戴德金原理

戴德金原理

戴德金于1872年提出来的连续公理

戴德金原理（Dedekind principle）亦称戴德金分割，是保证直线连续性的基础，其内容为：如果把直线的所有点分成两类，使得：1.每个点恰属于一个类，每个类都不空。2.第一类的每个点都在第二类的每个点的前面，那么，或者在第一类里存在着这样的点，第一类中所有其余的点都在它的前面；或者在第二类里存在着这样的点，它在第二类的所有其余的点的前面[3]。这个点决定直线的戴德金割切，此点称为戴德金点(或界点)，戴德金原理是戴德金((J.W.)R.Dedekind)于1872年提出来的，在构造欧氏几何的公理系统时，可以选取它作为连续公理，在希尔伯特公理组Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的基础上，阿基米德公理和康托尔公理合在一起与戴德金原理等价[1]。

中文名

戴德金原理

外文名

Dedekind principle

所属学科

数学

所属问题

高等几何(几何基础)

别名

戴德金分割

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实数的构造

戴德金定理

戴德金分割

定义 若将实数集R分成两个子集S和T，它们满足：

(1)S ≠ ф，T ≠ ф；

(2)R＝S∪T；

(3)∀x ∈ S，∀y ∈ T总有x＜y(称S为左集，T为右集)

则称为实数集R的一个“戴德金分割”，记作(S，T)[2] 。

“戴德金分割”的第一条要求是左集S与右集T都不是空集，也就是说它们中都有实数，简称为不空。第二条要求是S和T包含了所有的实数，换句话说，对于任何一个实数或者属于左集S或者属于右集T，二者必居其一，简称为不漏。第三条要求是左集S中的实数都比右集T中的实数小，简称为不乱。由第三条可以推知左集中的实数不会在右集中出现，右集中的实数也不会在左集中出现。若x属于左集，凡小于x的实数也都属于左集，若y属于右集，凡大于y的实数也都属于右集。

例如令

S＝{x ∈ R|x ≤ 0 or x² ≤ 2}，

T＝{x ∈ R|x＞0 αnd x²＞2}，

读者可以验证(S，T)是一个戴德金分割，再如令

S={x∈R | 存在自然数n，使

n

── ≥ x}，

n＋1

T={x∈R | x≥1}。

这也确定了一个戴德金分割(S，T)。

第一个戴德金分割中，左集S有最大数，√2而右集T没有最小数；第二个戴德金分割正相反，左集S没有最大数，而右集T有最小数1。√2和1都叫做相应的戴德金分割的中介点。一般说来，实数上的戴德金分割必有中介点，下面的定理便说明这一点，而在有理数集上若类似地作一个戴德金分割就不一定有中介点了。例如若令S={x∈Q | x≤0，或x2≤2)，T={x∈Q | x＞0，且x2＞2)则(S，T)构成对有理数集Q的戴德金分割，但左集S无最大数；右集T无最小数，也就是(S，T)没有中介点[2] 。

实数的构造

19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理：确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理和柯西收敛准则。

在对有理数集Q利用戴德金分割构造实数之前，先给出一个引理：任意两个有理数之间，必然存在无数个有理数。引理非常容易证明，设a和b是两个有理数，那么它们的算术平均值

α＋b

c＝───

2

也必然是有理数并且c一定介于a和b之间。

现在对有理数集Q任意作一个戴德金分割(S,T)，此时可能会出现以下3种情况。

（1）S中有最大值，而T中无最小值。例如S＝{x|x ≤ 2}，T＝{x|x＞2}

（2）S中无最大值，而T中有最小值。例如S＝{x|x＜2}，T＝{x|x ≥ 2}

（3）S中无最大值，且T中无最小值。例如S＝{x|x＜0}∪{x|x²＜2}，T＝{x|x＞0}

不存在（4）S中有最大值，且T中有最小值。这是因为如果设S中的最大值为a，T中的最小值为b，根据引理，它们的算术平均数c也是有理数且a＜c＜b。但因为a是S中的最大值，所以c不在S中。而b是T中的最小值，所以c也不在T中。这就导致了有理数c不属于S和T的任意一个集合，与戴德金分割要求S∪T=全集Q矛盾。

对于情况（1）和（2）戴德金称该分割确定了一个有理数，或者把这样的分割叫做一个有理数。对于（3），戴德金称该分割确定了一个无理数，或者把这样的分割叫做一个无理数。有理数和无理数统称为实数，记做R，因此每个实数就是一个对有理数集Q的分割。

在这样的定义下可以给出实数相等的定义以及大小的比较。

相等：设实数a、b是两个戴德金分割(S,T)、(S',T')。若集合S=S'（此时必有T=T'），则称a=b。

大小比较：若集合S⫋S'，则称a

也就是说，要证明两个实数相等，只需要证明分割所得到的S和S'相等。

戴德金定理

实数集R的任一戴德金分割(S，T)，都唯一地确定一个实数α(称为中介数或中介点)，它或者是S的最大数(此时T中无最小数)，或者是T的最小数(此时S中无最大数)。

参考资料

[1] 《数学辞海》编辑委员会．数学辞海·第一卷．北京：中国科学技术出版社，2002：第484页

[2] 杨守廉主编．数学分析 下．北京师范学院出版社，1988.03：第377页

[3] 泰安师专等五校编. 高等几何[M]. 1986（仅支持电脑查看）

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