德勒兹：数学与本体实在论（一）

目录

历史上的实在论 ▹

数学的作用 ▹

数学模型与本体论承诺 ▹

问题与可能性空间的结构 ▹

虚拟现实的问题与实现 ▹

历史上的实在论

与大多数同时代人不同的是，德勒兹是一位实在论哲学家。但他的实在论立场极具创新性，与亚里士多德创造的2500年来主宰西方思想的实在论形成了鲜明的决裂。众所周知，希腊哲学家的世界由三种实体组成：属、种和个体。属于前两类的实体基本上存在，属于第三类的实体只是偶然存在。例如，属可以是动物、物种、人类，以及以或有属性为特征的个体：存在白色，音乐性，公正性。一个属与它的各种物种（马，人类）有联系通过一系列逻辑上必要的细分。例如，动物属可以细分为两足动物和多足动物；然后细分为四肢的差异：马的蹄子，或人类的脚。当我们到达一个点，任何进一步的区别都是偶然的，就像脚缺了一个脚趾，我们就到了种的层次，最低的本体论层次，在这个层次上，我们可以谈论一个事物的本质或自然。1

在亚里士多德的实在论中，拥有这些基本特征是保证事物独立于思维的特性的原因。因此，任何新的实在论，如果它真的是新颖的，必须用不意味着对超越实体（本质）的本体论承诺的东西来取代属和种的范畴。这项任务对种来说比对属更容易。种的超越性可以通过简单地将它们转化为历史实体来消除，就像达尔文所做的那样。在进化论中，生物进化论是一种生物进化论，物种与个体有机体一样具有独特性和历史偶然性：当一个物种的基因库与来自其他生殖群体的遗传物质流接近时，它就诞生了——也就是说，它是通过生殖隔离而诞生的——而它是通过灭绝而死亡的。换句话说，类似物种的有机体是易受腐败和腐朽之害。正如亚里士多德所说。它们的灭绝属性在逻辑上是不必要的。生殖隔离是一种随程度变化的偶然成就，因此没有任何东西可以保证生物物种的身份将永远存在。同样，将一个物种推向灭绝就像杀死一个个体有机体：我们摧毁一个独特的物种再也不会回来的故事性创作。2

因此，在种类层面上消除本质只是将历史（本例中为进化史）引入实在本体论的问题。但本质在属的层次上是完全不同的。这里我们需要的是一种概念化“拓扑动物”的方法，一种抽象的动物，可以通过一系列胚胎学操作变成人或马：折叠、拉伸、内陷、细胞迁移。第二个替代品涉及数学。更具体地说，如果物种必须被视为个体奇点，那么属必须被由普遍奇点构成的拓扑图所取代。这只能通过超越演绎逻辑（一般和具体概念的来源）并进入数学：微分学、群论、非度量几何来实现。为了理解数学如何以非超越的实在论形式取代逻辑，我们必须首先简单描述微分方程在科学中的应用，因为我们想要探索的不是数学本体论本身（柏拉图主义者、建构主义者）但是用数学来模拟现实世界所引起的本体论问题。

数学的作用

要创建实际物理系统的数学模型，首先必须指定系统自由变化的相关方式，也就是说，我们必须发现其“自由度”因为当一个系统的自由度发生变化时，它的整体状态也会发生变化，因此系统的模型必须捕捉它可能存在的不同可能状态。正如数学家亨利·彭加勒（Henri Poincaré）在一个世纪前所指出的，这组状态可以表示为一个可能空间，其维度与系统的自由度相同自由。这个空间被称为“状态空间”（state space）（被建模系统可能存在的所有可能状态的空间。在该空间中，每个点代表一个物理系统的一种可能状态，即它在给定时刻的状态。当物理系统的状态随时间变化时，也就是说，当系统经历一个时间序列的状态时，它的状态表示为空间成为一个连续的点序列：曲线或轨迹。一组不同的轨迹捕获系统的几个可能历史。该空间中的每个点，每个可能状态，都可能有不同的存在概率。所有点的概率相等的空间是一个没有任何结构的空间，它代表存在一个物理系统，其中状态以完全随机的方式变化，轨迹在状态空间中游荡而不稳定。4

