算术公理系统之：实数（四）

z的小数部分，所有的奇数位就是原数x小数部分的数字，所有的偶数位就是原数y小数部分的数字。这个操作只针对小数部分，并且不产生进位，使得整数部分没有任何变动，还是0，所以0≤z≤1，z仍在区间[0，1]上，根据它肯定能在右边线段上找到一个相应的点。于是一个平面上的任意一点，通过这个操作，都可以映射到一条线段上的一点，即P(x，y)→Q(z)，2维对上了1维。那么这个操作的逆操作，由1维去对2维，也是可行的。假设线段上的一个点Q(z)：

z＝0.c₁c₂c₃c₄c₅c₆ . . .

将z中小数部分的所有奇数位摘出来，并令为x，

x＝0.c₁c₃c₅ . . .

剩下的所有偶数位则令为y，

y＝0.c₂c₄c₆ . . .

然后把x、y组合成一个二维坐标P(x，y)，循着这个坐标必然可以在左边平面上找到一个相应的点。于是一条线段上的任意一点，通过这个操作，都可以映射到一个平面上的一点，即Q(z)→P(x，y)，1维对上了2维。

综合以上两点，康托得出结论说，2维的实数跟1维的实数可以一一对应。

有了前面一系列铺垫，我们已经能够做到对无穷的对象进行精确度量，所以只要简单算一下就知道康托的证明是有问题的。闭区间[0，1]当中，即在0到1之间的所有可区分数是∞/10个，算上不可区分数，一共是∞²/10个。这个数就是右边那条线段上所有实数的数量。那么左边平面上有多少个实数也是可以算出来的，相当于是求正方形面积，即

(∞²/10)×(∞²/10)＝∞⁴/100，

在数轴上将∞⁴/100和∞²/10标记出来，∞⁴/100肯定是在∞²/10后面，意即左边平面上的实数肯定比右边线段上的实数要多。无可否认∞⁴/100和∞²/10都是无穷数，在数值上它们是相等的，但在数序上∞⁴/100要后于∞²/10。这个差异通过“1对1”是可以准确反映出来的。但是康托为什么得出了一一对应，两者一样多的结果呢?

问题就出在那个将小数部分合并和分拆的操作上。

无穷小数的小数位数，尽管可以有无限多，但它的有效数位是有限的，也就是说

1 1 1 1

──，──，──，...，──，0，0，...

10¹ 10² 10³ 10ⁿ

这个递减的等比数列，一直递减下去，它一定会递减到0。或者说这个数列是收敛的，亦或者说这个数列是存在极限的。到0之后，就全是0了，位值为0的数位是无效的。前面我们已经计算过无穷小数的有效数位是lg∞－1，lg∞－1之后就是无效数位了。

试想线段上的一个实数z，它有lg∞－1位小数。将它的一半给x，另一半给y，然后将x、y归并为一个坐标P(x，y)，再根据这个坐标在平面上找到相应的点。按理说，z有lg∞－1位小数，x和y也应该有lg∞－1位小数。但是它们从z那里分得的小数位数只有(lg∞－1)/2，意味着只有前面一半，后面一半只得用0来填充。也就是说，从线段上的点Q(z)映射到平面上的点P(x，y)，这些被映射的点，它们的坐标x、y的小数部分的后半段都是0，于是那些后半段不是0的点就统统映射不到了。所以从线段到平面的映射，不是一个满射。

再看从平面上的点向线段上的点进行映射。为了避免不易察觉的遗漏和重复，可以先将平面上的一部分与线段一一对应。

先将正方形底边上的所有点一一映射到右边的线段上了，即平面上的点P(z，0)与线段上的点Q(z)一一对应。映射完之后，再来映射平面上剩下的其他点。对于这些点P'(x，y)，其中0≤x≤1，0＜y≤1，还是按照康托的操作将x、y的小数部分错位相合，得到的一个无穷小数z。这个z是否仍然在线段上，并且没有被映射过呢?

