算术公理系统之：实数（二）

首先在直线上任取一点标记为0，同时想象在这个0点处作垂线，垂线与逻辑层相交的位置出现一个0，与始基层相交的位置也出现一个0。即度量层的0，在逻辑层上的投影是0，在始基层上的投影也是0。按理说，只要这个0点确定了，那么始基层上的所有实数也都确定了。因为始基层上的实数除了一个可区分数0，其他的都是不可区分数，在正方向上的就是0'，在负方向上的就是－0'。只要0点的位置确定了，那么其他点相对于0点的位置都是确定的，于是这些点对应的不可区分数也就确定了。始基层确定了，剩下需要关注的就是度量层和逻辑层。

第二步是在距离0点足够远的地方选取一点标记为∞，同时想象在这个∞点处作垂线，垂线与逻辑层相交的位置出现一个∞。即度量层的∞，在逻辑层上的投影是∞。∞由算术公理给出，借着算术公理可以从所有数当中将它区分出来的，所以它也是一个可区分数。这个数的算术性质极为奇特，∞＋x＝∞，表现出极强的吞噬性。它将周围能吞噬的数都吞噬了，并消化掉它们值性，使之无差别地都收敛到∞，变成无穷数。∞之前的称为前无穷数，∞之后称为后无穷数。前无穷数往前就是有穷数，有穷数和无穷数是紧挨着的，或者说是连续的，从有穷到无穷仅是一步之遥，没有什么不可逾越的鸿沟。

度量层，顾名思义，这一层实数要实现的一个基本功能是度量，它提供的是一个度量工具。作为一个完备的度量工具，它必须得有自己的度量范围和基本单位。0为下限，∞为上限，0到∞之间就是它的度量范围。0和∞通过前面两步已经标记好了，第三步是标记1，1就是一个基本的度量单位。巧的是，0、∞和1在算术公理中是三个特别规定的原始数，它们为一切数的产生和展开提供最原始的素材。并且它们都具有不可构造性，只能由公理来规定。该性质反映到度量工具上，它的上下限以及度量单位，这些基本参数的初始值就只能由人去直接设定，即在直线上的一个适当位置选取一点进行标记。只要标记好0、∞和1这三个点，就可以对这条直线上的任意一段长度进行准确度量。

我们知道1＞0，大多少呢?——只要在0点右侧的一个适当位置选取一点标记为1，这一点到0点的距离是多少，就表示1比0大多少。同样地，在1点处作垂线，垂线与逻辑层相交的位置出现一个可区分数β，表明1是一个可区分数。

有了1，以及0到1之间的距离，剩下的所有实数就用不着人去一个个标记了，它们会自然涌现出来。从1开始向着∞，不断加1，加到∞，在直线上相应地就是以0到1之间的距离为单位进行不断移动，从1移动到∞，其间经过的那些点所对应的加1所得的结果，就是所有自然数。自然数都是可区分数，所以它们在逻辑层上的投影都是可区分数β。

∞是一个不可构造之数，意味着我们不能通过任何构造的方式，将它从无到有地构造出来，它只能由公理定义。在没有定义之前，可以说它是不存在的。在一条数轴上，如果只标记了0和1，没有标记∞，那么从1开始向着正方向，以0到1之间的距离为单位，不断地移动、不断地加1，可以这样一直做下去。但是它到不了无穷，得不出任何一个无穷数，得到的都是有穷数。没有数就没有度量，没有无穷数，它就没办法对无穷的长度进行度量。就像始基层的元实数，就一个0，然后不断地加0，它也能随着一条无限延伸的直线一直持续下去，但这样得到的数，根本就做不了任何度量。否则我们就不需要费劲巴拉地去造隐实数和显实数，有一个元实数就够了。

如果标记了0和1，同时也标记了∞，那么从1开始向着∞，不断加1，它就一定可以加到∞。从∞往后，还可以继续加1，∞＋1，∞＋1＋1，…，可以一直加下去，但得到不再是自然数，它们属于后无穷数，是以∞为本数的不可区分数。从1开始到∞之前的ω，属于自然数，这个“自然数”包括两部分，即有穷自然数部分{1，2，3，…，ν}，和无穷自然数部分{α，α＋1，α＋1＋1，…，ω}。按理说，无穷自然数都是无穷数，在∞之前，属于前无穷数，它们是以∞为本数的不可区分数。而且它们的运算性质是n＋1＝∞，并不满足我们对自然数的通常理解，自然数都是n＋1＞n的，那为什么还要把这些数归为自然数呢?