然而，到了18世纪，像莱纳德·欧拉这样的数学家知道微分方程可能解的空间确实具有结构。特别是，他指出，构成这个空间的一些点是特殊的或显著的，因为它们所代表的状态比任何其他可能的状态更可能发生。这意味着这些特殊点或奇点就像一个系统的长期趋势，如果我们等待足够长的时间，就会实现的状态。不管从哪里开始，所有可能的历史都会在一个奇点结束。此外，这些奇点具有普遍性，因为它们可以被完全不同的物理系统共享：引力、机械、光学、静电。事实上，十九世纪古典力学所有分支的统一都是由于这种普遍性而成为可能的。为了回到我们最初的例子，所有可能的动物的空间必须被认为是由决定进化历史总体趋势的普遍奇点构成的。但是用这样的拓扑图取代动物属面临着一个主要障碍：与经典物理学中的空间不同，我们不知道与动物相关的可能性空间的结构。然而，我们需要理解“拓扑动物”的许多概念可以从更简单的案例开始发展，这是德勒兹明确讨论的唯一案例。

事实上，德勒兹并不是唯一一位对状态空间和构成状态空间的普遍奇点感兴趣的当代哲学家。在科学哲学的分析方法中，科学家们最近从逻辑学转向了实际使用的数学，回顾这些最新发展，以比较的方式构建我们对德勒兹观点的讨论，将证明是有益的。对于许多分析哲学家来说，放弃一般和特殊的范畴是一个困难的步骤，因为他们中的许多人都受过训练，相信所有的数学在十九世纪末都已简化为逻辑：首先，微分学简化为算术——初始数的概念被数学所取代极限的概念和后一种概念被简化为数的概念——后来算术被简化为集合论。对于那些相信这种简化实际上已经实现的哲学家来说，数学消失了，演绎逻辑成为唯一需要掌握的正式学科。因此，不足为奇的是，实在论分析哲学家倾向于像亚里士多德那样说话，通过属于一般范畴的必要和充分条件来定义事物的同一性。也就是说，身份是由占有的一种本质来定义的。

此外，那些接受将数学简化为逻辑的人对科学理论采取公理化的方法：理论的内容由一组公理或不言而喻的真理，以及由这些公理使用演绎逻辑导出的所有定理建模。这种方法强调逻辑和语言的作用。但是，新的学派，语义方法，将公理化视为一个错误的模型。这些其他哲学家认为，正是通过使用微分学等工具，科学家们创造了物理现象的模型，而正是这些模型，而不是它们的任何逻辑重构，才应该成为科学哲学的主题。巴斯凡·弗拉森（Bas Van Fraassen）是这场运动的领导者之一，他以这种方式表明了自己的立场：

理论的语义观使得语言在很大程度上与主体无关。当然，要提出一个理论，我们必须用语言来表达。这是一个无关紧要的问题……此外，由于我们自己的历史——科学哲学的历史，在上半个世纪的前半叶变得非常注重语言——以及由于其内在的重要性，我们不能忽视科学语言。但在对理论结构的讨论中，它在很大程度上可以被忽略。5

把语言和逻辑抛在脑后，带回微分学——以及研究微分学的几何方法，即状态空间图——的原因是，只有通过分析实际模型，我们才能探索理论与它们设计用来解释的实验室现象之间的关系。换句话说，我们想知道为什么这些模型实际工作，为什么它们能够捕捉到真实系统行为的规律性，而这些问题的答案并不是由公理的逻辑结构给出的。由于数学模型在实践中的成功使实在论本体论变得有趣，让我们简单描述一下模型是如何与现象相匹配的。让我们假设我们有一个实验室，在那里我们可以操纵真实的物理现象，也就是说，我们可以限制它们的自由度（通过筛选其他因素），我们可以将它们置于给定的初始状态，然后让它们自发地通过一系列状态。我们还假设我们可以精确地测量每个状态下的自由度值（比如温度、压力和体积）。经过几次试验后，我们生成了关于在不同初始状态下开始的现象的数据。数据基本上由一系列数字组成，这些数字给出了温度、压力和体积的值，这些值是现象从不同初始条件演化而来的。然后我们可以在一张纸上画出这些数字序列，把它们变成曲线或轨迹。

