德勒兹：数学与本体实在论（二）

以类似的方式，伽罗瓦使用了某些变换（方程解的替换或置换），这些变换作为一组，揭示了解之间关系的不变性。更具体地说，当一个解与另一个解的置换使方程有效时，就其有效性而言，这两个解变得不可区分。方程组对其可解性至关重要，因为它表示解的不可分辨程度。或者，正如德勒兹所说，小组揭示的不是我们对解决方案的了解，而是我们对解决方案所不了解的客观性，即问题本身的客观性（162DR）。他接着说，除了证明问题与解的自主权，群论方法还表明，方程的解是在原始群产生子群时产生的，子群连续地限制替换，使关系保持不变。也就是说，随着自身条件的逐步改善，问题产生了解决方案。正如他所写：13

从技术的角度来看，我们不能认为微分学是此类问题的唯一数学表达式……最近，其他程序更好地发挥了这一作用。回想一下问题理论所处的圈子：问题只有在“真实”的范围内才是可解的但我们总是倾向于通过问题的可解性来判定问题的真相……数学家阿贝尔也许是第一个打破这个循环的人：他阐述了一个完整的方法，根据这个方法，问题的形式必须遵循可解性。我们必须确定问题的条件，而不是通过反复试验来确定给定的方程是否一般可解，这些条件逐步规定了可解的范围，从而使陈述包含了解的种子。这是对问题-解决关系的根本逆转，是一场比哥白尼更为重大的革命……对于伽罗瓦的工作，同样的判断是一致的：从一个基本的“场”（R）开始，对这个场（R`;，R``;R```;，R````…..进行连续的附加……）允许通过逐步限制可能的替换，逐步更精确地区分方程的根。因此，存在一系列“部分解决方案”或“嵌入组”，这使得解决方案从问题的特定条件出发。（179-80博士）

虚拟现实的问题与实现

为了将问题的发生学（genetic）概念与实在论本体联系起来，我们需要将群论的资源与动力系统理论的资源结合起来，因为研究微分方程的几何方法是已知的。在状态空间中，相关的变换是数学事件，称为分岔，可以将一个普遍奇点分布改变为另一个。这些数学事件源于对状态空间向量场的操作：向主向量场添加一个小向量场以对其进行扰动，当扰动达到临界阈值时，会产生分岔。在某些情况下，只有奇点的数量发生变化，但在其他情况下，它们的类型也可能发生变化。到目前为止，我们只考虑了点奇点，即物理系统达到稳态的趋势。但也有一些形成回路的线奇点，它们倾向于以稳定的方式振荡。这些被称为“周期吸引子”或“极限环”。最近发现了第三种宇宙奇点，这是反复拉伸和折叠闭合环的结果。这些被称为混沌吸引子或奇异吸引子。将一种奇点转化为另一种奇点的变换也是众所周知的：Hopf分岔将点奇点转化为周期奇点，Feigenbaum分岔将周期奇点转化为混沌奇点。分岔序列具有与Galois用于生成五次方程解的置换序列相似的群论结构：当分岔将一个奇点（或一组奇点）转化为另一个奇点时，微分方程所提出问题的所有解逐步展开：稳态解（steady-state solutions）、周期解（periodic solutions）、混沌解（chaotic solutions）。14

这些规则序列不仅存在于数学模型中，也存在于客观现象中，如流体力学研究的现象。随着速度的增加，移动液体会出现一个问题，它们通过采用适应于每种速度范围的各种流动状态来解决这个问题。在低速情况下，问题的解决方法很简单：坚持稳定状态或均匀流。但在达到临界速度阈值后，该解决方案变得不足，移动的液体必须转换为对流或波浪流。最后，在越过另一个临界阈值后，速度越快，气流就出现了一个无法通过有节奏地运动来解决的问题，它被迫变得湍流，将能量分配到涡流中的涡流结构中。当这些不同的移动方式一个接一个地展开时，它们展示了解决流动问题的所有方法。此外，数学模型的行为与流体力学现象之间的同构表明，它们可以被视为同一虚拟问题的不同实际解。换言之，为了解释数学模型的成功，我们需要做的是考虑它是一个虚拟化问题的实现，即被建模的现象解决。模型与现实之间没有对应关系，而是一种共同实现的关系。16

德勒兹将亚伯和伽罗瓦的成就与天文学转向日心说的革命性影响进行了比较，这一事实清楚地表明，他认为这些观点与过去有着根本的不同。但是，正如他在其他地方补充说的那样，只有将群论的洞见与非度量几何的洞见相结合，创造出问题理论，才能从哲学上实现群论的收益：

