算术公理系统之：实数（一）

目录

三层实数的构造 ▹

实数为什么比自然数多 ▹

2维与1维如何一一对应 ▹

新旧观念的较量 ▹

开区间与确界原理 ▹

戴德金分割 ▹

相邻、连续和稠密 ▹

实数体 ▹

三层实数的构造

问什么是自然数，我们自信知道什么是自然数，还能一个个全列出来；问什么是有理数，我们知道有理数就是整数或者整数之比，也有办法把它们一个个全列出来；问什么是无理数，我们知道无理数是不能表示成整数之比的数，但是没办法把它们一个个全列出来，列出来都是这个样子：√2，√5，e，π，...；最后问什么是实数，一般认为有理数加无理数便是全体实数。

倘若就这样回答，自然也没办法把实数一个个全列出来，于是有人认为实数不可列。

俗话说不能一条道走到黑，大可换个角度，从几何的角度来理解实数。借助几何直观容易想到，能不能将所有实数映射到一条直线上，使得直线上有一个点就对应一个实数，有一个不同的点就对应一个不同的实数，最后直线上有多少个点相应就有多少个实数。

在想象中，直线是向着两端无限延伸的，它由一个一个的点构成，这些点从左往右肩并肩依次排列，直观上可以认为这些点已经一个一个全列出来了。那么如果能将所有实数映射到这些点上，让它一个点对应一个实数，一个实数对应一个点，点与实数一一对应，是不是也就意味着我们将所有实数按照点的方式一个一个全列出来了?——这确实是个很好的想法，且不说能不能将全体实数都列出来，但至少它提示了一种构造实数的新思路。

直线由点构成，而且是由点一个挨着一个构成。可以随手画一条直线，然后任意选取一个局部放大来看，它都应该是一个样子，点挨着点，点挨着点，不会有别的样子：

那么基于几何直观，对于一条直线上的任意一个点，可以概括出这样两条性质：

1、任意一个点的前后都是点，点与点之间没有间隙；

2、任意一个点都是直线的中点，从中点将直线对折，对折的两部分可以完全重合。

第1条说明直线由点构成并且连续；第2条可以确保直线有无限长。

现在想象一位魔术师，经他手可以变出很多很多的点，像变扑克牌那样，一个一个的，要多少有多少，没有限制。他要为我们表演从一个点开始构造一条直线。与此同时，旁边有一位数学家，魔术师每给出一个点，数学家就要相应地给出一个实数；魔术师每增加一个点，数学家就要增加一个实数。这对数学家来说，不论换作此前的哪个时代，估计都是一次不小的考验。如果你是这位数学家打算如何应对呢?

最简单的办法就是魔术师出第一个点，我出1；出第二个点，我出2；再出一个点，我出3；…。自然数是我们不假思索便可以脱口而出的，况且它有无穷多，应付一下自当没问题。但是这仅仅停留在计数思维，应对下来的结果顶多是知道出了多少个点，还没有考虑到点的几何性质。

点是没有部分的，意味着它的大小为0，如果我们要度量一个点的长度，那么无疑它的长度为0。两个点的长度呢，两个0，长度还是0；三个点呢，三个0，长度还是0；…。另外，点还可以再分吗，有半个点，有三分之一个点吗?——没有，点是几何中不可再分的最小单位。

点，大小为0，不可再分，这样的性质对应的是哪个数?

0，只有0才具备这样的性质。0的值就是0，它的本义就是没有，“没有长度＝长度为0”。0/2，0/3，…，不论怎么对它进行分，只要不让它与0分，结果都是0，说明0也不可再分。以0去对应点，魔术师出一个点，数学家出一个0；魔术师再出一个点，数学家再出一个0；…。一个点长度是0，两个点长度还是0；一个0是0，两个0，0＋0，还是0；…。点与0成双对，真可谓绝配，谁曾想几何性质与算术性质在它俩之间能有如此好的对应。而点代表着几何的最深层，0代表着算术的最深层，它俩的对应意味着几何与算术在最深层的联姻。

就这样，魔术师出第一个点，数学家出一个0与之对应；魔术师在第一个点的右边增加一个点，数学家就以0＋0与之对应；再增加一个点，数学家再加一个0，以0＋0＋0与之对应；…。如果魔术师在第一个点的左边增加一个点，那么数学家就以0－0与之对应；再增加一个点，就再减一个0，以0－0－0与之对应；…。总之，魔术师在右边增加点，数学家就加0；在左边增加点，数学家就减0。魔术师出多少个点，数学家就以相应的多少个0去对应，直至魔术师用点构造出一条直线。这样的骚操作竟如此奇葩，不是疯子或者土匪估计都不敢这么想乃至这么干。

