欧拉公式（略）

图120 简单多面体

V -E +F=9-18+11= 2

图121 非简单多面体

V -E +F=16-32+16=0

图形的拓扑性质（例如欧拉定理给出的性质和本节要讨论的其他性质），在许多数学研究中十分吸引人并且很重要，就某种意义上说，它们是所有几何性质中最深刻和最根本的，因为它们是图形在最剧烈的变化之下，仍然不变的性质。

2.连通性

作为两个拓扑不等价的图形的另一个例子，我们可以考虑图125所示的平面区域，其中第一个是由一个圆的所有内点组成的，而第二个是由包含在两个同心圆之间的全体点组成的。区域α中的任一封闭曲线都能连续变形或“收缩”成这区域内的一个点。具有这种性质的区域称为单连通的。区域b不是单连通的。例如与这两个边界圆同心而在它们之间的一个圆，就不能收缩成这区域内的一个点。因为在这过程中，曲线必须越过圆心，而圆心不是这区域的点。不是单连通的区域称为多连通的，多连通的区域b,如果沿半径切开(如图126)得到的区域将是单连通的。

α b

图125 单连通和双连通

图126切开一个双连通区域，使它成为单连通区域

更一般地，我们能作出带有两个、三个或更多个“洞”的区域，例如图127的区域。为了把这区域变成一个单连通区域，必须切开两次，如果必须作(n-1)次彼此不相交的、从边界到边界的切割，才能把给定的多连通区域D化为单连通区域，那么这个区域D就称为重连通的。平面上一个区域的连通性的重数是这个区域的一个重要的拓扑不变量。

图127 三连通区域的缩减

§3 拓扑定理的其他例子

1．若当曲线定理 （略）

图128 平面中哪些点是这多边形的内点

2．四色问题 （略）

1 2 3 4

图129 给地图上色

4．不动点定理（略）

p' ← p

图132 变换向量

5.纽结‬

作为最后一个例子，可以指出，纽结的研究提出了一些具有拓扑特性的数学难题。一个纽结是这样做成的：先把一段绳子打上结，然后把两个端点接起来。这样得到的封闭曲线表示这样一种几何图形，即使经过拉或扭，只要绳子不断，这图形本质上仍不变。但是怎么才能给出一个内在的特征，用它来区分空间中打结的闭曲线和没有打结的曲线（例如圆）呢？要回答这个问题并不简单，而且对各种类型的结以及它们之间的区别至今还很少有完整的数学的分析，即使对于最简单的情形，这也是一个相当大的任务，考虑图134中两个三叶形的纽结。这两个纽结彼此间是完全“镜像”对称的，而且是拓扑等价的，但不全同，问题是，究竟能不能把这些纽结中的一个连续地变形为另一个，回答是否定的，但是要证明这个事实需要了解比我们这里更多的拓扑学和群论的知识。

图134 拓扑等价纽结，但不能由一个形变为另一个

§4 曲面的拓扑分类

1.曲面的亏格

许多简单然而重要的拓扑事实都来自二维曲面的研究。例如，将一个球面和一个圆环面作比较。从图135看得很清楚，这两个曲面有根本的区别：和平面上一样，球面上任何一条简单闭曲线，例如C,把曲面分成两部分，但在圆环面上存在这样的闭曲线，例如C',它没有把曲面分成两部分。我们说C把球面分成两部分，意思是指，如果把球面沿着C切开，它将分成两个不连接的曲面片，或者说，能在球面上找到两个点，使得球面上连接它们的任意曲线必定和C相交。另一方面，如果把圆环面沿着闭曲线C切开，得到的曲面仍连接在一起，曲面上任意一点能够通过一条不和C相交的曲线与另外任意一点相连。球面和圆环面之间的差别指出了两类在拓扑上不同的曲面，而且说明了不可能从其中一种连续地变形为另一种。

C C

图135 切割球和圆环

其次，我们考虑图136表示的带有两个洞的曲面，在这曲面上能画出两个不相交的闭曲线A和B,而它们没有把曲面分开。对圆环面来说，任意两个这样的曲线总是把它分为两部分。另一方面，三个不相交的闭曲线总能把带有两个洞的曲面分开。