可解性必须取决于一个内在特征：它必须由问题的条件决定，由问题和实际解决方案产生。如果没有这种逆转，著名的哥白尼革命将一事无成。此外，只要我们仍然依赖于欧几里德几何，就没有革命：我们必须转向一种有充分理由的几何，一种类似黎曼的微分几何，它往往会在连续性的基础上产生不连续性，或者在问题的条件下产生地面解。（162DR）

当我在上面描述状态空间的性质时，我注意到，与组成度量空间的点不同，由它们与一组全局坐标的关系来定义，状态空间的点是由该点曲率的瞬时变化率来个性化的。这一全新的空间概念化方法是十九世纪两位伟大数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann）的成就。另一位十九世纪数学巨人菲利克斯·克莱因（Felix Klein）为我们提供了将这一成就与群论资源联系起来的途径。克莱因意识到，他所知道的不同几何（欧几里德几何、仿射几何、射影几何）可以与保持基本特征不变的变换组相关联。因此，欧几里德几何体的空间通过包含所有位移、旋转和镜像的组保持不变，也就是说，变换使刚性特征（如长度、面积和体积）保持不变。另一方面，在投影几何中，长度和其他刚性特征不会保持不变——它们会根据使用的投影类型扭曲或改变大小——但其他更抽象的特征会保持不变。正如一位数学历史学家所说：

[一] 从冯·斯塔特的工作中可以明显看出，射影几何在逻辑上优于欧几里得几何，因为射影几何处理进入几何图形形成过程的定性和描述性属性，并且不使用线段和角度的度量。这一事实表明，欧几里德几何可能是射影几何的某种特化。随着非欧几里德[度量]几何的出现，这些几何也可能是射影几何的特化。17

当微分几何和拓扑学被添加到不断增长的非度量几何列表中时，克莱因的追随者指定了他们的变换组，并意识到它们比射影几何更抽象，因此在逻辑上比射影几何更早。在一个较大的变换群下具有不变性质的数学实体被认为比一个较小的变换群具有更多的对称性。克莱因和他的追随者们的成就是认识到所有几何体都通过对称性破坏级联相互关联：从所有几何体中最小的“度量”拓扑开始，我们可以破坏其对称性（通过减少其组中的变换数量）并生成微分几何体。类似地，微分几何在失去对称性时变成射影几何，射影几何变成仿射几何，仿射几何变成欧几里德几何。尽管数学家并不从这一事实中得出本体论结论，但在这一级联过程中不难看出德勒兹在问题和解决方案之间建立的相同遗传关系：通过一系列对称性的破坏，拓扑结构产生了欧几里德几何，或者用德勒兹的说法来表述，连续空间产生不连续空间。

此外，几何序列还说明了另一个德勒兹概念：渐进微分（progressive differentiation ）。在拓扑学中，所有闭合图形（圆、椭圆、正方形、三角形）都是相同的，而在射影几何中，只有圆锥截面（圆、椭圆、抛物线）是相同的。在仿射几何中，这些图形彼此不同，但不同大小的相同图形仍然相同。最后，在欧几里德几何中，所有大小不同的图形都是彼此不同的。换句话说，更连续和更灵活的空间具有最小的微分度（不同图形的数量最少），而最不连续和最僵硬的空间具有最大的微分图形数量。正是这种逐步分化将认识论和本体论问题联系起来：随着问题本身的逐步分化，数学和实验室现象中的解决方案都产生了。18换句话说，更连续和更灵活的空间具有最小的微分度（不同图形的数量最少），而最不连续和最僵硬的空间具有最大的微分图形数量。正是这种逐步分化将认识论问题和本体论问题联系起来：随着问题本身的逐步分化，数学数学和实验室现象中的解决方案都产生了。

尽管德勒兹从未提及费利克斯·克莱因的工作，但显然克莱因恰恰满足了德勒兹的要求，他说，除非我们将群论思想与非度量空间联系起来，否则问题理论不会发生革命。此外，将未分割空间转换为完全分割空间的几何体的逐渐分化为我们提供了一个强大的图像，以对比德勒兹和亚里士多德的实在论本体论方法。对亚里士多德来说，世界已经被永恒的一般和特殊范畴预先分割，也就是说，不受腐败和腐朽的影响。另一方面，对于德勒兹来说，分割实体（岩石、植物、动物）的世界是作为本体论问题的解决方案出现的，这些问题是由不以任何形式的分割为前提的条件所定义的。本体论问题是由拓扑不变量定义的：可能性空间的维数、连通性和普遍奇点。当这些本体论问题经历一个实现过程时，它们逐渐分化为多种实际解决方案。这种差异以完全历史的方式进行，一次可能只揭示一部分可能性空间。因此，当爬行动物主宰脊椎动物世界时，它们表现出很大程度的分化，成为占据大多数可用生态位的物种。另一方面，哺乳动物在当时是未分化的夜间活动生物，构成了生态系统的一小部分。但随着恐龙的大规模灭绝，留下的空白生态位为哺乳动物提供了分化并发展为我们今天可以观察到的多种物种的机会。19