0，由算术公理给出，很容易将它从所有数中区分出来，是一个可区分数，那么像这些：

0＋0，0＋0＋0，0＋0＋0＋0，…，

0－0，0－0－0，0－0－0－0，…。

叫作不可区分数，它们的值最终都等于0，与0不可区分，它们是以0为本数的不可区分数，正方向上的记作0'，负方向上的记作－0'。

这些也能称之为数吗?——当然了。

首先可以类比自然数的构造：

1＝1

1＋1＝2

1＋1＋1＝3

……

自然数就是通过以1为最小单位进行累加，只不过累加的结果并不收敛到1；而这里以0为最小单位进行累加，虽然它们都收敛到0，但形式上与自然数的累加是一致的，单位不同而已。一般在数学上，只要两者之间在形式上具有某种一致性，就认为它们具有某种同一性，可以从某种意义上将它们视作同一个东西。

其次，这些数的构造方式与点构造直线的方式是同步的，它们必然满足“一个点对应一个数，一个数对应一个点，点与数一一对应”的要求。你可以随手画一条直线，在当中取一点标记为0，然后在这个点的右边或者左边任取一点，就一定能找到一个以“0＋0”或者“0－0”为基础构造的数，与之对应。一个点对应的是0，另一个点对应的是0＋0，点与点可区分吗?——可区分，那么0与0＋0就是可区分的，或者说它们在数序上是可区分的。这些不可区分数，虽然在数值上不可区分，但它们的存在性只要能在直线上找到相应的点为其背书，我们就有理由认为它们是真实的。

能与直线上的点一一对应的数不就我们通常理解的实数嘛，这些数就是货真价实的实数。除了0，我们知道0是有理数，那么所有这些收敛到0的不可区分数，是有理数还是无理数呢?——谈论有理数和无理数的前提是整数，这时只有一个0，所以有理数和无理数都无从谈起，意味着在我们通常理解的实数之外还有一类实数我们不曾认知。看它们这般原始，姑且称为“元实数”。

这些元实数，即0、0'和－0'，说白了就是一堆的0，没啥实际用处。要知道，直线有无限长，从中随便截取一小段都得有个长度，而且这些长度都是由没有长度（即长度为0）的点构造的。没有长度的点是如何构造出有长度（一般认为，至少大于0才叫“有长度”）的线的呢?——坦白说，这还是一个千古未解之谜——与之对应的算术问题就是，0加0如何才能加出大于0的数来呢?显然，光有元实数回答不了这个问题。

一切从公理出发，一切向公理回归。0加0，加多少个0才能得出不是0的数呢?——答案是无穷多个，即0积公理：0×∞＝x。这里的x表示所有可能的数，当然也包括任何一个大于0的数。

第一个实数是0，

紧挨着0的下一个实数是：0＋0，

0＋0的下一个实数是：0＋0＋0，

再下一个实数是：0＋0＋0＋0，

……

如此下去，要加∞个0之后才可能得出第一个不是0，或者说大于0的数。因为这个数不再收敛到0，所以它就不再是以0为本数的不可区分数，而是0之后的第一个可区分数，记作β₁，即

β₁＝0＋0×∞，并且0＜β₁

那么接着从β₁开始，紧挨着β₁的下一个实数是：β₁＋0，

β₁＋0的下一个实数是：β₁＋0＋0，

再下一个实数是：β₁＋0＋0＋0，

……

于是又要经过无穷多个以β₁为本数的不可区分数之后，才能到达β₁的下一个可区分数β₂，即

β₂＝β₁＋0×∞，并且β₁＜β₂

按照这个逻辑推演下去，自然有

β₃＝β₂＋0×∞，

β₄＝β₃＋0×∞，

……

当可区分数β足够大足够接近∞时，它会从有穷领域迈入无穷领域，变身为无穷数。有穷领域遵循的规则是0＋x＝x，以及0×∞＝x，0加0要加过无穷多个0之后才能得出下一个可区分数；而无穷领域奉行的规则是∞＋x＝∞，在这里只有一个可区分数∞（跟0一样，∞的可区分性也是由算术公理给定的），其他无穷数都是收敛到∞的不可区分数∞'。正如元实数中只有一个可区分数0，其他都是收敛到0的不可区分数0'。同是大于0，有穷和无穷确乎有所不同，运算性质都发生改变了。

