代数

比例的性质实质是等式基本性质的体现。

等式基本性质是，1给等式两边同加一个数或同减一个数，等式仍成立；2给等式两边同乘一个不为零的数或同除一个不为零的数，等式仍然成立。

设a:b=c:d，或a/b=c/d，那么

①ad=cd(外项积等于内项积)，

②b:a=d:c(反比定理)，

③a:c=b:d，d:b=c:a(更比定理)，

④(a+b)/b=(c+d)/d(合比定理)，

⑤(a-b)/b=(c-d)/d(分比定理)，

⑥(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)(合分比定理)，

⑦若a/b=c/d=e/f，那么

(a+c+e)/(b+d+f)=a/b.

例1，若a+b+c=18，a/2=b/3=c/4.求a，b，c的值。

解:设a/2=b/3=c/4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，这样a+b+c=2K+3k+4k=18，得k=2。于是a=4，b=6，=8。

倒2，已知梯形ABCD，AB∥CD，AB=a，CD=b，AB与CD交于M，求S△ABM:S△CDM:S△ADM:S△BCM。

解:设S△ABM=S1，S△CDM=S2，S△ADM=S3，S△BCM=S4。

因为AB∥CD，所以△ABM~△CDM，由相似三角形面积之比等于相似比的平方。于是，

S1/S2=(a/b)^2。

又设a/b=AM/CM=BM/DM=k(相似比)，则

S1/S2=k^2，得S1=K^2S2，

S3/S2=AM/CM=k，得S3=kS2，

S4/S2=AM/CM=k，得S4=KS2。所以，

S1:S2:S3:S4=K^2S2:S2:KS2:KS2

=K^2:1:K:K=b^2K^2:b^2:Kb^2:Kb^2

=a^2:b^2:ab:ab。

例2是我们熟悉的梯形，对角线分梯形所得的四个部分，两腰为边的两个三角形面积相等，有人称这是蝴蝶定理，上下底为边两三角形面积之比是上下底之比的平方。四个三角形面积之比是a^2:b^2:ab:ab，这一点，遇到有关问题非常有用。

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