算术公理系统之：实数（五）

所谓分割，就是将一组有序排列的对象一分为二，分为前后两个部分。可以想象一位数学家手中拿着一把锋利无比的屠龙宝刀，刀口的宽度只有直线上一个点的宽度，这种锋利程度放置全宇宙那也是绝对神级的存在，不可能找到比它更锋利的了。数学家拿着这把刀在一条直线上咔咔咔一顿乱砍，每次砍下去，刀口都会在直线上有一个落点，或者叫分割点，记为p点，随即直线应声在这个分割点附近断开，断开的方式不外乎三种：

1，在分割点的前面断开；

2，在分割点的后面断开；

3，在分割点前后同时断开。

第3种方式首先排除，因为它将分割点单独摘出来，使得直线分成了三个部分，而戴德金要的是两个部分。第1种方式，直线在分割点的前面断开，则分割点落在后面那部分；第2种方式，直线在分割点的后面断开，则分割点落在前面那部分。这两种方式其实没有本质区别，所以我们不妨约定，每一刀下去，直线都以第1种方式断开，分割点总是落在后面。

第三个问题，也是最关键的问题，通过这样的分割如何辨别哪些是有理数，哪些是无理数?

对着一条实数轴进行分割，我们先做这样一件事情：把实数轴上的所有数统统抹掉，将数轴还原为最朴素的直线，然后对着这条直线进行分割，结果会怎么样呢?结果就是，不论怎么分割，结果都是一模一样。

随便一刀砍下去，直线以p点为分割点断开，分为A、B两部分，p点在B中，且为B的端点；同时，与p点紧挨着的q点在A中，且为A的端点。p与q的关系是，q＝p－0，意即p的前一个点是q点。也就是说，直线从任意一点断开，断口处A、B两部分都是有端点的。并且，由于直线是向两端无限延伸的，那么断开后，A向着左无限延伸，B向着右无限延伸，A、B两部分是可以完全重合的，或者说它们可以一一对应。有端点，揭示的正好是直线的连续性；可重合，揭示的正好是直线的无限性。

不论怎么分割，都是一样的结果，这不免让人心生疑虑。如果说实数是一栋建筑，那么它就是以直线为基础，建筑在直线之上的。现在对直线进行分割，分割不出有差异的结果，意味着通过这样的分割，分辨不出哪些点是平凡的点，哪些点是特异的点。那么将所有点都覆盖上实数之后，我们如何分辨哪些是有理数，哪些是无理数呢?

戴德金给出的方案是：

①、如果分割点p是有理数，则A中没有最大数，B中有最小数。因为先前的设定，实数轴上只标记了有理数，没有标记无理数，有理数是已知的，无理数是未知的，所以准确地表述应该是：如果分割点p是有理数，则A中的有理数没有最大数，B中的有理数有最小数。例如，p＝2，则对于A中的任意一个有理数a，都有a＜2；对于B中的任意一个有理数b，都有b≥2，最小数为2。

②、如果分割点p是无理数，则A中的有理数没有最大数，同时B中的有理数没有最小数。例如，p＝√2，则对于A中的任意一个有理数a，都有a＜√2；对于B中的任意一个有理数b，都有b＞√2。

对①、②进行反向推演，就可以判断一个数是有理数还是无理数。即令以这个数为分割点p，将实数轴分割为A、B两部分，如果A中的有理数没有最大数，B中的有理数有最小数p，则断言p为有理数；如果A中的有理数没有最大数，同时B中的有理数没有最小数，则断言p为无理数。

这个就是戴德金分割最核心的内容，看着确实逻辑严密滴水不漏，它对吗?不对啊，这明显违背了确界原理，或者说边界原理。

边界原理是说，有上界则必有上边界，有下界则必有下边界。以任意一个实数p为分割点，将实数轴一分为二，分为A、B两部分，并且约定p总是落在B中。那么对于A来说，p就是A的上界，有上界则必有上边界，意味着A有上边界，这个上边界是q，前面已经说到q就是p的前一个数。即对于A中的任意一个数a，都有a≤q，q就是A中的最大数。

注意这个时候的A是小于p的全体实数，那么我们将A中的所有有理数标记出来，构成A的一个子集A'，p同样是A'的上界，有上界则必有上边界，所以A'同样有上边界。以p＝2为例，2是有理数，那么小于2并且距离2最近的那个有理数是多少?