由此不难看出，实数的构造，不论是有穷数还是无穷数，无穷都是深度参与其中的。那么很大程度上，有一个什么样的无穷观念就决定了有一个什么样的实数理论。

目前我们遇到的两类不可区分数，一类是基于0的运算性质而产生的不可区分数0'和β'，一类是基于∞的运算性质而产生不可区分数∞'，在这里汇集。可区分数是一，不可区分数是多，众多的不可区分数都收敛到一个可区分数，不可区分数都以可区分数为根本，意味着抓住了所有可区分数也就抓住了所有不可区分数。为此将所有可区分数提溜出来排成一列（注意，β的下标1，2，3，…指的并不是自然数，这时它们还没有数的含义，只是借来表示差异的符号。在不加区分的情况下，也会直接省略下标）：

0＜β₁＜β₂＜β₃＜β₄ . . .＜∞

任意相邻两个可区分数之间由无穷多的不可区分数填满，以这种可区分数与不可区分数交错往复的方式，我们可以再一次做到与直线上的所有点一一对应：

当然这里为图便捷，选择纵向的方式，并只展示了正方向上所有点对应的实数，负方向上的只需将“＋”号变为“－”号即可。对，这些也是实数，也是能与直线上的所有点一一对应的实数，称为“隐实数”。

相对于元实数的荒芜，隐实数包含的信息稍微多了一点。元实数全部是0，根本不能标记出由点构造的线的长度，它提示的只是点与点之间最简单的相对位置，从一个点到另一个点，相应的就是从一个元实数到另一个元实数，没有额外信息。而隐实数中出现了不等于0的可区分数β和∞，我们将讨论范围限定在正方向上，即所有β都大于0，大于0就意味着这些数可以标记出大于0的长度。由此实现从元实数到隐实数，从不能标记有长度到能标记有长度的跨越。而β所标记的“有长度”都还只是有穷的，涉及无穷的，则交由∞来标记。于是从有穷到无穷，线段要多长有多长，相应的数都可以给它安排上。

有了元实数概念，就可以清晰地回答这样一个问题：在正方向上，第一个实数是0，那么紧挨着0的第二个实数是多少?——毫无疑问，是0＋0；有了隐实数概念，就可以回答这样一个问题：大于0的最小可区分数是多少，或者说大于0的最小正数是多少，亦或者说无穷小是多少?

是紧挨着0的下一个可区分数：β₁。还有比它更小的非0正数吗?——没有了，它就是大于0的最小正数，它就是无穷小，在它前面比它小的，就是0以及收敛到0的不可区分数。但是这个收敛到0的不可区分数有无穷多，因为

β₁＝0＋0×∞，

也就意味着从无穷小到0之间还隔着无穷多个数，只是这些数在数值上并不大于0，而是等于0。如果不能理解元实数的话，这个确实也没法理解，也不好再多解释。

那么接下来的问题是，无穷小具体在哪个位置，或者说它既要比0大，又要尽可能的小，到底能有多小?——不知道，就目前来说隐实数所能提供的信息还不足以清晰地回答这个问题。

可以简单算一下：

β₁－0＝0＋0×∞－0＝0×∞，

从0到β₁（即无穷小）中间隔着∞个点，即0×∞，但是0×∞＝x，这个x并不是一个具体的数，而是一个抽象的数，它包含所有可能的数，其中包括无穷小，也包括0啊。如果0×∞＝0，也就是说从0点经过∞个点之后，它还是收敛到0，还是一个以0为本数的不可区分数。这是允许的，它完全可以在下一个点、在下下一个点才收敛到。这就意味着，隐实数中所有可区分数之间的相对位置存在很大的不确定性，0到β₁之间，β₁到β₂之间，多一个点或者少一个点，多一个0或者少一个0都是合法合规的。你也可以将这理解为实数版的“越宏观越确定，越微观越不确定”。

为了便于操作，我们还是将有穷数中任意相邻两个可区分数之间间隔的无穷多个点，规整为一致的无穷多个，让它们列队时看起来整齐一些，像这样：

隐实数中的可区分数β₁，β₂，β₃，…还不是一类具体的实数，而是一类抽象的实数，它们起到一个提示逻辑结构的作用。也就是说，如果沿着正方向，第一个数是0，那么紧挨着的下一个不等于0的数就被称为β₁，它比0大，具体大多少还不知道。但可以确定的是只要它存在，只要它出现，它就一定满足β₁＝0＋0×∞，这样一个算术结构。换言之，如果没有长度的点构造出了有长度的线，那么这个长度一定是由无穷多个点构成的；如果0加0加出了大于0的数，那么一定是加过无穷多个0之后才得出的。说白了就是由存在倒推出它存在的结构，这个结构是一个逻辑性的。