正方形底边的长度为1，与右边线段的长度为1，这两个1是相同的度量单位。底边线段有多少个点，右边线段就有多少个点，它们之间一一对应是完全没有问题的，并且不存在遗漏或者重复。也就是说从P(z，0)映射到Q(z)是满射，那么，接着从P'(x，y)映射到Q(z')。x有lg∞－1位小数，y也lg∞－1位小数，将两者的小数部分错位相合，得到的实数z'就应该有2(lg∞－1)位小数，看着就比原来的z多一倍的小数位数。但有效的仍然只是前面靠近小数点的lg∞－1位小数，后面的lg∞－1位小数无效，可以弃而不计。那么考察这个z'的有效部分，就和原来的z没有什么不同，都是lg∞－1位小数，每位小数都是0－9之间的某个数字，它的值必定出现在下面这张列表之中：

0.000…000

0.000…001

0.000…002

…

0.999…998

0.999…999

这张列表就是0到1之间的所有无穷小数，它在从P(z，0)到Q(z)的映射中，就已经被全部映射过了，后面继续从P'(x，y)到Q(z')进行映射，结果就只能是重复映射。所以，从平面到线段的映射，不是一个单射。

既然从平面到线段不是一个单射，从线段到平面又不是一个满射，既不是单射，又不是满射，哪来的一一对应呢?或许是康托大意了，以为只要能将平面上的点映射到线段上，将线段上的点映射到平面上，就完事了，没考虑过这个映射可能存在重复或者遗漏。可想而知，基于同样的方法去证得3维，4维，…，n维，乃至无穷维的实数均与1维的实数能够一一对应，都是靠不住的。

新旧观念的较量

三层实数代表一种新实数观，而通常理解的有理数加无理数则是一种旧实数观，新旧之间，不可避免终有一战。三层实数对阵一层实数，三打一，何况有理数加无理数是否构成一层能够完全覆盖一条直线的实数，还得另说。并且三层实数中的显实数，是完全包含有理数加无理数的，也就是说，通常实数有的三层实数都有，通常实数能做的三层实数都能做。所以明眼人一看就知道，这一战打不打，输赢已定胜负已分。

三层实数赢，赢在点与0在最底层的联姻，点的几何性质与0的算术性质有着惊人的一致，这就是天造地设的夫妻相，可遇而不可求。它们结合之后，也好得没话说，点到哪里0就到哪里，线有多长数就有多大。通常实数输，也就输在这个起点上。虽然它追求的目标也是有一个点相应就要有一个数，但它不是从点与0的对应开始，而是从自然数开始，通过数系扩张来实现对直线上点的覆盖。要知道这是很难的，一头一尾，两处都难。

开头的自然数从哪里来?——最省事的回答，自然数是上帝创造的，一句话就完了。当然作为数学家不能这么轻易甩锅，他们给出了两套方案。一套是为自然数设定自然数公理，以皮亚诺公理为代表；一套是构造抽象的集合，以集合的基数来指称自然数，始作俑者是集合论之父康托。这两套方案能够准确回答自然数从哪里来吗?

皮亚诺公理的一个核心概念是“后继数”，在将“后继数”限定理解为“＋1”运算之后，从“0”开始，0是一个自然数，0的后继数也是自然数，即0＋1＝1；1的后继数也是自然数，即1＋1＝2；…。依此不断地进行后继运算，就能不断地生成自然数。但这个纯粹的“＋1”运算终究是得不到无穷数的。也就是说，对于自然数本身有无穷多这个事实，它是不能给予定量描述的。

至于康托的方案，只要深刻理解了数的抽象性，知道它是不依赖于任何他者而独自存在的数学实体，跟集合没有半毛钱关系，你就明白集合的基数只能算是自然数的一个应用实例，只不过它比较抽象而已。一个实例当然说明不了自然数的本体，如同一个苹果说明不了什么是自然数1，两只耳朵也说明不了什么是自然数2。数学家们也知道确实说明不了，干脆不说明，在康托朴素集合论之后的公理化集合论中，数学家们拿出一条公理，直接规定：存在一个包含所有自然数的集合，并且它有无穷多个元素，称之为“无穷公理”。这等于变相承认自然数是上帝创造的，人类在自然数面前无所作为，唯一能做的就是以公理之名承认它存在、承认它有无穷多，然后便可以安心地使用它。总之，锅还是甩出去了。

两套方案都不尽如人意，这个问题确实很难，所以也不必苛责数学家。既然数学家都能安心地使用自然数，我们就更没有理由担心了，拿来用就行。自然数往后，引入减法，就能将自然数系扩张到整数系；整数往后，引入除法，就能将整数系扩张到有理数系。有理数往后，数学家们认为只要想办法把无理数包含进来，就能将有理数系扩张到实数系。这又是一个天大的难题，数学家们为此也是抓破脑袋想尽办法，其中尤为著名的是戴德金分割。

