算术公理系统之：实数（三）

有些人可能还会有个疑问，就是在有穷自然数中：

1，2，3，…，ν

这个最大有穷自然数ν，假定它是真存在，从有穷构造有穷，总该没问题吧。那么从1开始加1，不断加下去，什么时候才能加到ν呢?——可以一直加下去，却永远也到不了ν，这个“永远”指的是逻辑上不可能。ν是最大有穷自然数，它是有穷自然数的上边界；而ν的下一个自然数就是最小无穷自然数α，α是无穷自然数的下边界。这两个边界的产生都依赖于一个数，即∞。

如果不认为∞是一个数，不把它放上数轴，仅仅是在一个没有∞的算术系统中，纯纯地靠着有穷数，是无论如何也构造不出∞的。没有∞，不仅无穷数的边界无从谈起，就连有穷数的边界也无从谈起。谁能想到，有穷的边界竟是由无穷来决定的，有穷数中的最大数竟是由无穷说有，它才有的，并不是足够多的有穷数相加或相乘就可以得到的。

或者理解为，在一个包含∞的算术系统中，由于有穷数的边界太过靠近无穷数，而无穷数的本数∞具有不可构造性，因此有穷数的边界也沾染上了这种不可构造性。所谓“沾染上”意即“具有”。正因为有穷数的边界具有不可构造性，那么数学家们尽可以通过算术运算构造各式各样的大数，像古戈尔、葛立恒数、TREE(3)，它们再大也不必担心会触碰到有穷数的边界，还可以继续构造更大的；又比如计算圆周率的小数位数，人类已经计算到多少万亿位了，还可以一直计算下去，没有到头的时候。只要在这些构造或计算过程中不直接、不实质性地出现无穷数即可。

无穷的不可构造性与没完没了的无限性确有几分相似，容易让人混淆，然而两者本质上是不同的。无穷作为数它是有限的，但这个“数”只能由公理给出，你要使用就直接使用，别想着自己去构造一个。而无限是没有数的，只能笼统地说它是无穷的，或者借助整体与部分相等来判定一个集合是否是无限集。

第一步标记0，第二步标记∞，第三步标记1，只须三步在直线上标记好这三个关键数字，就可以将一条直线变为一条确定的数轴。数轴上所有自然数确定了，那么围绕在自然数周围，负责填满自然数与自然数之间所有间隙的实数应该也随之确定了。由于0到1之间有多少实数，1到2之间就有多少实数，2到3之间就有多少实数，…，并且它们之间存在某种对称性，所以没必要一上来就是整条数轴上的所有实数，不妨只截取0到1之间这一小段区间上的所有实数来分析一番。

0确定了，1确定了，那么0点到1点之间有多少个点也就确定了。一个点对应一个实数，所以有多少个实数也就确定了。由于点的特殊性质，点本身没有长度，它却可以构造出有长度的线，为了适应这种情况，实数分化出了可区分数与不可区分数。0到1之间是一段有长度的线，因此线上分布的必然是可区分数和不可区分数相交错的实数。我们通常所说的有理数加无理数，应该只是其中的可区分数部分，因为此前数学家还没有这个觉悟，还没有可区分数与不可区分数的概念。没有这个概念将造成什么严重后果，后面会具体讲到。

可区分数为纲，不可区分数为目，纲举则目张，所以只要将所有可区分数构造出来，相应的不可区分数，不构造也构造了，它们就是在可区分数基础上加0呗。如果说这些可区分数不是有理数就是无理数的话，那就好办。因为有理数都可以转换成有穷小数或者无穷循环小数，只要愿意，有穷小数也都可以等价转换成无穷循环小数；而无理数则是无穷不循环小数。意味着有理数和无理数可以统一由无穷小数来构造。反过来说就是一个无穷小数，出现循环的就是有理数，不出现循环的就是无理数。那么不管它循环不循环，构造一个无穷小数就是在构造一个可区分数，构造出所有的无穷小数，也就意味着构造出了所有的可区分数。

无穷小数的一般形式是：

0.α₁α₂α₃ . . . αₙ . . .，

因为我们讨论的是0到1之间的实数，所以无穷小数的整数部分取0。这里采用十进制小数，即小数点后面的任意一位数αₙ，它的位值是

1

──

10ⁿ

，可选数字在0－9之间。首先一个问题是小数的位数是无穷位，那么这个无穷是有限的无穷，还是无限的无穷?