为了结束这篇文章，我们可以回到数学世界，问问自己，当我们谈到“不变量”时，我们是否从后门引入了超越实体，拓扑还是其他？如果“不变量”一词被单独使用，它肯定具有永恒不变本质的含义。但在技术意义上，它总是与变换相关：旋转、位移、投影、拉伸、折叠。这些变换既涉及数学运算符的影响能力，也涉及这些运算符影响的数字、图形或方程的影响能力。将一个算子应用到它的目标上，例如，在主向量上加上一个小向量，导致出现分岔，这始终是一个事件。与本质不同，事件不是必要的，而是偶然的。与公理化方法不同，在有问题的几何概念中只有从降临在他们身上的情感的角度来考虑这些形象：切片、烧蚀、附属品、投影。我们不是根据一个属与它的种之间的特殊差异，也不是从一个稳定的本质中推断出它所衍生的属性，而是从一个问题中推断出制约它并解决它的意外事件。这涉及到各种变形、嬗变、达到极限的通道、操作，在这些操作中，每个图形都指定了一个“事件”，而不仅仅是一个本质；正方形不再独立于正交而存在，立方体不再独立于立方而存在，直线不再独立于直线而存在。虽然这个定理属于理性秩序，但这个问题是情感的，与科学本身的变形、发展和创造是分不开的。（ATP 362；另见DR 187-89）

笔记

1 亚里士多德，《形而上学》（纽约：普罗米修斯出版社，1991年），第。100

2同上。P160

3 这个术语来源于我对德勒兹本体论的重建。“个体奇点”和“普遍奇点”这两个术语并没有出现在德勒兹的著作中。他分别使用了“Haeccity”和“singularity”这两个术语。此外，在德勒兹的工作中，这两个术语并没有明确地取代“属”和“种”。这个比较是我的，但我相信它抓住了德勒兹的本体论方法。

4 Ralph Abraham and Christopher Shaw，《动力学：行为的几何学》（加州圣克鲁斯：航空出版社，1985年），第一卷，第20-21页。

5 Bas Van Fraassen，《法律与对称》（牛津：克拉伦登出版社，1989），p。222

6 Peter Smith，《解释混沌》（剑桥大学出版社，1998年），第。72（我的斜体）。

7 巴斯范弗拉森，《科学形象》（牛津：克拉伦登出版社，1980年），第。16

8 Willard Van Orman Quine引用了尼古拉斯·雷舍（Nicholas Rescher）在《可能的本体论》（Michael J.Loux）（编辑），《可能与现实》（纽约州伊萨卡：康奈尔大学出版社，1979年），第。177

9 Ronald N.Giere，“建设性实在论”，载于Paul M.Churchland和Clifford A.Hooker（编辑），《科学图像》（芝加哥大学出版社，1985年），第83-84页。

10同上。P44

11 参见B 96-97。德勒兹从亨利·伯格森那里接受了虚拟性的概念，以及它与可能性等其他形式的区别。

12 Ian Stewart和Martin Golubitsky，《可怕的对称》（牛津：布莱克威尔，1992年），p。42（原件为斜体）。

13 Morris Kline：《从古代到现代的数学思想》（纽约：牛津大学出版社，1972年），第二卷，第页。759

14 Abraham and Shaw，《动力学》，第三卷，第37-41页。

15 Stewart和Golubitsky，《可怕的对称》，第108-10页。

16 这也是我重建德勒兹的一部分。“协同化”一词并没有出现在他的作品中，也没有为数学模型的成功提供任何解释。关于这一点的进一步阐述，见曼努埃尔·德兰达，《强化科学与虚拟哲学》（纽约：2002年2月），第4章。

17 克莱恩，《数学思想》，第三卷，第页。904

18 David A. Brannan、马修·F·埃斯普林和杰里米·J·格雷，《几何》（剑桥大学出版社，1999年），第。364

19 拓扑图与动植物进化之间的关系实际上比这更复杂。特别是，脊椎动物在拓扑上相互转化（通过共享基本身体计划）是不够的，这些转化也必须是可遗传的，以便它们可以成为进化过程的一部分。换句话说，我们也必须考虑可能基因空间的作用。我试图在曼努埃尔·德兰达（Manuel DeLanda），《唯物主义形而上学》（Deleuze:History and Science）（德累斯顿：Atropos，2010），第96-102页中对此进行说明。

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