算术公理系统之：实数（七）

我们在直线上任取一点标记为0，然后在0点右侧一个适当的位置任取一点标记为1。0点确定了，1点确定了，那么0到1之间的所有点也就确定了，相应的所有实数也就确定了。第一次我们这么做了，得到一个长度为L的线段；紧接着第二次我们在另一条直线上任取一点标记为0，然后在0点右侧一个2倍L的距离处标记为1，0点确定了，1点确定了，于是0到1之间的所有点也就确定了，相应的所有实数也就确定了。

问题就是这两条线段上的实数完全一样吗?注意，这两条线段上的点都是有限集，不用去考虑它们之间会出现一一对应，一定是长线段比短线段多。短线段的长度为L，长线段的长度为2L，如果说短线段上点的数量为∞个的话，那么长线段上点的数量就为2∞，是短线段的2倍。一个点对应一个实数，也就意味着长线段上实数的数量是短线段的2倍。说明在数量上两条线段上的实数就不一样。如果说长线段上的实数真的比短线段多，也就意味着长线段上有短线段上没有的实数。但是，我们在长线段上任意标记一个具体的数，比如：1/2，1/4，1/8，…，在短线段上都同样能标记出来。那么所谓的多，多在哪呢?

这就需要分析实数的结构了。0到1之间的所有实数分为可区分数和不可区分数两部分，可区分数部分是可以用无穷小数的形式全部表示出来的，即：

0.000…000

0.000…001

0.000…002

…

0.999…998

0.999…999

这些可区分数是确定的，是不会变的，不论它们出现在短线段还是长线段上，其数量和数值都是一样的。但相邻两个可区分数之间的不可区分数却是可以变动的。从第一个可区分数0.000…000到第二个可区分数0.000…001，假设在短线段上需要经过∞个0点，即

0.000…001＝0.000…000＋0×∞，

那么在长线段上它要经过的0点数量则可以是2∞，即

0.000…001＝0.000…000＋0×(2∞)，

如果是这样，从0.000…000到0.000…001，在长线段上的不可区分数就要比在短线段上的不可区分数多1倍。原来多，是多在不可区分数上。

由此我们可以猜测实数是如何铺满整条线段的：对于0到1之间的所有实数，它是先将所有可区分数均匀地分布在选定的线段上，然后可区分数之间的间隙则由不可区分数顺势填满。不论这条线段的长度是L，还是2L，它能保证每条线段上的可区分数都一样，但相邻两个可区分数之间间隔的不可区分数，则随着点的数量变化而变化，间隔的点多，它就多生成不可区分数；间隔的点少，它就少生成不可区分数。这会儿，长线段上势必会出现短线段上没有的实数。

实数便以这种像弹簧一样的方式来适应线段长度的变化，使得不论你在宏观上选取怎样的一条线段作为一个单位长度，即任意选取0点和1点的位置，它都能保证在这个长度的二分之一处正好有一个实数1/2，在四分之一处正好有一个实数1/4，在八分之一处正好有一个实数1/8，…，实数与长度做到完美契合。

由局部扩展到整体来看，一条实数轴是由0、∞和1这三个原始数，在直线上具体选取的位置来决定的，它们选取的位置稍有不同，得到的就是不同的数轴。这里面有很大的自由度，只要是适当的位置可以任意选取，一旦选定，0到∞之间的所有自然数首先均匀铺上0点到∞点之间的线段；然后是0到1之间，1到2之间，2到3之间，…，所有被自然数分隔出的线段都均匀地铺上相应的可区分数；最后可区分数与可区分数之间的间隙由不可区分数顺势填满。于是一条数轴上0到∞之间的部分就全部覆盖上了实数，[0，∞]这是我们最常用到的区间，∞之外的部分覆盖的都是收敛到∞的不可区分数，这些不常用可以不论。

以这种方式产生的实数轴，上面有哪些可区分数都是一样的，而可区分数之间的不可区分数则很可能存在或多或少的差异。也就意味着，我随手建的实数轴和你随手建的实数轴，大概率不是同一条实数轴。不过，它们之间的差异对于人们通常的计算来说，应该不会有影响。因为计算的最终结果，不可区分数都是收敛到可区分数的，使得不可区分数上的差异体现不出来，而所有可区分数又都是一样的，所以不管是哪条实数轴，拿来用就可以了，随便怎么算结果是一样的。

要说适应性，这个才是鲜活的适应性，前面谈及的序关系和连续性相形之下就显得呆板。这个适应性居然能做到在变化中保持不变，与几何的拓扑性确有几分接近，是不是意味着实数也具有拓扑性，或者说实数也能呈现出拓扑性呢?——这是一个很有意思的问题。

适应性，无疑将刷新我们对实数的认知，至少不应还停留在最初的连续性上。从广义来理解，实数中的可区分数与不可区分数，实数之间的序关系以及连续性，还有实数的无限性，都是某种适应性的具体体现。然而，不论什么样的适应性都是内在禀赋的外在表现，所谓有内在才有外在。实数作为一个体，它能表现出某种适应性，取决于这个体的内在禀赋，即它的基本元素、基本运算和基本关系。而这些基本的元素、运算和关系都以公理的方式出现，并构成一个系统，它负责源源不断地产生实数。这个系统就称为实数公理系统，或者算术公理系统。实数公理，不是一个可有可无的空壳，而是整个实数的基础，犹如DNA之于人体，它是渗透到每个实数的骨子里的，没有它就没有实数。

这个公理系统是否完备，是由适应性来检验的，或者说由外在的他者来检验，自己说了不算。将实数一个一个映射到直线上，直线是连续的，那么实数就要能适应这种连续性，做不到那肯定就不完备了。现行实数理论是不完备的，它做不到连续性，因为它的基本元素就不完备，0、∞和1这三个基本元素，∞是缺失的，致使关于∞的基本运算也是缺失的。基本关系是大小关系，但是它的大小关系跟序关系又是混淆不清的，所谓的序公理，其实应该称为值公理。三层实数能做到上述各种适应性，它背后的公理系统自当没这些毛病，明显对于直线来说这个系统是完备的。

得到一个完备的实数公理系统，能够源源不断地产生所需要的实数，还不足以说明公理系统的强大。它的强大要落实到运算上，在各种复杂的约束条件下算出我们想要的结果，比如通过天王星的周期性异动计算出一颗未知行星的运行轨道之类。为此下一篇我们就聊聊实数的运算，预先强调，这运算是基于一个完整和完备的“实数体”的运算。

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