将无穷小数的位值单拎出来看：

1 1 1 1

──，──，──，...，──，...

10¹ 10² 10³ 10ⁿ

明显它是越来越小的，后一项都是前一项的1/10，这样一直小下去，一定会在某一项等于0。一旦出现一个0，0×(1/10)＝0，意味着此后的所有项都等于0。位值为0，那么不论这个数位上出现什么数字，结果都是0。这就没意义了，或者说无效。人们通常说的是“无限小数”，“无限”意味着不能停，小数位数在出现位值为0之后，还要继续下去，因此无限小数是没有最后一位的。我们这里说的是“无穷小数”，这个“无穷”是止步于位值出现0之前的有限的无穷，它包含所有大于0的有效数位，0及其之后的无效数位就统统舍弃了，它是有最后一位的。那么数列：

1 1 1 1

──，──，──，...，──，0，0，...

10¹ 10² 10³ 10ⁿ

1

当中的──，

10ⁿ

即是无穷小数的最后一位数的位值，它的下一位就是0了，这一位在哪呢?

因为1/∞＝0，设10ˣ＝∞，则x＝lg∞，即位值为0的那一位是lg∞。lg∞具体是多大呢?——不知道，如何对∞进行运算，我们了解还太少，估计是无穷自然数中的某个数。那么此前的一位，即是无穷小数的最后一位n＝lg∞－1。由此可以回答，无穷小数的小数位数有多少呢?——有lg∞－1位小数。如果改用二进制呢，它就应该有log₂∞－1位小数。由于所有无穷数都等于∞，因此将最小无穷数α代入计算也是可以的，即无穷小数的最后一位n＝lgα－1，这个值可能还更准确，但为了论述方便，这里仍旧采用∞。

既然无穷小数的位数是一个定数，并且每个数位上的数字都在0－9之间，那么无穷小数具体是哪些我们是可以按大小顺序一一列出来的，以 0到1之间为例：

0.000…000

0.000…001

0.000…002

…

0.999…998

0.999…999

这就是所有的无穷小数，就是通常理解的有理数加无理数，你不可能再找出一个不在这张列表中，却还属于0到1之间的小数。这些小数的位数是无穷位，即lg∞－1；并且任意相邻两个无穷小数之间不再有其他可区分的无穷小数。例如，第一个无穷小数加第二个无穷小数再除以2：

（0.000…000＋0.000…001）/2＝0.000…0005

结果中这个最后一位数字5，已经超出无穷小数的有效数位，可以忽略不计。这整个数（0.000…0005）在数轴上是找不到它的位置的，它的值实际上还是等于第一个无穷小数。即

0.000…0005＝0.000…000

惊不惊讶，不相等的两个数a和b，(a＋b)/2得出的居然可以不是一个新数?

这个0.000…000即是0，0.000…001即是大于0的最小小数，或者说，它就是显实数中的无穷小。这个无穷小正好可以与隐实数中的无穷小[公式]对应。隐实数中的无穷小是一个逻辑上的无穷小，而显实数中的无穷小是随着∞和1的确定而确定的，它是一个可以用于度量的无穷小。这个无穷小确定以后，从0开始，以0到无穷小之间的距离为最小单位，向右移动得到的就是正的有理数或无理数，直至遇到∞为止；向左移动得到的就是负的有理数或无理数，直至遇到－∞为止。

有理数和无理数的地位是平等的，不是先有了有理数之后才有的无理数，也不是非要通过有理数去构造无理数。我们只需基于无穷小按照一定的规则构造出所有可区分数，然后碰巧其中有的可区分数可以表示成整数与整数之比，即为有理数；有的不能表示成整数与整数之比，即为无理数。有理数和无理数同自然数一样，也是有限的，是在∞之内的。

