Ramsey基数

如何证明最小的Ramsey基数不是measurable？这个问题最早是由Rowbottom在1965年解决的，有趣的是，尽管Scott在1961年就发现了measurable和j：V → M 的等价性，但Rowbottom给出的是纯组合证明，而非模型论证明。我在看Rowbottom的论文时没有看懂它的证明，但在看Erdos证明“如果 ℵα 不是Jonsson基数，那么 ℵα₊₁ 也不是”的过程中想到了，感觉这两个证明之间存在相同的模式。这就是本文的内容。

以下内容都在ZFC下进行。

我们称基数κ 是Ramsey，当且仅当 ∀f：[κ]＜ω → 2 ，存在 f 的齐一集 H∈[κ]κ 。

称κ 是measurable，当且仅当 κ 上存在 κ complete 的non-principle normal ultrafilter。

称κ 是Jonsson，当且仅当 ∀f：[κ]＜ω → κ ，都存在 H∈[κ]κ 满足 f[[H]＜ω] ⊆ H∧H ≠ κ 。

Theorem 1：假设κ 不是Jonsson，那么 κ⁺ 也不是。

证明：对于任意κ≤α＜κ⁺ ，令 fα：[α]＜ω → α 见证 α 不是Jonsson，定义 f：[κ⁺]＜ω → κ⁺ 满足 f(s)＝fα(s – {α}) ，其中 α＝max s 。假设存在 H∈[κ⁺]κ⁺ 满足 f[[H]＜ω] ⊆ H∧H ≠ κ⁺，那么任选 H 中的 κ 个元素 G＝{βξ：ξ＜κ} ，设

supβξ＝β＜κ⁺，

ξ＜κ

则 f|[β]＜ω＝fᵦ|[β]＜ω；由于 fᵦ 见证 β 不是Jonsson且 G∈[β]κ ，所以 f[[G]＜ω]＝β ，进而得 f[[H]＜ω]＝κ⁺ ，因此 f 见证 κ⁺ 不是Jonsson，定理成立。 ⊣

下面我们给出Rowbottom的证明。

Theorem 2：最小的Ramsey基数不是measurable的。

证明：假设κ 是最小的Ramsey，则 α＜κ 都不是Ramsey，令 fα：[α]＜ω → 2 见证 α 不是Ramsey，按照Theorem 1的方式定义函数 f：[κ]＜ω → 2 ，那么存在 H∈[κ]κ 是 f 的齐一集。

如果κ 是measurable，令 U 是 κ 的 κ complete normal ultrafilter，根据normal 的性质可知 κ 的所有无界闭集都属于 U ，因此 H'∈U ，其中 H' 是 H 的全部极限点。定义 H''＝{β∈H'：|β|＝β} 和 H'''＝{γ∈H''：|γ∩H''|＝γ} ，由于normal ultrafilter的性质知 H'''∈U 。现在对于任意 γ∈H''' ， γ 是基数且 γ 之下有 γ 个 H 中的元素，因此 H∩γ∈[γ]γ 且 fᵧ|[H∩γ]＜ω＝f|[H∩γ]＜ω ；由于 fᵧ 见证 γ 不是Ramsey，因此存在 s，t∈[H∩γ]ⁿ 且 fᵧ(s) ≠ fᵧ(t) ，进而有 f(s∪{γ}) ≠ f(t∪{γ}) ，反证 H 不是 f 的齐一集，矛盾，反证定理成立。 ⊣

注意到上面的证明并没有涉及“measurable基数都是Ramsey基数”（Rowbottom在证明了Theorem 2之后又证明了这个定理）。如果要用模型论方法证明Theorem 2 的话是trivial的：假设κ 是measurable基数和最小的Ramsey，令 j：V → M 的见证 κ 可测的非平凡初等嵌入。类似于Theorem 2，令 fα 见证 α 不是Ramsey，其中 α＜κ 。定义 F＝{fα}α＜κ ，那么 V╞ ∀α＜κ∃f∈F(Ψ(α，f)) ，其中 Ψ(α，f) 表示“f 见证 α 不是Ramsey”，由初等嵌入性质得 M╞ ∀α＜j(κ)∃f∈j(F)(Ψ(α，f)) 。由于 κ＜j(κ) ，则在 j(F) 中有函数 g 见证 κ 不是Ramsey，即 M╞ ∀H∈[κ]κ∃n∃s，t∈[H]ⁿ(g(s) ≠ g(t))，又因为 Vᴹκ₊₁＝Vκ₊₁ ，所以 V╞ ∀H∈[κ]κ∃n∃s，t∈[H]ⁿ(g(s) ≠ g(t)) ，这与 κ 是Ramsey矛盾，反证定理成立。

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