不等式、几何不等式

不等式、几何不等式

几何不等式的基本定理

1，在连接平面上两点的所有线中，线段最短。

2，在一个平面内从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线最短。

3，三角形任何两边的和大于第三边。

4，三角形任何一个外角大于与它不相邻的内角。

5，在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，反之亦然。

6，如果两个三角形有两条对边对应相等时，若这两边的夹角不等，那么夹角所对的边也不相等，夹角大的所对的边大，反之亦然。

例1，已知D为△ABC内任一点，连结DB，DC，求证:

①∠BDC＞∠A；

②BD+DC＜AB+AC。如图一

证明:①延长BD交AC于E，

因为∠BDC＞∠DBC＞∠A，

所以∠BDC＞∠A。

②因为AB+AE＞BE，DE+CE＞DC，

所以，AB+AE十DE+CE﹥BE+DC，即

AB+AE+DE+CE＞BD+DE+DC，所以

AB+AE+CE＞BD+DC，即

AB+AC＞BD+DC。

例2，求证:任意三角形的一边都小于周长之半。

证明:设三角形三边分别为a，b，c，那么，a＜b+c，继而2a＜a+b+c，所以

a＜(a+b+c)÷2，同理

b＜(a+b+c)÷2，c＜(a+b+c)÷2。

例3，在三角形中，若一边等于另一边的二倍，则最短边的长介于周长的1/6与1/4之间。如图2

证明:设在△ABC中，a边最短，且b=2a，由例2知，b＜(a+b+c)/2，因为b=2a，所以，a＜(a+b+c)/4。又因为

c＜a+b，c-b＜a，2b=4b，a=a，四式相加得，a+b+c＜6a，即(a+b+c)/6＜a，

(a+b+c)/6＜a＜(a+b+c)/4。

例4，设在△ABC中，AB﹥AC，D是BC边的中点，求证：

∠ADB＞∠ADC，且

∠BAD＜角∠CAD。

证明：如图三，在△ABD与△ADC中，

因为BD=DC，AD=AD，AB＞AC，

所以，∠ADB＞∠ADC。

延长AD到E，使DE=DA，则

△ADC≌△AEB，所以

∠CAD＞∠BED，AC=EB，

在△AEB中，因为AB＞EB，所以

∠BAD＞∠BED，得

∠BAD＞∠CAD。

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