这些有理数或无理数在逻辑层上的投影为可区分数β。∞之后与－∞之前的数都是无穷数，就不再细分，它们在逻辑层上的投影都是∞'。至此，三层实数构造完成。

三层实数，都是基于算术运算得到的，没有用到任何算术规则之外比算术更高级的知识或者技巧，可以说它完全是算术公理自然演绎的结果，就不存在还要算术化的问题。反观整个三层实数的构造，它很清晰地呈现出来一个由简单到复杂的演化进程：第一层始基层，可谓洪荒初开，只有一个0，运算只有±0，结果则是只有一个可区分数和很多很多的不可区分数。这一层的要义是，连续就意味着不可区分；第二层逻辑层，可谓天高地阔，不仅有0，还有∞，基本运算是±0×∞，结果是有很多很多的可区分数和很多很多的不可区分数。这一层的要义是，从无到有必然经历无穷；第三层度量层，可谓万物滋生，0、∞和1齐备，基本运算是±1，结果是有自然数、整数、有理数、无理数，该有的都有了。这一层的要义是，不能忘本，就是别忘了前面两层是基础。从洪荒初开，到天高地阔，再到万物滋生，仿佛是一个宇宙的诞生，蔚为壮观。

三层实数，只是一个理论工具，帮助我们理解直线上的实数而已。在实际应用中，不需要一股脑全搬出来。用实数去度量，就用度量层的显实数，其他两层实数则可以忽略。比如画一条数轴，只需在数轴上标记好0、∞和1即可，不用在数轴的下面再画出逻辑层和始基层。只要记得逻辑层的要义是“从无到有必然经历无穷”，始基层的要义是“连续就意味着不可区分”，那么这两层实数就等于已经刻在脑子里了，用的时候自然能得心应手。下面我们就杀鸡宰羊，试试这把牛刀。

实数为什么比自然数多

所谓实数，是能够与一条直线上的所有点一一对应的实数。直线是无限的，那么实数也是无限的。什么是无限?——直线的无限，展现的是几何直观的无限，“直观”即“直接去看”，想知道什么是无限，就直接去看直线，无限就像直线那样。这种类比的认知方式过于原始，不具备太多的可操作性。为此数学家们发现如果一个集合是无限的，那么这个集合可以跟它的一个真子集一一对应。简言之，即整体与部分相等。反过来说就是，如果一个集合能够做到整体与部分相等，那么这个集合是无限集。这么奇葩的性质，在有限集当中肯定是不存在的。

但问题是无限和无穷，在数学家那里居然是不分的，他们认为无限就是无穷，无穷就是无限。所以在他们看来整体与部分相等的既是无限集，也是无穷集。而实际上，无限和无穷是两个完全不同的概念，无穷集也有有限和无限的区分。实数有无穷多，实数集是无穷集，但它是无限的无穷集；自然数有无穷多，自然数集是无穷集，但它是有限的无穷集。拿实数去跟自然数一一对应，实际上是拿无限集去跟有限集一一对应，无限对有限肯定是对不上的，结果必然是实数比自然数多。

当康托用反证法证明实数比自然数多时，他并没有拿整个实数去跟自然数对应，而是从中截取0到1之间的一小段去跟自然数对应。0到1之间的所有实数，即区间[0，1]，它有上边界、有下边界，明显已经不是无限集，而是有限集了。拿它去跟自然数对应，其实是有限对有限，这种情况是我们熟悉的，知道它多一个就是多，整体大于部分。况且自然数有多少个，前面我们已经知道了，有ω个。那么0到1之间的所有实数有多少个呢?

整数部分为0，小数部分的有效位数是lg∞－1，每个数位取0－9十个数字中的一个，即

0.000…000

0.000…001

0.000…002

…

0.999…998

0.999…999

这一共有多少个实数是可以算出来的：

10ˡᵍ∞⁻¹ ∞

10ˡᵍ∞⁻¹＝───＝─，

10 10

0到1之间的所有实数一共是∞/10个，自然数是ω个，在值序坐标图中将这两个数标记出来，一目了然，∞/10在前，ω在后，自然数还多啊。

自然数居然比实数还多，这怎么可能呢?——确实不可能。0到1之间，能够表示成无穷小数的实数，即通常所说的有理数加无理数，只是所有实数中的可区分数部分，它的占比是很小的。每个可区分数的身边还围绕无穷多的不可区分数，这个数量是庞大的。0到1之间的第一个可区分数是0，第二个可区分数是无穷小0.000…001，那么0到无穷小之间还有无穷多个不可区分数，即：

