算术公理系统之：实数（六）

这个稠密跟连续一样，它考察的也是实数轴上的两点或者两数之间的距离可以有多小。零观尺度上距离的最小单位是0，而且是一个0，这个就是最小距离，没有比它更小的了。连续的两个点或者两个数之间的距离，就是一个0，相距两个0严格来讲都不叫连续。而在宏观上一个可区分的最小距离是多少?

首先它肯定要大于0，连数学家都很难想象一个物体移动一次只移动一个0的距离，一个0的距离、两个0的距离这在宏观上根本没办法去分辨，一律视作距离为0，或者没有移动距离。其次它要尽可能的小，既要大于0又要尽可能的小，这就涉及到无穷小的概念。而对无穷小的理解又取决于对无穷的理解。如果认为无穷可以完成，那么这个无穷小就是隐实数中的[公式]或者显实数中的0.000…001，这个无穷小是确定的，是可以落实到数轴上的某个点的；如果认为无穷不可完成，认为它总是在没完没了地进行当中，那么这个无穷小就不可能是某个确定的数，不可能落实到数轴上的某个点，它必然是在不断地变动之中。这样的无穷小有一个更准确的叫法，叫作“无限小”，一般用一个希腊字母ε来表示。这个无限小ε是一个变量，它自始至终要大于0，但同时又在无限地趋近于0。这个ε就是现行实数理论可以想到的最小距离，与一个0相比，它大了至少有一个量级。以这样一个变量作为最小单位，来度量两点或者两数之间的距离会怎么样呢?

诚然任意相邻两个自然数之间的距离都是1，所以对自然数就没什么好讨论的。那么相邻两个有理数之间的距离呢?一旦加上“相邻”这个限定词，就意味着要讨论的这两个有理数之间不再有其他有理数，否则就不叫相邻，那叫相间。但是数学家们发现这一点做不到，对于不论多么接近的两个有理数，只要不相等，只要不重合，它们之间就一定还存在其他的有理数。这里有一个被经常引证的例子，假设a，b为两个不相等的有理数，则必有(a＋b)/2，还是有理数。

令a＝0，b＝1，那么(a＋b)/2＝(0＋1)/2＝1/2；

令a＝0，b＝1/2，那么(a＋b)/2＝(0＋1/2)/2＝1/4；

令a＝0，b＝1/4，那么(a＋b)/2＝(0＋1/4)/2＝1/8；

……

即如果a为0，b不等于0，则不论b多么小，b到0之间都还有有理数，通过上面的式子是可以计算和验证的。由此得到b的取值或者b到0之间的距离是这样一列数：

1，1/2，1/4，1/8，…。

这列数就代表着一个具体的无限小，数列末尾的省略号即表示，无限小就像这样越来越小地一直小下去，没有终了。说明两个有理数之间的距离可以是无限小，更进一步来说，任意两个有理数之间还有有理数，还有无穷多的有理数。戴德金对此的描述是“如果a，c是两个不同的数，那么有无穷多个不同的数落在a，c之间”。这种“还有无穷多的”性质被称为稠密性，有理数第一个被认为是稠密的。

有“稠密”就不能有“相邻”，有“相邻”就不能有“稠密”。稠密之义是两个元素之间还有同类元素，而相邻之义是两个元素之间没有同类元素，它们俩在根本上是相互否定的，不可能同时成立。所以这就是为什么一旦认定有理数是稠密的，就不可能出现“相邻的两个有理数”如何如何的说法。但问题是，“相邻”与“连续”却紧密相连。相邻意味着两个元素之间没有同类元素，而连续意味着两点之间没有其他点，两数之间没有其他数。对于数轴上的点或者实数来说，它们俩是等价的：相邻则必然连续，连续则必然相邻；不相邻则不连续，不连续则不相邻。用“连续”替换“相邻”，便可以得出一个令人惊异的结论：有“稠密”就不能有“连续”，有“连续”就不能有“稠密”。如此看来，“稠密”与“相邻”不相容，“稠密”与“连续”也不相容。