可以不必把它找出来，只要指出它是存在的即可。因为我们还不知道有理数和无理数在实数轴上具体是如何分布的，是一个有理数接着一个无理数，一个无理数接着一个有理数这样均匀分布；还是两个有理数之间隔着多少个无理数，或者两个无理数之间隔着多少个有理数呢，我们不知道。只知道有理数和无理数以无穷小数的形式在数轴上有序地交错排列，那么顺着2往前找，是一定能找到有理数的。这第一个找到的有理数，就是小于2 并且距离2最近的那个有理数，记作q'。这个q'就是A'的上边界，即对于A'中的任意一个有理数a，都有a≤q'，q'就是A'中的最大数。

同理，当p＝√2时，顺着√2往前找，也是一定能找到有理数的。这第一个找到的有理数，就是小于√2并且距离√2最近的那个有理数，记作q'。这个q'就是A'的上边界，即对于A'中的任意一个有理数a，都有a≤q'，q'就是A'中的最大数。

看到了吧，不论p是有理数还是无理数，以它为分割点将实数轴分割为A、B两部分，A中的有理数都有最大数。同样的思路可以一并证得，此时B中的有理数也都有最小数。也就是说，不论怎么分割，都是A中有最大数，B中有最小数。或者更进一步来说：不论怎么分割，A中的任意一个非空子集它都有最大数，B中的任意一个非空子集它都有最小数。欸，这扶正后的戴德金分割就很符合确界原理了。或者说，戴德金分割本质上就是确界原理的一个具体实例，它以极为形象生动的方式将确界原理演绎了一遍。分割点p即为“界”，对于A来说是上界，有上界则必有上确界，并且不管A中的元素连续还是不连续；对于B来说是下界，有下界则必有下确界，同样也不管B中的元素连续还是不连续。

大概这才是正解，实数与直线一一对应，对着直线不论怎么分割，都分割不出有差异的结果，那么对着实数不论怎么分割，同样也分割不出有差异的结果。两者的步调竟然如此一致，说它们是绝配真不是浪得虚名。如果确实这样，当然就没办法去倒推分割点究竟是有理数还是无理数了。谁曾想戴德金分割不仅不能构造，连检验也检验不了。因此，戴德金设想通过分割，通过分割后有无最大最小数来辨别有理数和无理数的精美计划，也就破灭了。

用确界原理去批评戴德金，可以想见他必定不服气。虽然确界原理早在戴德金出生之前就已经提出，但波尔查诺这人没什么名气，他提出的确界原理以及其他研究成果都没有引起同时代人的注意。以致于戴德金在创作《连续性与无理数》时都没听说过波尔查诺这个名字，可能压根也不知道所谓的确界原理。以人家不知道的东西去批评人家，不厚道。那么，我们撇开确界原理，就说直线的连续性。戴德金对此是有过深入思考的，他得出的结论是：

“如果直线上所有的点落在两个类中，使得第一类中每个点都在第二类的每个点的左边，那么存在一个而且只有一个点，它产生这个将所有点分为两类的分划，即它将直线分为两个部分。”

简单理解就是，以直线上的任意一点为分割点p，可以将该直线唯一确定地分割为A、B两部分，使得A中的每个点都在B中的每个点的左边。这个有错吗?没有错，但是它不全面，它漏掉了一个与分割点p点同样重要的q点，即紧挨着p点的前面一个点。直线是由点挨着点构成的，如果在分割之前，q点就是紧挨着p点的，那么分割之后，p点落在B中，作为B的端点；则q点必然落在A中，作为A的端点。

有端点则意味着，B中的元素都是大于等于p的，记为B≥p；A中的元素都是小于等于q的，记为A≤q。然而戴德金的描述只强调了一个点，即作为分割点的p点，说明他只看到了一个端点，没有看到另一个端点。p是B的端点，毫无疑问，那么A中就没有端点，没有端点是什么样子呢?就是将原本的端点q换成省略号，表示越来越或者无限地趋近于p点。

这时A中的元素都是小于p的，即A＜p，这里只能用“＜”而不能用“≤”。戴德金肯定是注意到了这一点，并且强化了这一点。他将这样的分割应用到有理数时就发现，如果以有理数为分割点p，则有A＜p，B≥p；如果跑到有理数之外，以无理数为分割点p呢，则应当有A＜p，B＞p。分割出现了肉眼可见的差异，戴德金称之为“分割现象”，并以此作为有理数和无理数的本质区别，演绎出了一整套分割理论。即在原本不连续的有理数基础上，通过分割在有理数的间隙上分割出无理数，从而实现有理数系向实数系的扩张。

