分析学

摘自《数学史辞典新编》 杜瑞芝 主编 [P582]

分析学（analysis）17世纪以来围绕微积分学发展起来的数学分支。一般认为它是数学中最大的一个分支。分析学所研究的内容随着数学的发展而不断变化。17－18世纪的分析学，以微积分学和无穷级数为主，包括变分法、微分方程、积分方程和复变函数论等基本内容。到了19世纪，变分法、微分方程和积分方程得到迅速发展。但在这一时期，随着微积分基础的严密化，函数论得到极大发展，并在分析学中占据特殊地位。在20世纪，由于变分法和积分方程一般理论的需要，产生了泛函分析。20世纪以来，由于其他分支的发展和相互渗透，推动了近代微分方程的发展，它已成为分析学的一个最大分支。虽然它的内容仍属于分析学，但我们把它作为数学的一个独立分支与概率论和数理统计学等分支并列。分析学的近代发展，还包括大范围变分法、遍历理论、位势理论和流行上的分析，这些分支又与数学的其他分支相互渗透和综合。

早期的微积分学也叫做无穷小分析。这是因为在创立微积分的过程中，主要研究对象是无穷小量。1669年，牛顿发表了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子，称微积分学为分析学，他把无穷级数也纳入了分析学的范围。当时微积分的名称还没有出现，牛顿称这门新学科为分析学，以示其区别于几何学和代数学。最早把“分析”与“无穷小”联系起来的是法国数学界洛必达。他的著作《阐明曲线的无穷小分析》（1696）是第一本系统的微积分教科书。

极限和定积分的思想，在古代已经萌芽。在中国，公元前4世纪桓团、公孙龙等提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，以及刘徽所创割圆术，都反映了朴素的极限思想。在古希腊，德谟克里特提出原子论思想，欧多克索斯建立了求面积和体积的穷竭法，阿基米德对面积和体积问题进一步研究，这些工作都孕育了近代积分学的思想。

在17世纪，研究运动成为自然科学的中心课题。微积分的出现，最初是为了处理几何学和力学中的几种典型问题。成批的欧洲学者围绕面积、体积、曲线长、物体重心、质点运动的瞬时速度、曲线的切线和函数极值等问题做了大量的工作，穷竭法被逐步修改，并最终为现代积分法所代替。有关微分学的工作，大体上是沿着两条不同路径进行的，一条是运动学的，一条是几何学的，有时也是交叉在一起的。在这一时期，出现了大量的极成功的并且富有启发性的方法，有关微积分学的大量知识已经积累起来。

17世纪末，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨各自独立地在前人工作的基础上创立了微积分学。他们分别从力学和几何学的角度建立了微积分学的基本定理和运算法则，从而使微积分能普遍应用于自然科学的各个领域，成为一门独立的学科，并且是数学中的最大分支——分析学的源头。

微积分学的建立，使分析数学得到迅速的发展。在18世纪，微积分学成为数学发展的主要线索。微积分本身的内容不断地得到完善，其应用范围日益扩大。

由于围绕微积分发明权所产生的争议，使微积分在英国和欧洲大陆沿着完全不同的路线发展。在英国，数学家们处于对牛顿的崇拜和狭隘的民族偏见，拘泥于牛顿的流数法，故步自封。在泰勒和麦克劳林之后，数学发展陷于长期的停滞状态。而在欧洲大陆，伯努利家族的数学家们和欧拉继承了莱布尼茨的微积分，使之发扬光大。特别是欧拉开始把函数作为微积分的主要研究对象，他的三部著作不仅包含了其本人在分析领域的大量创造，而且他引进的一批细准的符号对分析学表述的规范化也起到了重要作用。在计算某些无理函数的积分时，数学家们发现了许多不能用已知的初等函数来表示的积分，这些积分导致了后来称作椭圆积分乃至椭圆函数的研究。微积分的发展逐步进入了新的阶段。

这一时期的数学家们大都忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念和方法的严密性。尽管如此，也有一些人对建立微积分的严格基础做出重要尝试。除了欧拉的函数理论外，另一位天才的分析大师拉格朗日采用所谓“代数的途径”，主张用泰勒级数来定义导数，以此来作为微积分理论的出发点。达朗贝尔则发展了牛顿的“首末比方法”，用极限概念代替含糊的“最初与最末比”说法。

微积分在物理、力学和天文学中的广泛应用，是18世纪分析数学发展的一大特点。这种应用使分析学的研究领域不断扩充，形成了许多新的分支。1747年，达朗贝尔关于弦振动的著名研究，导出了弦振动方程及其最早的解，不仅推进了偏导数的演算，而且成为偏微分方程的发端。通过对引力问题的深入研究和探讨，获得了另一类重要的偏微分方程——位势方程。与偏微分方程相关的一些理论问题也开始引起注意。

常微分方程的发展更为迅速。从17世纪末开始，三体问题，摆的运动及弹性理论等的数学描述引出了一系列的常微分方程，其中以三体问题最为重要，二阶常微分方程在其中占有中心位置。约翰·伯努利、欧拉、里卡蒂、泰勒等人在这方面都做出了重要工作。

变分法起源于最速降线问题和与之相类似的其他问题。欧拉从1728年开始从事这类问题的研究，最终确立了求积分极值问题的一般方法，奠定了变分法的基础。拉格朗日发展了欧拉的方法，首先将变分法建立在分析的基础之上，他还用变分法来建立其分析力学体系。