从0到β₁，是从一个点、两个点开始；从加一个0、两个0开始。经过有穷个点，加过有穷个0，得出的是不可区分数；而经过无穷个点，加过无穷个0，如果遇到一个线段有长度，它就得出一个可区分数。从β₁到β₂，从β₂到β₃，…，直至碰到无穷数时为止，都是在重复这个相同的逻辑。一旦进入无穷数，则不论经过多少个点，加过多少个0，结果都是∞，数值上不再有差别。从有穷到无穷，从可区分数到不可区分数，再到另一个可区分数，隐实数即是以这样一种抽象而奇葩的方式与直线上的所有点一一对应。

直线是连续的，能与直线上的所有点一一对应，便也意味着连续。隐实数中的可区分数，0、β、∞，以及无穷多以可区分数为本数的不可区分数，即0'、β'、∞'，共同完成了实数的连续性。这是与几何连续性相对应的算术连续性，从元实数到隐实数一直都保持着这种连续性。

从一堆全是0的元实数，到一堆可区分数与不可区分数相交织的隐实数，这两类实数都还不是我们通常理解的实数。通常理解的实数包括像自然数、整数、有理数、无理数，乃至超越数，这些都是一个个具体的实数。对数学家而言，它们是真实存在的，不像元实数和隐实数那么玄乎。而站在隐实数的角度来看，这些数都是确定的收敛到自身的数，不会收敛到其他数，所以它们都是可区分数；站在元实数的角度看，它们对应的不是0，就是收敛到0的不可区分数0'或者－0'。

很显然，在元实数和隐实数之外还存在一类实数，这类实数应当包含通常理解的实数，即有理数加无理数，称为“显实数”。元实数、隐实数以及显实数，三类实数凑到一起综合来看，可以形成一个明显的层次结构。实数，承载着数学家们对“数”的一个极其重要的期待，或者说实数的首要任务，是能够严丝合缝地覆盖一条直线，确保从直线上任取一点都能找到一个相应的实数。有点而没有数，是一件非常尴尬的事情。现在看来覆盖一次可能还不够，我们给它覆盖三次。

那么从元实数开始，它可以严丝合缝地覆盖在一条直线上，像盖上一床被子，这是第一层，称为始基层。顾名思义，这是最简单、最原始的实数，原始到只有0以及收敛到0的不可区分数。始基层往上覆盖的是逻辑层，这一层的实数是隐实数，它就变得稍微复杂一点，有了很多很多的可区分数与不可区分数，包括有穷的和无穷的。逻辑层往上覆盖的是度量层，这一层的实数是显实数，显实数蕴含最为丰富的信息，也最为复杂，它除了包含所有的有理数加无理数之外，还包括所有收敛到这些有理数和无理数的不可区分数。

这个应该好理解，比如在正方向上，实数1的下一个实数是多少?——是1＋0；再下一个实数呢?——是1＋0＋0；…。从1要经过无穷多个点，加过无穷多个0之后，才能到下一个大于1的实数。也就是说，任何一个像1这样的可区分数身边都紧密围绕着无穷多的不可区分数，若是把这些数统统拿掉，肯定就做不到严丝合缝，剩下的那些实数必定会落得千疮百孔。应当知道，显实数依然保持着从元实数到隐实数一贯的连续性，这个连续性靠的就是不可区分数，离开它实数连续不了。

始基层、逻辑层、度量层三层实数，它们以各自逻辑分别与一条直线上的点建立起一一对应，彼此是独立的，为了将它们统合为一个整体，各层实数之间还需要一个相互协调。即度量层的0，就恰好对应着逻辑层0和始基层的0；度量层的1，就恰好对应着逻辑层的某个可区分数和始基层的某个0'；度量层的2，就恰好对应着逻辑层的另一个可区分数和始基层的另一个0'；…。实现这种协调性的最好办法是由上定下，即由度量层来确定逻辑层和始基层，相当于将逻辑层和始基层视作度量层的投影。

基于这个三层结构，我们尝试在一条直线上构造一回全体实数。随便找来一条直线，这条直线就作为度量层，所有操作在这上面进行。度量层的下面，也就是这条直线的下面，还有两条平行直线，分别表示逻辑层和始基层，它们承载和反映的是度量层的投影，在这里把它们想象成虚的。

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