如果仅仅是认为有理数稠密，那还好，但是数学家们认为实数也稠密，认为任意两个实数之间还有实数，还有无穷多的实数。但刚才说，有“稠密”就不能有“连续”，这就让人尴尬了，数学家们孜孜以求的就是实数的连续性，认为实数天然或者天生就应该是连续的，就像一条直线那样。一旦认定实数稠密，那就意味着现行实数理论中的实数并不连续。实际情况也确实如此，若是有人不服气，你就指着下面这张示意图问他：

假如a＝0，那么紧挨着a的b是一个什么数，或者a的后继实数（后继数，不能只允许后继自然数吧）是多少?——现行实数理论回答不了这么一个简单的问题。

我们知道实数确确实实是连续的，任意相邻两个实数之间都不再有其他实数，所以根本就稠密不起来。要想让实数呈现出稠密的样子，那么在选取实数时，就不能是任意的，要确保每次选取的两个实数之间都间隔着无穷多的实数。然后还要经受得住好事者地检验。这个太难了。

不仅实数不稠密，其实有理数它也不稠密。就说刚才那个除以2的例子，实际上就是计算

1

─，

2ⁿ

当n取自然数取到无穷数时，这个式子是等于0的。那么我们不取无穷数，只取有穷数中最大的自然数ν，它的下一个自然数便是最小无穷数α，即ν＋1＝α。当n＝α时，

1

─＝0，

2α

那么当n＝ν时就应该不等于0，即

1

─≠0。

2ν

1

假如说式子 ──

2ⁿ

取任何一个自然数计算得到的都是有理数的话，那么

1

─

2ν

就是与0相邻的有理数，将

1

─

2ν

再除一次2，就是0了，

1

─

2ν

与0之间不再有其他有理数。算到这一步，你还认为相邻的两个有理数是做不到的吗，还去相信任意两个有理数之间还有有理数吗?

由此得到的即是这样一列数：

1 1 1 1

1，─，─，─，...，─，0。

2 4 8 2ν

如果说非要找一列数来表示一个无穷小，那么这个就是表示无穷小的完整的一列数，它有起点有终点。一尺之棰，日取其半，虽万世不竭，但若无穷世，它仍然会竭。也就是说，无穷小是可能的，而无限小是不可能的。无穷小是有限的，0就是它的限，它一定会在0之前的某个位置停下来，然后纵身到0。并不存在所谓的没完没了地、越来越、无限地接近0。其实无穷小是一个常量，不是一个变量，在数轴上是可以找到它的位置的，不需要退而求其次找一列数来表示。

将有理数和无理数统一起来看，它们是以无穷小为最小单位依次构造的可区分数，相邻两个可区分数之间的距离是一个无穷小，它们是不连续的，就像自然数那样，也是不稠密的。将有理数或者无理数从中摘出来，如同将自然数单独摘出来一样，也必然是不稠密的。

实数不稠密，有理数也不稠密，意味着什么?意味着稠密本身就像戴德金的“分割现象”一样，只是一种幻觉，只是数学家们在“无穷不可完成”这个错误观念下产生的幻觉，并不是真实存在的东西。只要我们转换一下观念，转换成“无穷可以完成”，幻觉必会自行消解。

实数体

连续性，无疑是实数非常重要的一种性质，但更重要的是实数本身。只要我们把实数整清楚了，实数的各种性质那都是自然呈现的，即便千难万难的连续性也只是顺带的事情。那什么是实数呢?

回答这个问题，数学家首先想到的自当是公理化方法。因为早在两千多年前欧几里得就用这种方法率先将几何公理化，通过5条公理、23个定义就将当时已知的几乎所有几何命题都推演出来。这种以简驭繁的绝妙方式，不仅让古人，就是现代人见了也觉得非常惊艳，会不自觉地去模仿。况且实数本身就是非常复杂，它包括自然数、整数，有理数和无理数，如果能够将实数公理化，做到像几何公理化那样，仅仅通过几条公理、若干定义就能将所有自然数、所有整数，所有的有理数和无理数都推演出来，那必定是惊天地泣鬼神。