这些新的分支与微积分共同构成了分析学的广大领域，它与代数、几何并列为数学的三大分支。

18世纪末到19世纪初，为微积分奠基的工作已迫切地摆在数学家们面前。19世纪分析严格化的倡导者有高斯、波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克雷和外尔斯特拉斯等人。1812年，高斯对超几何级数进行了严密研究，这是最早的有关级数收敛性的工作。1817年，波尔查诺放弃无穷小量的概念，用极限观念给出导数和连续性的定义，并得到判别级数收敛的一般准则。但是他的工作没有及时被数学界所了解。柯西是对分析严格化影响最大的学者，1821年发表了代表作《分析教程》，除独立得到波尔查诺的基本结果外，还用极限概念定义了连续函数的定积分。这是建立分析严格理论的第一部重要著作。阿贝尔一直强调分析中定理的严格证明，在1826年最早使用一致收敛的思想证明了一个一致收敛的连续函数项级数之和在其收敛域内连续。1837年，狄利克雷按变量间对应的说法给出了现代意义下的函数定义。从1841年起，外尔斯特拉斯开始了将分析奠基于算术的工作。他采用明确的一致收敛概念，使级数理论更趋完善。他把柯西的极限方法发展为现代通用的ε-δ说法。但是直到19世纪70年代，算术中最基本的实数仍是模糊的。1872年，外尔斯特拉斯、G.康托尔、戴德金和其他一些数学家在确认有理数存在的前提下，通过不同途径（戴德金分割、有理数基本序列等）给出无理数的精确定义。又经过不少数学家的努力，最终在1889年，由皮亚诺建立了自然数的公理体系。由此可以从逻辑上严格定义正整数、负数、分数和无理数。从此微积分学才形成了严格的理论体系。

单复变函数论在19世纪分析学中占据特殊地位，几乎相当于17－18世纪微积分在数学中所处的位置。到18世纪，欧拉、达朗贝尔和拉普拉斯等人联系着力学的发展，对于单复变函数已经做了不少的工作。但函数论作为一门学科的发展，是19世纪的事，复变函数论的理论基础主要由柯西、黎曼和外尔斯特拉斯等人建立起来。

19世纪以来，偏微分方程和常微分方程理论也有很大发展。特别应该指出的是，与偏微分方程密切相关的傅里叶分析也是在这一世纪发展起来。法国数学家傅里叶在1811年的论文中采取把函数用三角函数展开的方法来解热传导方程，从而产生了傅里叶级数和傅里叶积分的概念。由此而建立了傅里叶分析的理论。这一理论很快得到发展和广泛应用。但是，傅里叶分析仍有它的局限和固有的确定。20世纪初就已经出现，20世纪80年代才形成系统理论的小波分析弥补了傅里叶分析的不足，成为傅里叶分析发展史上的一个新的里程碑。

20世纪初，由于19世纪以来对于函数性质的一系列发现，打破了自从微积分学发展以来形成的一些传统理解。又由于对傅里叶分析的进一步研究，显示了黎曼积分的局限性。这两方面的原因，都促使对积分理论的进一步探讨。1902年，德国数学家勒贝格在前人工作的基础上出色地完成了这项工作，建立了后来人们称之为勒贝格积分的理论。积分学理论和方法的发展与测度理论同时进行。这些工作奠定了实变函数论的基础。

泛函分析的发展反映了20世纪数学发展的一个特点，即对普遍性和统一性的追求。在泛函分析中，函数已不作为个别对象来研究，而是作为空间中的一个点，与几何学结合起来，对整个一类函数的性质加以研究。泛函的抽象理论是1887年由意大利数学家沃尔泰拉在他关于变分法的工作中开始的，但泛函分析的开端还与积分方程有密切联系。在建立函数空间和泛函的抽象理论的卓越成就中，应首推法国数学家弗雷歇的著名工作。希尔伯特、E.施密特、巴拿赫、冯·诺伊曼、迪拉克、盖尔范德等在发展泛函分析理论的工作中都做出了杰出的贡献。

函数逼近论也是在19世纪末至20世纪初发展起来的分析学的一个分支。它的中心思想是用简单的函数来逼近复杂的函数。1859年切比雪夫考虑了最佳逼近问题，1885年外尔斯特拉斯证明了连续函数可以用多项式在固定区间上一致逼近。他们的工作至今仍有影响。函数构造论的基础是由美国数学家杰克逊和苏联数学家伯恩斯坦奠定的（1912）。1957年，柯尔莫戈罗夫关于用单变量函数多变量函数的工作，进一步发展了函数逼近论的中心思想。在函数逼近中，逼近的方式和所选用的工具直接影响逼近程度。柯尔莫戈罗夫、美国数学家沃尔什、洛伦茨等在这方面都有重要工作。函数逼近论的思想已经渗透到了分析学的许多领域。

20世纪发展起来的多复变函数论是近代分析学中很有发展前途的分支之一。早在19世纪，外尔斯特拉斯、庞加莱和库辛就把单复变函数论中的一些重要结果向多复变量的情形推广，得到了多复变全纯函数的一些基本结果。20世纪以来，特别是20世纪30年代以后，对多复变函数的研究十分活跃。法国数学家H.嘉当、日本数学家冈洁取得了显著成果。20世纪50年代以后，在多复变函数的研究中，出现了用拓扑和几何方法研究多复变全纯函数整体性质的趋势。而近代微分几何与复分析的相互融合导致了复流形概念的建立，以及对多复变函数的自守函数的研究。这些都表明近代多复变函数的发展更趋于综合。它除了联系着分析学的许多分支外，还紧密联系着几何学、代数学以及代数几何的发展，体现了近代数学发展的特点。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。