然后，我们运行我们的数学模型，给出与实验室运行相同的初始条件值，并生成一组状态空间轨迹。最后，我们比较了这两组曲线。如果数学和实验轨迹显示出几何相似性，这将是模型实际工作的证据。正如一位分析哲学家所说：

我们可以说，只要建模几何结构（在适当的方面）近似于要建模的结构，动力学理论就近似成立：基本情况是，模型中的轨迹密切跟踪编码物理真实行为的轨迹（或者，至少跟踪它们足够长的时间）。6

只有当数学模型具有跟踪实验室实验结果的能力时，才有对状态空间进行本体分析的哲学依据。这种分析是必要的，因为必须对模型的跟踪能力进行解释，除非我们准备将其视为残酷的事实，或者更糟糕的是，视为无法解释的奇迹。

数学模型与本体论承诺

然而，从不同的本体论承诺开始，我们可能会对模型的成功做出非常不同的解释。例如，一些哲学家相信直接经验对象（宠物、汽车、建筑物）的自主存在，但认为氧、电子或因果关系等实体仅仅是理论构造。这类本体论承诺与实证主义和经验主义有关，尽管不同的哲学家在直接可观察和不在不同地方之间划出了界限。例如，范弗拉森（Van Fraassen）似乎认为，通过望远镜而不是显微镜观察到的物体被认为是直接经历过的。另一方面，实在论哲学家拒绝区分可观察的和不可观察的，但他们对世界内容的看法也不同。德勒兹是一位实在论哲学家，但他决心用内在实体来填充一个独立的现实，并从中驱除任何超越的实体，如亚里士多德的本质。现在，让我们讨论这些不同的本体论承诺如何导致对状态空间组件的不同评估。本体论评估的第一个候选对象是轨迹本身。正如我所说的，这些表示可能的历史（可能的状态时间序列）。众所周知，经验主义者对可能的实体持怀疑态度。奎因尤其喜欢嘲笑他们：7

举个例子，门口可能有个胖子；再说一次，门口可能是秃头的男人。他们是同一个可能的人，还是两个可能的人？我们如何决定？门口有多少可能的人？瘦的可能比胖的多吗？他们中有多少人相似？或者他们的相似性会使他们成为一体吗？8

奎因在这里争论的是，我们不具备将可能的实体个体化的手段，也就是说，在所有可能的变化中识别它们。对可能世界的传统方法，也是奎因讽刺的目标，是模态逻辑。这一逻辑分支涉及反事实语句的分析，如“如果JF.K.没有被暗杀，越南战争会更早结束。”在反事实的情况下，我们可能同意奎因的观点，即在语言特定的可能世界中，没有足够的结构来了解我们在修改细节时是在处理一个实体还是几个实体。但正如罗纳德·吉尔（Ronald Giere）等实在论哲学家所指出的那样，尽管奎因的怀疑论对模态逻辑是有效的，但状态空间所拥有的额外结构可以克服这些限制：

正如奎因乐于指出的那样，对可能性进行个体化通常是困难的…[但是]许多将系统定律表示为微分方程的模型提供了一个明确的标准来对模型的可能历史进行个体化。它们是状态空间中对应于所有可能初始条件的轨迹。通过在理论模型的定义中明确限制可能初始条件集，可以消除可能初始条件集中的威胁模糊性。9

