Dedekind分割及Dedekind定理

戴德金原理

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Dedekind分割 ▹

分割 ▹

Dedekind分割 ▹

Dedekind定理 ▹

定理内容 ▹

定理证明 ▹

参考资料 ▹

电子资源 ▹

Dedekind分割

分割

分割定义：对于数域 K ，存在两个集合 A，B 满足：

• A，B ≠ ф

• A∪B＝K

• A∩B＝ф

则称A，B为数域K 上的一个分割，记为 {A，B}

Dedekind分割

当A，B 满足分割的定义时，若同时还满足：

• 集合 A "向下封闭连续"，即：对于任意 ∀x ∈ A ，∀y＜x，都有 y ∈ A。且A“连续”如 [1，2)∪[3，4] 不符合要求； [1，8] 满足条件；

• 集合 A 中"无最大元素"，即：对 ∀x ∈ A，∃y ∈ A，s.t. x＜y .

则称{A，B} 为数域 K 的一个Dedekind分割，记为 A|B ，其中集合 A 称为该分割的下集， B 为上集。

例题：证明 √2 是无理数。

证明，在有理数域Q 上构造两集合 A，B ，其中 A＝{x|x＜√2，x ∈ Q}，B＝{x|x ≥ √2，x ∈ Q}

其中A，B 满足：

• A，B ≠ ф

• A∪B＝Q

• A∩B＝ф

• ∀x ∈ A，∀y＜x＜√2，故 y ∈ A。且A“连续”

• 对∀x ∈ A，∃y ∈ A，s.t. x＜y (*)

故A|B 为 Q 的一个Dedekind分割A|B 。

2p＋2

任取p＞0，p ∈ Q，q＝───

p＋2

.下证 √2 即不在集合 A 中，又不在集合 B 中：

2 – p²

由于q – p＝───，

p＋2

2(p² – 2)

q² – 2＝───

(p＋2)²

2 – p²

1. 若 p ∈ A ，则 q – p＝───＞0

p＋2

2(p² – 2)

，即 p＞q 。又 q² – 2＝───＜0

(p＋2)²

，故 q ∈ A ，故 A 无最大元素

2 – p²

2. 若 p ∈ B ，则 q – p＝───＜0

p＋2

2(p² – 2)

，即 p＞q 。又 q² – 2＝───＞0

(p＋2)²

，故 q ∈ B ，故 B 无最小元素

由以上构造可知，A 无最大元素，B 无最小元素，所以 √2 ∉ A，√2 ∉ B，则 √2 ∉ A∪B＝Q，

所以√2 是无理数。

现说明 * 成立：

将x 和 √2 写成十进制小数：

x＝x₀.x₁x₂x₃ . . . xₙ000...(设x有n位小数，后面都是0)

√2＝y₀，y₁y₂y₃ . . . yₙ...

将他们对应的项逐一比对。

x₀＋y₀

若x₀ ≠ y₀，取 y＝───

2

若x₀＝y₀ ，设小数点后前 k 项相等，第 k＋1 项不等，则取 xₖ₊₁ 和 yₖ₊₁ ，令

xₖ₊₁＋yₖ₊₁

c＝────

2

令y＝x₀.x₁x₂x₃. . .xₖc，此时 x＜y＜√2，且 y ∈ Q

Dedekind定理

定理内容

定理：实数域R 上的任一Dedekind分割的上集均有最小元素。

即对于R 上的任一分割A|B ，集合 B 均有最小元素。

定理证明

做Dedekind分割A|B

（不严格证明，有点循环论证的感觉）设A B被点 x＝x₀ 分割开， A＝{x|x＜x₀，x ∈ R}，B＝{x|x ≥ x₀，x ∈ R}

考虑点x＝x₀ 是否在集合 B 中。

由于R＝Q∪R\Q，Q∩R\Q＝ф

所以x₀ ∈ B ，所以 B 中有最小元素。

严格证明请参考

Rudin《数学分析》，Ayumu《数学分析》等教材。

参考资料

1.Rudin《数学分析》

2.Ayumu《数学分析》

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