原以为现行实数理论也是这么想这么干的，其实不然。前面说到现行实数理论分为两部分，一部分是实数公理，一部分是实数模型。公理部分，只是罗列实数应当满足的各种运算性质和基本关系；而模型指的是构造实数的具体方法，以及由这些方法构造出来的一个个具体的实数。也就是说在它这里，公理和模型是分离的，或者说，公理和实数是分离的。从那些所谓的公理根本推不出任何一个具体的实数。这让人百思不得其解，我们苦苦追求的不就是那些一个个具体的实数嘛，实数公理化的本义，难道不应该是让我们从公理就可以直接推演出所有实数吗?既然一个构造实数的方法就能让我们得到想要的实数，那还要实数公理干嘛呢，直接构造不就完了?这种将具体实数从公理中抽离的做法，无疑会让实数公理变成一个空壳，沦为一种摆设。

既然是摆设，可丢一边不管它，就看实数模型，就看实数的构造。戴德金分割被认为是一种构造实数的方法，它能够从无到有地构造所有实数吗?——不能。它构造不了有理数，它必须以假设有理数已经存在为前提，然后通过对有理数进行分割，分割出无理数。那有理数如何构造?——需要整数。整数如何构造?——需要自然数。数学家们将实数归结为有理数的构造，将有理数归结为整数的构造，将整数归结自然数的构造，最终的问题就是自然数如何构造?

一开始数学家们想到为自然数建立公理系统，有著名的皮亚诺公理系统行世。但是没用啊，公理与模型是分离的，从自然数公理推不出一个个具体的自然数，所以还是要找模型。待到康托的集合论大行其道之后，数学家们普遍接受了康托用集合的基数来构造自然数的方法。于是就形成这样一个长链条：用集合构造自然数，用自然数构造整数，用整数构造有理数，用有理数构造无理数，有理数加无理数便是全体实数。实数宣告构造完成。实数最终居然不是出自实数公理，而是出自一个不相干的集合，让人想不通，着实想不通。

这样构造的实数它连续吗?——不连续啊。没有一个正确的无穷观念，它怎么连续得了；以无穷小作为最小度量单位，相当于拿着米尺去量夸克，它怎么能量出两点之间的距离极致上可以有多小；从自然数到整数，从整数到有理数，从有理数到无理数，从无理数到实数，它走的是一条从离散到连续的道路，这原本就是一条艰难的道路，却还被稠密蒙蔽了双眼，看不见相邻的两个实数，注定是到不了连续的；再者说，有理数加无理数，也只不过是全体实数中很小的一部分而已。面对这样的实数理论，还能说什么，大概只能勉励一句：革命尚未成功，同志仍需努力。

如此不禁要问，实数究竟是什么?

我们不妨定义这样一个东西，它包含以下四条：

1、有若干不加定义的基本元素；

2、有若干不加定义的基本运算，通过这些运算，基本元素可以产生新的元素；

3、元素之间有一种基本关系；

4、元素对外具有某种适应性。

同时满足这四条的，称为“体”，这个“体”取自“生命体”的“体”。实数满足这四条，所以它是一个体，可以称为“实数体”。

实数中的0、∞和1是三个不加定义的基本元素。加法“＋”和乘法“×”是实数遵循的两个不加定义的基本运算，基本元素0、∞和1通过这些运算可以产生新的元素。自然数、整数、有理数和无理数，乃至可区分数和不可区分数，无一例外都是基本元素通过运算得到的。当然，这个运算也包括从基本运算衍生出的新运算，比如减法和除法。所有实数两两之间都有一种大小关系，也称为值关系，即小于“＜”、大于“＞”和等于“＝”。有这种关系存在，所有实数就能保持一种内在的统一性。最关键的是第4条，实数对外具有某种适应性。

所谓适应性，就是能随着外在的变化而变化，所以讨论适应性需要引入一个外在的他者。我们将实数映射到一条直线上，让直线上的每一个点对应一个实数，正是为实数找了一个外在的他者。一个点与另一个点之间，单独看是完全没有差别的。但在直线上，每个点都有自己的相对位置，点与点之间是前后有序的，这种前后关系也称为序关系，正是借着这种序关系，点与点才得以区分。将实数一个一个地映射到这些点上，这些实数也就跟随这些点呈现出了序关系。可以说，这也是一种适应性的体现。