然而，状态空间给可能历史的确定带来的额外结构不足以满足经验主义者的要求。例如，范·弗拉森（Van Fraassen）仍然可以否认在本体论上致力于可能的历史的必要性，因为对他来说，科学的目标不是捕捉不可观察的现实特征，而仅仅是实现经验充分性，即提高我们在实验室中做出预测和控制结果的能力。为了这个有限的目的，所有重要的是，我们为给定的初始条件生成一个单一的轨迹，并将其与实验室中获得的一系列实际状态测量值相匹配。其余的轨迹只是一个有用的动作。Giere将这种对形态的本体论立场称为“actualism”（均变论）。但均变论忽略了一个事实，即可能轨迹的总体显示出在塑造任何一个特定的实际历史中起作用的规律性。在上面使用的术语中，可能性的空间是有结构的，这种结构不是通过任何一条轨迹来显示的。Giere认为，理解一个系统不仅仅是知道它在这种或那种特殊情况下的实际行为，而是知道它在实际可能不会发生的情况下的行为。因此，需要对可能性空间的结构进行本体论评估。10

德勒兹实在论方法的意义恰恰在于它为我们提供了这样一种评估。德勒兹不是一个均变论者，但他也不是一个关于传统模式的实在论者。例如，他不同意构成状态空间点的可能性独立于我们的思想而存在。只有可能性空间的结构才需要实在论的承诺。因此，我们必须引入一种新的物理形态，虚拟性，来解释模型中的规律性和自然中的内在模式。虚拟的东西是实在的但不是真实的。因此，德勒兹将不同意范弗拉森只承诺实际实体，但也不同意吉尔对可能实体的承诺。只有状态空间的虚拟结构才需要被认为是与思维无关的。对这种结构进行严格的形式化分析需要考虑状态空间的一个不同组成部分：速度矢量场。11

当研究微分方程的行为给出一个几何形式时，使用的抽象空间是微分流形，而不是度量欧几里德空间。虽然度量空间是由全局坐标定义的一组点，但在微分流形中，分量点仅使用局部信息来定义：一点曲率的瞬时变化率。换句话说，虽然度量空间中的点由一组X、Y和Z值定义，前提是一组笛卡尔坐标和一个超越的全局空间，其中所研究的空间是内接的，但微分流形是一个速度和慢度场，曲率在每一点上变化的快或慢。实际上，在微分流形中，每个点不仅是一个速率，而且是一个速度，因为可以为它指定一个方向。因为速度可以用矢量表示，所以状态空间除了点（表示可能的状态）外，还拥有一个速度矢量场。重要的是，构成状态空间结构的普遍奇点的分布不是由轨迹（或积分曲线）给出的，而是由向量场本身给出的。更准确地说，虽然奇点的性质必须通过使用附近的轨迹来确定——例如，点奇点是焦点还是节点，必须通过观察其附近的积分曲线如何接近来确定，螺旋形或直线-奇点的存在和分布不需要建立任何轨迹。德勒兹写道：

莱布尼茨已经证明了微积分……表达了迄今为止无法解决的问题，甚至是无法提出的问题……人们特别想到了规则点和奇点在完全确定曲线种类中的作用。毫无疑问，奇点（例如，倾角、节点、焦点、中心）的指定是通过积分曲线的形式进行的，积分曲线指的是微分方程的解。然而，这些点的存在和分布取决于一个完全不同的实例，即方程本身定义的向量场……此外，如果这些点的说明已经显示出问题在解中的必要内在性，它在解决方案中的参与，以及点的存在和分布，证明了问题的超越性及其对解决方案组织本身的指导作用。（177DR）

问题与可能性空间的结构

对于德勒兹来说，向量场及其奇点与轨迹或曲线之间的数学区别，一方面成为问题设计条件与其许多可能解之间的哲学区别。必须从认识论和本体论两方面理解这一点。从第一个意义上讲，一个认识论问题是通过给出意义和标志的分布来提出的，也就是说，通过发现一种现象可以自由改变的重要方式，并消除所有琐碎的方式。然后，问题可以给出一种空间形式（通过将自由度转换为非度量空间的维度）及其通过向量场确定的结构。最后，我们可以找到方程的数值解并生成轨迹，每个轨迹代表一系列状态，我们可以将这些状态与实验室现象的一系列实际状态进行比较。显然，这一认识论顺序中的关键时刻是第一步：发现在一种现象的行为中什么会产生差异，什么不会产生差异。我们最终得到的解决方案只与他们应该解决的问题一样好：如果我们在问题的原始规范中包含了微不足道的自由度，那么它的解决方案也可能微不足道或具有误导性。此外，即使在我们解决问题的时候，问题的标志和符号的具体分布仍然保持着它的虚拟存在，因为它指导着所有个体解决方案的生成。