第一个实数：0，

第二个实数：0＋0，

第三个实数：0＋0＋0，

……。

从0到0.000…001，即0＋0×∞，还要加无穷多个0，经过无穷多个实数，要一一对应，当然就不能跳过这些实数。

我们知道维度有0维，1维，2维，…，乃至无穷维。0及其身边所有收敛到0的不可区分数，它们自成一个维度，这个维度叫作0维。记作：(0)，读作：0零维，括号中的这个“0”就是0维的内核，以此作为它的标号或者名字。那么，1及其身边所有收敛到1的不可区分数构成的维度，也是一个0维，记作(1) ，读作1零维。可想而知，有多少个可区分数相应就有多少个0维。

人们通常说起0维，只知道一个0，认为0维就是0，0就是0维，仅此而已，未曾想过它也有十分丰富的内容。一条数轴上的所有实数，即为1维，它是由可区分数和不可区分数构成的，也可以看作是由以可区分数为内核的0维构成的。而可区分数有无穷多，故而相应的0维就有无穷多。因此可以认为1维实数是由无穷多的0维一个挨着一个构成的，用括号来表示即为：

(0.000…000) (0.000…001)……(1.000…000) (1.000…001)……

自然数要跟实数一一对应，那么应当从实数中的一个0维开始。

以(0)为例，看这个0维中有多少个元素。由于0＋0×∞，就到下一个可区分数了，那么0＋0×∞－0＝0×∞，所以(0)中的元素就应该是∞个，即0以及所有收敛到0的不可区分数一共是∞个。自然数一共是多少个?——ω个，ω＋1＝∞，也就是说自然数比一个0维中的元素还少一个。有人说0也是自然数，即便算上它，顶多也是自然数跟一个0维中的元素一样多。说明在数轴上离散分布的自然数，虽然有无穷多，但是如果把它压缩了，压缩到致密的连续，让所有自然数一个挨着一个，结果不过是填满一个0维。自然数是0维的，实数是1维的，两者都不在一个维度上，所以肯定是没法比的。

0到1之间的所有可区分数是∞/10个，每个可区分数又自成一个0维，每个0维又有∞个元素，那么0到1之间所有元素的个数即是：(∞/10)×∞＝∞²/10个，自然数（包括0）有∞个，双方的数目都出来了，就不用去一一对应了。在值序坐标上标记出这两个数，∞在前，∞²/10在后，明显自然数是少的，0到1之间的实数是多的，那么整个实数自然就更多了。

准确来说，整个实数是跟一条直线上的所有点一样多的，而直线是无限的，所以实数也是无限的。无限意味着无数，实数的多是多到不能用一个具体数来描述的。一条直线即便到了无穷远处，它还在延伸，而实数即便到了∞，它后面还有无穷数。但是所有无穷数都是收敛到∞的，也就是说∞是所有数数值的上限，假如有一个数可以描述实数个数的话，它的值也不会大于∞。从这个意义上讲实数是无穷的，这个无穷是无限的无穷。自然数的多也是无穷的，但这个无穷是有限的无穷，它是可以落实到数轴上的某个具体数的，即ω或者∞。因此，不管你怎么证明，只要不是将自然数的无穷偷换或者混淆成无限，结论都将是实数比自然数多。

2维与1维如何一一对应

P(x，y)、Q(z)

左边是一个边长为1的正方形，这是一个平面，代表一个连续的2维。两个维度就意味着两个变量x和y，于是平面上的任意一点P，都可以表示为P(x，y)，并且x、y的取值皆在区间[0，1]上，采用十进制小数可以表示为：

x＝0.α₁α₂α₃α₄α₅α₆ . . .

y＝0.b₁b₂b₃b₄b₅b₆ . . .

右边是一条长度为1的线段，代表一个连续的1维。一个维度只须用到一个变量z，于是线段上的任意一点Q，都可以表示为Q(z)，并且z的取值也在区间[0，1]上。

康托在这里构思了一个非常精巧的操作，将x、y两个无穷小数的小数部分相互交错，合并成一个无穷小数。

先将无穷小数x的小数部分与y的小数部分对齐，α₁对b₁，α₂对b₂，…，然后将α₁插于b₁前，α₂插于b₂前，…，便得到一个新的无穷小数z：

z＝0.α₁b₁α₂b₂α₃b₃α₄b₄α₅b₅α₆b₆ . . .

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