数学联邦政治世界观
超小超大

不等式

数量关系就是相等和不相等,反映在现实世界中就是平衡和不平衡的状态,平衡常常是有条件的,暂短的,不平衡却是常态。不等式的证明也比等式的证明更难一些。

例1,设a<b<c<d,试按递增顺序排列下面的数:

x=(a+b)(c+d),y=(a+c)(b+d),z=(a+d)(b+c)。

解:因为a<b<c<d,所以,

y-x=ab+cd-ac-bd=(a-d)(b-c)>0,

z-y=ac+bd-ad-bc=(a-b)(c-d)>0。因此,x<y<z。

例2,证明,如果某三数的乘积为1,且其和大于其倒数之和,则这三个数中恰有一个数大于1。

解:设a,b,c合乎题中条件,即

abc=1,a十b+c>1/a+1/b+1/c。那么,

(a-1)(b-1)(c-1)=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1

=(abc-1)+(a+b+c)-abc(1/a+1/b+1/c)

=(a+b+c)-((1/a+1/b+1/c)>0。

于是三个因子(a-1),(b-1),(c-1)的乘积是正的,从而,要么恰有一个因子是正的,要么所有三个因子a-1,b-1,c-1都是正的。但后一情形是不可能的,因为如果a﹥1,b>1,c>1,则abc>1,与条件abc=1矛盾。

例3,证明,对任意正数a≠b之算术平均值

A=(a+b)/2.

与几何平均值B=√(ab),有

B<(a-b)^2/[8(A-B)]<A。

证明:因为B<A,所以,B<(A+B)/2<A,但是

(a-b)^2/[8(A-B)]

=(√a^2-√b^2)^2/[4(√a-√b)^2]

=(√a+√b)^2/4

=(A十B)/2.

由此便得到所欲证的不等式。

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