连续直线在断开后只有一个端点，这只是戴德金个人片面的认知，实际上是有两个端点，实际上A＜p也可以等价地转写成A≤q，但是他不知道这些。显而易见的两个端点只注意到了一个端点，估计是一时疏忽大意了。基于这个片面认知，他看到的所谓“分割现象”，其实只是幻觉，并不是真实的存在。基于幻觉得出的结论当然是不靠谱的，所以对他的分割理论也不必当真。但问题是，戴德金当真了，戴德金之后的数学家也都当真了，并将其作为实数理论的一部分。

现行实数理论一般包含两部分，一部分称为实数公理，一部分称为实数模型。所谓实数公理，即以公理的方式给出的一组或者多组认为是实数应当满足的规则，这些规则是抽象的，并不是一个一个具体的实数。而实数模型则是一个构造实数的具体方法，它负责将实数一个一个地构造出来。戴德金分割就被认为是一种实数模型。作为一个实数模型，戴德金分割能构造出实数吗?——其实不能，它顶多是检验或者辨别不同类型的实数，但大家都认为他是在“构造”，那就“构造”呗。但要说戴德金分割可以构造出实数，也不准确，只能说它可以基于有理数构造出无理数，有理数要出现在无理数之前，并且不是通过分割得到的。戴德金更狠，他将这种构造称为“无理数的创造”。戴德金分割真的能唯一确定地构造出无理数吗?

其实不一定，这取决于一个先天存在的实数结构。比如随口说一个无理数，我们知道这个无理数附近紧挨着它的可区分数是有理数还是无理数吗?——不知道啊，我们压根不知道有理数和无理数在实数轴上具体是如何分布的。就说√2吧，假设紧挨着√2的左边有一个无理数a，接下去是一个有理数q；右边有一个无理数b，接下去是一个有理数p。然后以√2为分割点对实数轴进行分割，这一分割能确切锁定到一个√2吗?

通过有理数分割来构造无理数√2，一般是这么来定义A、B两部分的：

A＝{x∈Q：x≤0或者x＞0且x²＜2}，

B＝{x∈Q：x＞0且x²＞2}。

戴德金的如意算盘就是，A、B两部分之间恰好有且仅有一个√2，或者说√2恰好就是两个有理数之间的间隙，这个间隙不是有理数，当然就是无理数了，补上所有这样的间隙，不连续的有理数自然就变成连续的实数了。但世上哪有那么多恰好，万一两个有理数之间恰好有三个或者更多的无理数呢，这连成片的无理数（比如像a，√2，b），你如何通过一个有理数分割来进行区分呢?——难，太难了，尤其对于宣称任意两个有理数之间还有无穷多个实数的人来说。

再来看实数公理，它由一组序公理，加一组域公理，再加一条确界原理构成。其中最关键的就是这条确界原理。一般认为有理数是满足序公理和域公理，唯一不满足的就是确界原理，而实数则是序公理、域公理和确界原理全都满足。实数连续，有理数不连续；实数满足确界原理，有理数不满足确界原理。因此，确界原理成了一个区分连续与不连续的重要规则。

但问题是，几乎所有数学家都跟戴德金一样，只看到了一个端点，没有看到另一个端点。对于一条连续的直线来说，以直线上的任意一点p作为分割点，将直线分割为A、B两部分。p是B的端点，而A不是没有端点，它的端点是p－0。p是A的上界，但不是它的上确界，A的上确界就是A的上边界，就是它的端点，就是p－0。所以，将p理解为A的上确界是错误的，也就是说，确界原理本身是正确的，但数学家们对确界原理的理解是错误的。正确的理解方式是“边界原理”，即有上界则必有上边界，有下界则必有下边界，“确界”最终指向的都是“边界”。这个错误之所以产生，归根结底是数学家们对直线连续性的认知存在偏差，都没有超出戴德金的认知水平。

同样地，从连续的A中挑出一些不连续的元素，不管是有穷多还是无穷多，构成一个集合A'，这个A'同样有上边界，同样满足边界原理或者说确界原理。就拿前例来说，以p＝√2为分割点的有理数分割，√2是A'的上界，但不是A'的上确界，上确界在A'中，我们不知道这个确界具体是多少，但可以肯定它是存在的，它就是比√2小同时又是距离√2最近的那个有理数。如果认为√2是A'的上确界，那只会错得更离谱。因为对于连续的对象，上界与上确界相差只有一个点，而对于不连续的对象，上界与上确界相差就远远不止一个点了。