需要注意的是，实数呈现出了序关系，并不意味着实数本身就具有序关系，实数与实数之间只有一种基本关系，那就是大小关系。好比说，列车上的座位是固定有序的，对于坐在座位上的所有乘客，他们接受座位的规定和限制，确实会呈现出座位那样的序。但这个序不是乘客本身固有的，是临时的，一旦到站下车，他们就四散而去各回各家。

实数之间的大小关系，即小于“＜”、大于“＞”和等于“＝”，与点之间的序关系，即前于“⊰”，后于“⊱”和序等于“[公式]”，这两种关系之间确实存在某种很强的对应。对于任意两个可区分数a和b，若a＜b，则必有a⊰b；若a＞b，则必有a⊱b；若a＝b，则必有a[公式]b。并且反之亦然。以致于人们根本分不清哪个是值，哪个是序，以为大小关系就是序关系，序关系就是大小关系，大小关系是实数所固有的，便以为序关系也是实数所固有的。其实不然。

如果值序不分，那么我们就很难理解不可区分数。1＝1＋0，1是一个可区分数，1＋0是一个不可区分数，它是紧跟在1之后的一个实数，在序关系上是1⊰1＋0，而不是1[公式]1＋0，这就打破了刚才说的那种强对应。将实数映射到点上，点具有序关系，实数接受点的约束，因此也呈现出了这样的序关系。如果认为这个序关系也是实数所固有，那就相当于乘客上车入座之后，就被固定在座位上了，座位的序成为乘客所固有的属性，到站了也不能离开座位下车，这等于剥夺了乘客的人身自由。认为序关系是实数所固有，就等于剥夺了实数的自由，同时也限制了我们对实数的理解和想象。我们应当剪除实数身上附加的各种性质，还实数以自由，也是还数学以自由。

理解了什么是序关系，也就理解了什么是连续性。点在直线上是前后相继一个挨着一个排列的，那么所有映射到这些点上的实数，也就相应地变成了前后相继一个挨着一个一个排列。“前后”说的是序关系，“一个挨着一个”说的就是连续性。两者在表述上略有不同，直线的连续性是任意相邻两点之间的距离为一个点，而实数的连续性是任意相邻两个实数之间的距离为一个0。这些具有连续性的实数是仅限于放上了数轴的实数，难道还有没放上数轴的实数吗?——有：

1/2，2/4，3/6，4/8，…。

这列数中除了第一个1/2，后面的数都不在数轴上。难道它们不是实数吗?——当然是。有人说它们数值都相等，都是1/2，可以看作是同一个数。如果因为数值相等就看作同一个数的话，那么0＝0＋0，0是一个实数，0＋0是紧挨着0的下一个实数，0是可区分数，0＋0是不可区分数，它们数值相等，是同一个数，那就不会产生不可区分数的概念了，也就没有实数的连续性可言。

但是，如果说1/2是一个可区分数，后面的2/4，3/6，4/8，…是不可区分数的话，将它们放上数轴，它们将在同一个点上，意味着它们在数值上无法区分，在数序也无法区分，这确实难办。要知道0和0＋0，虽然在数值上无法区分，但在数序是可区分的，在数轴上是对应着不同的点的。但我们也不能因此就否定2/4，3/6，4/8，…是独特的存在，这只能说明，数轴不能映衬出它们的存在，我们还没找到能够映衬出它们存在的合适的他者或者方法。有理由相信，实数远比数轴上的点要多，按照一个点对应一个实数的要求映射到数轴上的，只是全体实数中很小的一部分，哪怕是在三层实数将数轴覆盖三遍之后，仍有富余的实数，一个连续性尚不能刻画这些实数的性质。当然这里的实数，不能狭义地来理解，应该理解为：运算规则之下，一切可能的数。

序关系是实数适应性的体现，连续性同样也是，但两者都还没有体现出适应性的精髓，真正能体现出精髓的是下面这个。

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