因为我们对自然数还有一个固有认知，即自然数是有无穷多的。千百年以来，无穷多的自然数承载着我们对无穷最直观的理解和想象，很多数学概念都是建立在自然数有无穷多的基础上的，比如可数无穷和不可数无穷。如果说自然数只有有穷个，那么很多重要的数学概念可能就没了，搞不好人们的信仰都要崩塌，以致西帕索斯的悲剧再次上演。所以只要条件允许，顾及一下人们的信仰还是有必要的。但是没有数就没有计数，我们用自然数去给自然数的个数计数，如果确定说自然数有无穷多个，那么就必须有一个自然数是无穷数，才能得出自然数有无穷多的计数结果。不妨看一下这个计数过程：

对自然数集从1开始进行计数：

{1}，计数结果是1；

{1，2}，计数结果是2；

{1，2，3}，计数结果是3；

……

对此更简洁直观地表述是：

{1，2，3，· · ·，n}

︸

个数为n

很显然，像这样排列的自然数集，其中的最大自然数n，直接就意味着集合中自然数的个数n。按照这个逻辑，自然数想要有无穷多个，就必然要求自然数集中有一个自然数是无穷数。但数学家们却坚信，任意一个自然数都是有穷的，不会是无穷的，而整个自然数集却是无穷的，这个信念就导致不存在一个可以给无穷集计数的自然数，所以才有康托顶着众人的指责和谩骂也要引入阿列夫数，来解决无穷集如何计数的问题，因为他心里清楚，有数才能计数啊。

其实只要在数轴上标记了∞，自然数中有无穷数是一个容易推出的结论。

由于1×∞＝∞，将其展开为加法，即：

1＋1＋1＋…＋1＝∞，将这个式子看作无穷级数，对它分部求和，得到的就是这样一列数：

1，2，3，…，∞。

首先明确∞是一个先于所有自然数而存在的数，它理所当然不是自然数，那么∞之前的就应该是全体自然数。或者说，自然数是从1开始不断加1，加到∞为止，在∞之前得出的所有数。这是一个持续的过程，没有间断。那么在∞之前，就必然存在一个数，记为ω，它加1，就得到∞，即ω＋1＝∞。ω就是最大自然数，它是一个无穷数，是一个收敛到∞的不可区分数，它就代表着全体自然数的个数。现在我们可以清晰地回答自然数有多少个?——ω个。

将全体自然数列出来：

1，2，3，…，ω。

全体自然数从1开始，到ω结束，1是有穷数，ω是无穷数，从1到ω就是从有穷到无穷。那么可以想见，有穷数和无穷数分界的地方，就必然存在一个最大有穷自然数，记为ν，和一个最小无穷自然数（亦即最小无穷数），记为α，使得ν＋1＝α。也就是说在此处，有穷数加1就到了无穷数。我们不要被“无穷”两个字吓到，总以为没完没了才是无穷，总感觉从有穷到无穷之间存在一道不可逾越的鸿沟，一步怎么可能迈得过去呢?!

其实不用多想，只要遵循既定的逻辑直接推演即可。所有自然数都是通过加1得到，从有穷自然数到无穷自然数就必然存在一个过渡，这个过渡就必然是通过加1实现的，怎么实现呢?那不只有让一个有穷自然数加1得到无穷自然数，即ν＋1＝α，当中的ν肯定就是最大有穷自然数，因为再往后就是无穷数了；α肯定就是最小无穷自然数，因为再往前就是有穷数了。

所以将全体自然数列出来，再具体一些是这样：

1，2，3，…，ν，α，α＋1，α＋1＋1，…，ω。

这还是那个我们自信知道的自然数吗?自然数有无穷多，难道不应该是无穷无尽、没完没了的吗，怎么会有最大自然数呢?

