数学联邦政治世界观
超小超大

几何不等式

1,求证:三角形任一角的平分线长不大于对边上的中线长。

证明:如图一,设AM为BC边的中线,AD为角∠BAC的平角线。

若AB=AC,则AM与AC重合,命题成立。

若AB≠AC,设AB>AC,则∠ACB>∠ABC。

因为∠BAD=∠DAC,所以

∠BAD+∠B<∠DAC+∠C。

所以,∠BDA>∠ADC。

所以,∠BDA为钝角,故在△AMD中,∠BDA为钝角,所以∠AMD必为锐角。

所以∠BDA>∠AMD,得AM>AD。原命题成立。

2,已知,在△ABC中,∠A的平分线交BC于D,

求证:①AB>BD,AC>AD,

②若AB>AC,则BD>CD。

证明:①如图二,设∠ADB=∠1,∠ADC=∠2。

因为∠1>∠CAD=∠DAB,在△BDA中,因为∠1>∠DAB,

所以AB>BD。同理AC>DC。

②因为AD平分∠A,由三角形内角平分线定理知,AB/AC=BD/DC,

因为AB>AC,所以AB/AC﹥1。

所以BD/DC>1,所以BD>CD。

3,已知△ABC中,AB>AC,P为∠A平分线AD上任意一点,

求证:∠ABP<∠ACP。

证明:如图三,因为AB>AC,故在AB上取一点E,使AE=AC,连PE,则

△APC≌△APE。

所以∠ACP=∠AEP,又

因为∠ABP<∠AEP,

所以∠ABP<∠ACP。

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