开区间与确界原理

在进入戴德金分割讨论之前，我们先来看这么一个问题。

考察实数轴上的一小段区间[0，1]，这是一个有限集，有上下边界，上边界为1，下边界为0；或者换种说法，它有最大数，最大数为1，有最小数，最小数为0。这样的区间一般称为闭区间。就着这个闭区间，我们将0和1这两个端点去掉，注意哦，仅仅是这两个端点，其他的都不动，结果变成了一个没有端点的开区间，记作(0，1)。[0，1]与(0，1)相比，前者包含0和1，后者不包含，这是它们唯一的区别。那么问题就是开区间(0，1)有上下边界吗，或者说它有最大数、最小数吗，又或者说它真的没有端点吗?——老话说“慈母手中线”，难道慈母剪掉一个线头，手中的线就没有头了吗，没有头的线是什么样子的?——倘若果真如此，那就非常诡异和耐人寻味了。

其实不用犹豫和迟疑，本着常识就可以回答：有。

直线是由什么构成的?直线是由点构成的，是由点一个挨着一个构成的，直线上任意一点的周围都是点，并且点与点之间没有间隙。将数轴上的[0，1]区间放大来看。

0点的右侧是一个点，这个点对应的实数是0＋0，将0这个端点去掉之后，它就是接下来自然而然的端点；1点的左侧是一个点，这个点对应的实数可以简单表示为1－0（具体可以表示为0.999…998＋0×ω，即它是一个收敛到0.999…998的不可区分数，而0.999…998是1之前距离1最近的可区分数），将1这个端点去掉之后，它就是接下来自然而然的端点。将闭区间[0，1]同时去掉0和1这两个端点，注意哦，仅仅是这两个端点，其他的都不动，剩下的部分则同样是一个有着端点的闭区间，即[0＋0，1－0]。这个闭区间与所谓的没有端点的开区间(0，1)是同一个区间，这在示意图上肉眼可见。意思很明确，开区间(0，1)也是有端点的，它可以等价地转写成闭区间[0＋0，1－0]，其端点分别是0＋0和1－0。有端点就意味着它有上下边界，有最大最小数。那有没有转不了闭区间的开区间呢?

有的，那只能是无限区间，但这里讨论的[0，1]和(0，1)都是有限区间。对于这些有限区间，数学家们还没有可区分数与不可区分数的概念，并不知道实数是由可区分数加不可区分数构成的，未曾想数轴上还有像0＋0和1－0，这种既不是有理数也不是无理数的不可区分数的存在。正因为心中没数，数对应的点自然也没了，所以他们就误以为开区间(0，1)是没有端点的，是没有上下边界的，是没有最大最小数的。由此导致一系列错误结论地产生。

将区间[0，1]与(0，1)进行比较，前者有端点，后者没有端点，但是两者中都有0和1。对于前者[0，1]来说，0和1是端点，是上下边界，是最大最小数。那么对于后者(0，1)来说，0和1又意味着什么呢?

早在1817年，捷克数学家波尔查诺首先提出确界原理，这条原理被后世数学家认为是实数理论的基石。内容是说，对于一个非空区间，如果有一个数大于或等于该区间中的所有数，这个数称为该区间的上界，那么从这个数到该区间中的所有上界中必有一个最小上界，称为上确界，即所谓“有上界则必有上确界”。反过来说，如果有一个数小于或等于该区间中的所有数，这个数称为该区间的下界，那么从这个数到该区间中的所有下界中必有一个最大下界，称为下确界，即所谓“有下界则必有下确界”。

通过确界原理来看刚才的0和1，仅以1为例，0就不展开了。

1大于或等于区间[0，1]中的所有数，所以1是[0，1]的上界，同时1也是该区间的上边界，也是该区间中的最大数。1到[0，1]之间没有其他数，所以1就是[0，1]的上确界。对于这种闭区间的情况，所谓的上确界就是区间的上边界，可以称之为“有上界则必有上边界”。

而1大于或等于区间(0，1)中的所有数，所以1是(0，1)的上界，这个没问题。由于区间(0，1)被认为不存在上边界，即(0，1)中的数只会向着1越来越大，越来越接近1，就是没有最大数。1到(0，1)之间，数学家们找不到其他数，所以就误以为1是(0，1)的上确界。