同样，对于作为数学模型目标的实验室现象。由单个奇点构成的状态空间定义了一个最佳值（例如，最小能量），它捕获了一个真正的优化问题，所有各种实际实体（肥皂泡、晶体、光线）都是该问题的具体解决方案。但是，一旦给出了物理解，优化问题就存在了，下一次当一块肥皂或一组分子必须与晶体的几何形状相一致时，就可以再次提出优化问题。回到我们最初的例子，所有可能的动物的结构空间，我们必须用它来取代动物属，必须被认为是一个客观的本体论问题，一个每个物种和有机体都是具体的适应性解决方案的问题。正如德勒兹所写：“一个有机体只不过是一个问题的解决方案，就像它的每个分化器官一样，比如解决光线问题的眼睛”（211DR）。

这意味着问题不仅独立于解决方案，而且与解决方案有着遗传关系：随着问题的条件越来越具体，问题会产生自己的解决方案。德勒兹对这一点的讨论使用了数学的另一个分支，群论，以及它在代数而非微分方程解中的应用，因此我们首先需要给出另一个领域的历史背景。方程有两种解，数值解和解析解。数值解是由数字给出的，当用来替换方程的未知数时，使方程成为真。例如，像x^2+24-8=0这样的代数方程的数值解。另一方面，解析解或精确解不会产生任何特定值或一组值，而是所有值的全局模式，由另一个方程或公式表示的模式。或者用以前的术语，解析解给出了所有可能解的空间结构。上面的示例，可以在没有数值常量的情况下重写为：

ax^2+bx+c=0

具有解析解：

–b±√b² – 4αc

x＝───────⤶

2α

到了16世纪，数学家们已经知道了代数方程的精确解，其中未知变量被提升到四次方（即包括x、x和x）。但随后一场危机接踵而至。被提升到第5次方的方程式拒绝屈服于先前成功的方法。两个世纪后，当人们注意到前四个案例的解决方案存在一种模式时，这一突破就出现了。这种模式可能是理解五次方疑难的顽抗性的关键，被称为 the quintic。数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Abel）和埃夫·阿里斯特·伽罗瓦（Ev ariste Galois）找到了一种方法，利用我们今天认为属于群论的资源来研究这种模式。术语“组”是指一组数学实体（数字、数字运算）和这些实体的组合规则。集合必须具有闭包，这意味着当我们使用规则组合集合中的任意两个实体时，结果也是集合中的一个实体。出于我们的目的，这里最重要的实体类型是转换，规则是这些转换的连续应用。例如，由90度旋转组成的集合（即包含90度、180度、270度和360度旋转的集合）形成一个组，因为任何两个连续旋转也会在该组中产生旋转。反过来，一个组可以用来确定数学实体的属性，这些属性在变换下保持不变，因此是其最重要的属性。例如，立方体在上述旋转组下保持不变（就其光学行为而言），因此该组捕获其身份的一个重要方面。

为了理解如何使用一组变换来建立问题的条件，即生成符号和标志的分布，让我们举一个具体的例子：使用变换组来研究物理定律的不变量。根据经典物理定律，该组包括空间和时间上的位移，以及旋转和其他变换。让我们想象一种可以在实验室中可靠产生的物理现象。如果我们在空间中取代它——通过在另一个遥远的实验室中复制这种现象——我们将保持其所有性质不变。类似地，如果我们只是改变开始实验的时间，我们可以预期这个时间位移与现象的规律性无关。重要的只是实验的初始状态和最终状态之间的时间差，而不是初始状态出现的绝对时间。因此，通过对表示定律的方程进行变换，我们可以发现那些与定律无关的变化类型，也就是说，对定律没有影响的变化类型，使我们能够正确地得出结论，使用绝对时间或绝对位置作为表示定律的方程的输入是无关的。

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