有意思的是，如果将对有理数的分割，换成对自然数的分割，人们对上确界的取值便不会产生异议。还是以p＝√2为分割点，如果此时的A'为自然数集，那么A'的上确界毫无疑问就是1，1就是那个小于√2同时又是距离√2最近的自然数。没有人会认为√2是A'的上确界，因为这个上确界是我们肉眼可见的，而换作有理数我们就蒙了不知道了，但不知道不等于不存在。问题就是，自然数跟有理数同样不连续，如果真的是满足确界原理的就连续，不满足的就不连续，那么自然数也满足确界原理啊，它怎么不连续呢?实际上，确界原理根本不能区分连续与不连续，人们认为它能，也只不过是由于认知偏差造成的幻觉。

综合以上来看，现行实数理论，论模型，模型有问题；论公理，公理不靠谱。这仗还怎么打，都不用打，看明白之后，它自己就崩溃了，还是全面崩溃。好在数学家们对此是无知无觉，他们不觉得有什么问题，倒是觉得这实数理论已经是逻辑严密滴水不漏，堪称完美了，与人说起都是自信满满和无比荣耀。不管怎么说，有这种感觉总是好的。

相邻、连续和稠密

三层实数能轻松实现连续性，靠的是从连续到连续；而现行实数理论为实现连续性，它选择的道路是从离散到连续，或者从不连续到连续。相比于从连续到连续，从不连续到连续的难度自然更大，但不是不可能，它需要借助一个重要概念来过渡，即：相邻。

相邻就是两个元素之间没有同类元素，不相邻即为相间。以自然数为例，与2相邻的自然数是1和3，一个左边相邻，一个右边相邻。1和2之间，不再有自然数，所以称它们为相邻的两个自然数；而1和3之间，还夹着一个自然数，所以称它们为相间的两个自然数。

那什么是连续呢?连续本质上是一个距离概念。在直线上，距离一般定义为两点之间差值的绝对值，即|a－b|。那么连续是否就是两点之间的距离为0呢?在宏观上这么说没问题，但到了零观上就不准确了。我们把一条直线放大来看：

很显然，a和b连续，而a和c不连续。a和b连续，那么a和b之间的距离是多少?是一个0；a和c不连续，那么a和c之间的距离是多少?是两个0。因此，准确来说连续就是两点之间的距离为一个0。但是人们通常的计算是算不出一个0还是两个0的，算出来的都是0，也就是说在宏观尺度上我们区分不了a和b连续，而a和c不连续，从最终结果来看它们都连续。既然距离上有一个0和两个0之分，那么自然还有一个“零个0”。零个0应该就是重合了，而在直线上重合的两个点，可以认为是一个点，所以，连续度量的就是不重合的两点之间距离最接近的一种状态。进入这种状态意味着，连续的两点之间不再有其他的点，连续的两数之间不再有其他的数。

而相邻不关心距离，更像是一个集合概念，它就是从一个集合中直接选取最接近的两个元素。将“相邻”与“距离”结合到一起就能产生奇妙的作用。什么是连续?——连续就是相邻两点之间的距离为0——加上“相邻”这个限定词，就不用去区分距离上是一个0还是两个0了。那么一条直线它是连续的，就可以描述为：直线上任意相邻两点之间的距离为0。这样的描述就变得非常清晰和准确。

借助相邻去追问距离，就可以由不连续逼近连续。相邻两个自然数之间的距离是多少?是1，1大于0，所以它们不连续，它们之间一定还有其他数；相邻两个有理数之间的距离是多少?因为有理数和无理数在实数轴上是交错不均匀分布的，相邻两个有理数之间，可能夹着无理数，也可能没有夹无理数，如果是没有夹无理数，那么从一个有理数到下一个有理数的距离就是一个无穷小，无穷小是大于0，所以它们不连续，它们之间一定还有其他数；最后是实数，相邻的两个实数，对应的就是直线上相邻的两个点，这样的两个点就是标准的连续，距离为一个0，其间不会再有其他数，所以实数是连续的。从自然数到有理数到实数，从不连续到连续，这不就一举证得了吗，而且这逻辑步步推导下来，如丝般顺滑，不带一点卡顿。

但在现行实数理论中，相邻概念好像也就止步于自然数了，再往后的有理数、无理数，乃至实数，都没有相邻的说法。听说过“相邻的两个自然数”，没听说过有谁讨论“相邻的两个有理数”，“相邻的两个无理数”，或者“相邻的两个实数”如何如何的。是确确实实没有吗?

当然不是，是另一个概念的存在断绝了数学家们讨论相邻的可能，这个概念叫作“稠密”。

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