其实这不对，1到(0，1)之间，还有比1小，同时又能大于或等于(0，1)中所有数的上界存在。要知道，从(0，1)到1是连续的（这一点如果不好理解，可以将1再加回到(0，1)区间，变成半闭区间(0，1]来看），(0，1)中必有一个数紧挨着1，这个数是0.999…998＋0×ω，这个数再加一个0，就到下一个数1了，因此也可以将这个数表示成1－0（意即1的前一个数）。它就是比1小的数，并且它是(0，1)中的最大数，即大于或等于(0，1)中的所有数。所以1不是(0，1)的上确界，1－0才是。很显然，对于开区间的情况，所谓的上确界仍然是区间的上边界，仍然可以称之为“有上界则必有上边界”。

既然不论是闭区间还是开区间，所谓的“确界”最终指向的都是区间上的“边界”，那么是否可以考虑将“确界原理”更名为“边界原理”呢，即“有上界则必有上边界”、“有下界则必有下边界”?——明显这样的表述更为准确（注意，两者的内容实质是一致的）——估计数学家是不会同意的，因为原来的确界原理，对于闭区间来说，这个“确界”是落在区间上的，而对于开区间来说，这个“确界”数学家认为是落在区间外的，其实不是。但这个被认为是落在区间外的“确界”正好为极限概念的引入，留下一个几乎是量身订制的接口。

你想啊，先是认为(0，1)上没有最大数，(0，1)中的数只会向着1越来越大、越来越接近1，那么1不就正好是这个趋近过程的极限嘛。1对(0，1)来说既是确界，同时也是极限，是极限就可以自然接入关于极限的一整套理论和方法。如果把“确界”改成“边界”，意味着从0点到1点，可以连续地经过其间的每一个点，哪怕是无穷多个点；也可以在其间的任意一个点上停下来，每一个点都可以作为终点，于是就不存在无限趋近而不可达的过程。没有这样的过程当然就没极限什么事了，数学家们历时两三百年时间精心打造的极限理论，岂不是给废了，说废就废，他们能同意吗?

戴德金分割

整明白(0，1)区间身上发生的事情之后，再来整戴德金分割，就比较容易整清楚了。

戴德金分割，其关键就是“分割”。围绕分割展开的第一个问题是，对谁进行分割，分割的对象是什么?戴德金在1872年出版的《连续性与无理数》中开篇第1节就讲到有理数的性质，并依次列出了三条，分别是：

Ⅰ，如果a＞b，并且b＞c，那么a＞c。只要a，c是两个不同（或不相等）的数，而b大于其中一个且小于另一个。那么由于几何思想的启示，无疑我们可以将此简明地说作：b落在两个数a，c之间。

Ⅱ，如果a，c是两个不同的数，那么有无穷多个不同的数落在a，c之间。

Ⅲ，如果a是任何一个确定的数，那么数系R的所有的数落在两个类A₁和A₂之中，它们每个都含有无穷多个数；第一个类A₁由所有＜a的数α₁组成，第二个类A₂由所有＞a的数α₂组成；数a本身可以根据意愿算作第一类或第二类中的数，并且分别是第一类中的最大数或第二类中的最小数。在每种情形，数系R分划为两个类A₁，A₂都是使第一类中的每个数小于第二类中的每个数。

论述中，戴德金跳过了自然数和整数，直接进入有理数，戴德金要分割的第一个对象是有理数系，第Ⅲ条中的“数系R”指的是有理数系，而不是我们现在通常用“R”来指称的实数系。如果仅仅局限于有理数系，在有理数当中对有理数进行分割，那么不论怎么分割得到的都是有理数。戴德金的目标是无理数，因此必须扩大分割范围，由有理数系扩大到实数系，即以一条实数轴上的所有数作为分割对象。但是，这条实数轴上只标记了有理数，没有标记无理数，意思就是有理数是我们已知的，而无理数是我们未知的，通过分割我们要辨别出哪些是有理数，哪些是无理数，排除已知的有理数，剩下就是未知的无理数。

由此看出，分割过程不是一个从无到有的构造过程，而是一个从有到有的检验过程。如果实数轴上压根没有无理数存在，分割是造不出无理数的，同理，它也造不出有理数。也就是说，有理数和无理数必须事先存在，然后通过分割，我们能检验或者辨别出哪些是有理数，哪些是无理数，仅此而已。

明确了分割对象，那么第二个问题是怎样分割?

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