B A

图136 一个亏格为2的曲面

这些事实启发我们把曲面的亏格定义为：能在曲面上画出而又不把曲面分割开的互不相交简单闭曲线的最多个数。球面的亏格是0，圆环面的亏格是1，图136中的曲面的亏格是2.类似地，带有p个洞的曲面的亏格是p·亏格是曲面的一个拓扑性质，当曲面变形时，它仍保持不变。反之可以说明（证明从略），如果两个闭曲面有相同的亏格，则可以把其中一个变形为另一个。所以从拓扑的观点来看，一个闭曲面的亏格卸=0,1,2,…完全刻画了这个闭曲面的特征（假设所考虑的曲面是普通的“双侧”闭曲面，在这节的第三小节我们将考虑“单侧”曲面）。例如，两个洞的面包圈和图137中带有两个“环柄”的球面都是亏格为2的闭曲面；显然，这些曲面中的任一个都可以连续地变形为另一个。由于带有p个洞的面包圈，或者与它等价的带有p个环柄的球面的亏格为p,所以我们可以把这些曲面中的任意一个作为所有亏格为p的闭曲面的拓扑代表。

* 2．曲面的欧拉示性数（略）

3．单侧曲面

普通的曲面是双侧的。这对像球面或圆环面这样的闭曲面，以及像圆盘或者圆环那样的以曲线为边界的曲面都成立，这种双侧曲面，能涂上不同的颜色以区分它的两侧，如果这曲面是闭的，两种颜色绝不会相遇，如果这曲面有边界曲线，则两种颜色只沿着这些边界曲线相遇。一个甲虫沿着这样一个曲面爬行时，如果不越过边界曲线（如果存在的话），则它将永远处在这曲面的同一侧。

莫比乌斯有一个惊人的发现：存在只有一侧的曲面，最简单的这种曲面称为莫比乌斯带，它是这样形成的：取一段矩形长纸条，把它扭过半圈，然后把它的两端贴在一起，如图139.如果一个甲虫在这带子的中间沿着这曲面爬，则将会转回到原来的位置上。莫比乌斯带只有一个边，因为它的边界是由一条闭曲线组成的。把一个矩形纸条不经扭转而粘在一起，这时做成的普通双侧曲面有两条不同的边界曲线，如果把后一种曲面沿中心线切开，它将被分成两个同样类型的纸条。但如果把莫比乌斯带沿着中心线切开(如图139所示)，我们发现它仍然是一个曲面。对任何一个不熟悉莫比乌斯带的人来说，很难预料到这一点，它和我们直观上觉得“应该”发生的情形相反，如果对这个莫比乌斯带沿中心线切开后形成的曲面，再沿着它的中心线切开，则将形成两条分开的但互相绕着的带子。

图139 作一个莫比乌斯带

用这样的带子做如下游戏是很有意思的：沿着平行于边界曲线而横向距离为1/2,1/3等等的线，把它们切开。

莫比乌斯带的边界是一条简单的不打结的闭曲线，它能变形为一条平面曲线，例如一个圆。但在变形时可以允许这带子自身交叉。这时，所得到的这个自交而且单侧的曲面(如图140)称为交叉帽。自交的轨迹可以看成是两条不同的线，各属于在那里交叉的曲面的两部分之一。莫比乌斯带的单侧性是不变的，因为这是拓扑性质；一个单侧曲面不能连续地变形为双侧曲面，令人奇怪的是，甚至存在这样的形变，它使莫比乌斯带的边界变成一个平面曲线，例如三角形，而莫比乌斯带本身却不交叉。图141表明了这样一个模型(这归功于突克曼（B.Tuckermann)).这个带的边界是一个三角形，它是一个正八面体的对角正方形的一半，而这个带本身是由这八面体的六个面和四个直角三角形组成的（每一个三角形是这个对角平面的四分之一）。

图140 交叉帽

图141 带有平面曲线边界的莫比乌斯带

另一个有趣的单侧曲面是“克莱茵瓶”。这曲面是闭的，但它没有里外之分，它拓扑等价于一对边界重合的交叉帽。

图142 克莱茵瓶

研究诸如这样一些曲面的拓扑性质时，一种比较简单的方法是，借助于平面多边形，让它们的某些对边在想象中合在一起（比较第四章附录第三节）。在图143中平行箭头在位置上和方向上一实际上或概念上一都是相重合的。

AA AA AA

BB AB BA AA AA

圆柱面 环面

莫比乌斯带

克莱茵瓶

图143 用平面图形中所标出的边来定义闭曲面

这种等同的方法也可以用来定义类似于二维闭曲面的三维闭流形，例如，如果我们把一个立方体相对的面的对应点等同起来(图144)，我们就得到一个闭的三维流形，称为三维环。这个流形拓扑等价于两个同心圆环（一个在另一个里边）表面之间的那个空间，其中两个圆环表面上的对应点是等同的(图145)。因为如果两对概念上等同的面合在一起的话，这后一个流形能够从立方体得到。

B 1

A C C A B

图144用边界的同一定义三维曲面

图145 三维环的另一种表示（切开图形是为了说明同一）

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