无穷是无穷，但无穷不一定就无尽，无尽的是无限。无穷不等于无限，无限也不等于无穷，无穷和无限是两个概念。然而我们通常理解的无穷，是混淆了无限的无穷，一般称为潜无穷，潜无穷才会没完没了。什么是无限呢?最直观的理解就是，一条直线向两端一直延伸一直延伸，没有终点，无限即意味着没有终点。我们可以将无限就这么理解为一整条直线，而无穷则是这条直线上的一个点，并且这个点距离参照点，即0点，足够足够的远。但再远它也是一个点，无穷与无限的区别就是点与直线的区别。对应到数，那么一条直线就是一个抽象的数x，它包含了所有可能的数。直线上那个被标记为无穷的点，就是其中一个具体的数，即∞。

一旦将∞放上数轴，∞就成为一个“界”或者“限”，宛如水渠上的一道闸。从0点到∞点，就是一段有限的距离。对呀，它有下限，下限是0；有上限，上限是∞，两头都不是无限啊，尽管它的长度是无穷。这个无穷就是有限的无穷。既然从0点到∞点都是有限的，难道从0开始加1，加到∞，还能得出一列没完没了的、无限的自然数来吗?——不可能，∞明摆在那里就是自然数越不过去的“限”，有“限”就意味着存在终点。自然数必然止步于∞之前，那么∞往前退一步的∞－1，不就是最大自然数ω嘛，这个ω即是自然数的终点。

但是如果受极限思想荼毒太深的话，可能就转不过弯来，认为∞可以作为自然数的“极限”，自然数可以不断趋近于∞，但就是到不了∞。在这个不断趋近地过程中，自然数在不断地生成之中，因此只会有越来越大的自然数，不会有最大自然数，只会有更大，不会有最大。依据就是n＋1＞n，你任给一个自然数n，我都能找个一个比它更大的自然数n＋1。

n＋1＞n，这个不等式成立的前提条件是n为有穷数，它不能是无穷数。一旦到了无穷数，所有无穷数都等于∞，而∞＋x＝∞，∞加任何数都等于∞，自然有∞＋1＝∞，并不是∞＋1＞∞。这是完全不同于有穷数的运算性质。可以说有穷数和无穷数已经是两个完全不同的算术领域了，数学家非要坚持n＋1＞n，非要将自己局限在有穷领域来讨论数学问题，当然是可以的，只要他时刻清楚自己讨论的前提，并对自己的结论有充分十足的把握。

比如最简单的自然数列前n项求和公式：

(1＋n)n

Sₙ＝1＋2＋3…＋n＝───，

2

这个公式有效的前提是n为有穷数，它只能求有穷项自然数列之和，一旦超出有穷项出现无穷数，求出来的结果都是∞，根本用不着它费劲去算。问题是n要多有穷呢?前面提到，有穷自然数中有一个最大有穷自然数ν，它加1就到无穷数α了，即ν＋1＝α，而α＝∞。如果n取到最大有穷自然数ν的话，即n＝ν，那么Sₙ肯定到∞了。如果n取ν的前一个自然数呢，Sₙ还是∞；再前一个自然数呢，Sₙ还是∞；…。结果都是∞，那还有什么意义，所以我们在使用这个公式时不仅要确保n是有穷数，还要确保Sₙ也是有穷数。

再比如一个关于无限的证明，即证明素数有无限多，通常用反证法：

首先假设存在一个包含有限个素数的集合P＝{p₁，p₂，. . .，pᵣ}，这个集合是有限的，它的上边界为pᵣ，下边界为p₁，有确定上下边界的集合即为有限集。然后将P中的所有元素相乘再加1，得到一个新数N，即N＝p₁p₂ . . . pᵣ＋1。现在问N是素数还是合数?

如果是素数，那么N就不同于P中的任何一个元素，N是P之外的一个素数。P是有限的，明显一个有限的集合包含不了所有素数，那么素数就应该是无限的。

如果是合数，则假设p是N的一个素因子，即p是素数，并且p除N没有余数，那么p包含在P之中吗?如果p是其中的任何一个元素，那么p除N的余数都应该是1，这与p是N的一个素因子的假设矛盾。也就是说，如果p是N的一个素因子的话，它就一定不在P之中，而在P之外。即再次证明一个有限的集合包含不了所有素数，素数应该是无限的。

这是一个被奉为经典的证明。它非常巧妙地绕开了对所有素数的直接穷举，没有像2，3，5，7，11，…这样一个一个将素数全列出来。而是假设存在一个包含有限个素数的集合，然后通过集合中的所有元素构造出一个新素数，可以想见这个新素数是大于此前所有素数的。也就是说它做到了这样一件事情：你任给一个素数，我都能找到一个比这个素数更大的素数。这完美契合了自然数的性质，自然数是无限的、是没完没了的，你任给一个自然数n，我都能找个一个比它更大的自然数n＋1。自然数不存在最大自然数，因此素数也不存在最大素数。在正方向上，自然数和自然数中的素数都是无限的。

同样，这个证明要想有效，前提仍然是有穷数。一旦涉及无穷数，站在无穷数的视角去看，这个证明仍然存在漏洞。可以假设最大有穷自然数ν就是一个素数，将它作为有限集P的上边界，即令pᵣ＝ν。那么再将P中的所有素数相乘并加1，得到的N就是一个无穷数，因为ν加1就已经是无穷数，何况还要乘一大堆数再加1呢。而对于所有无穷数，是没有奇数偶数之分，没有素数合数之分，甚至没有整数小数之分的。反过来说，一个无穷数既可以是奇数也可以偶数，既可以是素数也可以是合数，既可以是整数也可以是小数。那么假如N是合数，p是N的一个素因子，但此时P中的任何一个元素都可以是N的一个素因子，p竟可以包含在P之中。你别看N＝p₁p₂ . . .pᵣ＋1，就以为N分别被p₁，p₂，. . .，pᵣ除余数皆为1，是绝对真理。到了无穷领域，作为无穷数，N分别被它们除，都可以整除，余数都可以为0。要知道∞/2与(∞＋1)/2是相等的。

又比如阿基米德性质，这是在实数理论中经常用到的一条性质。它的一般表述是：

对于任意的两个实数a、b，若b＞a＞0，则必然存在一个自然数n，使得na＞b。

很显然，这里的b不能是无穷数，一旦代入无穷数，这个性质就玩不转了。当然这不是重点，我们重点要讲的是：

将na＞b两边同除以b，即n(a/b)＞1，令x＝a/b，则nx＞1。

这是阿基米德性质的一个等价形式，意思是说对于任意一个大于0的实数x，不论它多小，都能找到一个自然数n，使得nx＞1。或者再进一步转换成：n＞1/x，即不论x多小，都存在一个自然数n大于x的倒数。从经验上看这似乎是对的，当x＝0.1，0.01，0.001，…，则n可以是11，101，1001，…。可以想见，当x小到0，即x＝0，则1/0＝∞，∞不是自然数，所以要求x必须大于0。既要大于0，又要尽可能的小，这不就是无穷小β₁嘛。令x＝β₁，那么其倒数1/β₁是多大呢?

如果认为∞不是数，这个问题或许还不好回答。但是现在已经将∞作为一个具体的数放上了数轴，并且知道1/0＝∞。而无穷小是离0最近的一个可区分数，那么其倒数1/β₁就应该是在∞之前离∞最近的一个可区分数。

∞不是自然数，其后更不会再有自然数，∞之前的ω就是最大自然数。而处在ω和∞之间的无穷小的倒数比最大自然数ω还大，即ω＜1/β₁＜∞，那么上哪去找一个大于1/β₁的自然数呢?如果找不到，是否也就意味着一度被当作公理来使用的阿基米德性质也并不总是有效呢?

当然这里存在一个问题，一旦进入无穷领域，所有无穷数都等于∞，也就是说除了∞是一个可区分数，其他无穷数都是以∞为本数的不可区分数。但是从有穷过渡到无穷是连续的，按照自然数的构造逻辑，从1开始加1，一直加到ν，都是有穷数，也都是可区分数。ν再加1就到无穷数了，即ν＋1＝α，α是最小无穷数，并且α＝∞，此后所有的数也都等于∞。如果ν是可区分的，那么由ν加1得到的α就不可区分了吗?

在这里我们仍然认为它是可区分的，这种可区分性是延续了有穷数的可区分性。于是从α到∞之前的这部分数就有了双重性质，这种双重性质使得我们在无穷领域讨论自然数更为方便。因此这部分可区分数在逻辑层上的投影就可以标记为β，当然也可以是∞'。

α，α＋1，α＋1＋1，…，ω

从α开始加1，一直加到ω，从α到ω就是全体的无穷自然数部分。这部分数其实都是不可区分数，它们的值都等于∞，对于不可区分数，需要从数序上进行区分。我们说α＜α＋1，准确地理解应该是α前于α＋1，即α⊰α＋1。前面说到无穷小的倒数比最大自然数ω还大，其实指的也是ω前于1/β₁，即ω⊰1/β₁。找一个比1/β₁还大的自然数，意即要到1/β₁的后面去找自然数，这显然是不可能的，因为ω已经是最后一个自然数，其后再无自然数。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。