论无限（一）

摘自《数学哲学》 保罗·贝纳塞拉夫 希拉里·普特南 编

《论无限》大卫·希尔伯特 著 [P210] 于1925年6月4日发表

魏尔施特拉斯运用他鞭辟入里的批判给数学分析奠定了牢固基础。他通过阐明许多概念，特别是极小、函数和微商的概念，消除了那时依然存在于微积分中的种种缺点，使微积分摆脱了有关无穷小的一切混乱概念，从而解决了由无穷小概念所产生的各种困难。如果今天在分析中对于运用以无理数和极限的概念为基础的演绎法有完全一致的意见和确信无疑的看法，并且如果甚至在有关微分方程和积分方程的最复杂的问题中，尽管用了不同种类极限的最巧妙和多样的组合，对所得结果还是能够一致同意，那么这种令人愉快的事态主要是由于魏尔施特拉斯的科学工作。

然而，尽管魏尔施特拉斯为微积分奠定了基础，但有关分析基础的争论依旧在进行下去。

这些争论之所以没有结束，是因为在数学中的无限这一概念的意义一直没有完全解释清楚。魏尔施特拉斯的分析确实通过把有关无限大和无限小的陈述归约为[有关]有限量之间的关系[的陈述]而消除了无限大和无限小。但是这个无限仍然出现在定义实数的无限数列中，并出现在被认为是一个同时存在的完备总体的实数系统的概念的。

魏尔施特拉斯在他的分析基础中，无保留地接受了并且重复地采用了有无限概念在其中起作用的那些逻辑演绎形式，就像当人们处理具有某一性质的所有实数，或论证存在着具有某一性质的实数的时候。

这样一来，无限又能以另一种隐蔽的方式在魏尔施特拉斯的理论中重新出现，从而离开了他的批判所赋予的精确性。因此我们需要彻底解决的是在刚才所指出的意义上的无限问题。正像在微积分的极限过程中，在无限大和无限小的意义上的无限被证明为仅仅是一种比喻一样，我们也必须认识到，仍旧在演绎法中使用的无限总体意义上的无限仅仅是一种假象而已。正像对无限小的运算被对有限的运算代替而产生完全不同的结果和导致完全相同的优美的形式关系一样，以无限为基础的演绎法一般地也必须用有限过程来代替，这些过程产生完全相同的结果，也就是说，它们是相同的证明链和获得公式和定理的相同的方法成为可能。

我的理论的目的在于一劳永逸地建立数学方法的明确可靠性。这是一个甚至在微积分的关键时期内都没有完成的任务。因此这个理论应该完成魏尔施特拉斯希望用他的分析基础去完成，并且已为之跨出了必要和重要的一步的东西。

但是对阐明无限概念来说，还有一个更普遍的观点是有关的。细心的读者将会发现，数学文献中充满着许多源自无限的愚蠢和荒谬的东西。例如，我们发现有些作者坚持认为、就好像这是个限制条件：在严格的数学里只有有限步骤的演绎是证明中所允许的——好像曾经有人成功地作出过无限步骤的演绎似的。

我们以为早已被抛弃掉的陈旧的反对意见，也仍旧以各种不同形式重新出现。例如，近来出现如下的情况：尽管可能无危险地，也就是说不发生矛盾地引入一个概念，甚至人们能证明它的引入不引起矛盾，但仍不能因而证明引入这概念的合理性。这不正是人们一度曾经为反对复虚数而提出的非难吗？当时人们说：“确实，它们的使用并不导致矛盾。但它们的引入是没有根据的，因为虚量并不存在。”如果对于一种措施来说，在证明它无矛盾以外，证明它是否合理的问题还要有任何意义的话，那么这种意义只能在于确定这措施是否会有相当的成功。事实上，这种成功是必要的，因为在数学中和其他场合一样，成功是最高法庭，任何人都得服从它的裁决。

就像有人看见幽灵一样，另一位作者似乎甚至在根本没有作出任何陈述的地方即在那具体的感觉世界中看到了矛盾，他把感觉世界“一致地起作用”（consistent functioning）当作一个特殊假定。我本人一直认为，只有陈述以及通过演绎可导致陈述的那些假设，才能互相发生矛盾。在我看来，认为事实和事件本身会处于互相矛盾之中的看法，是思考不周的一个典型例子。

以上所说只是用来确定这一事实：关于无限的本性的根本性的阐明，并非只属于专门科学兴趣的范围，而是人类理智的尊严本身所需要的。

自从远古以来，无限问题就比任何其他问题更加激动人的情感。几乎没有任何其他概念如此有成效地刺激着心智。然而也没有任何其他概念比它更加需要阐明。

在转向阐明无限的本性这个任务之前，我们必须先简短地指出实际上给予无限意义的是什么。首先让我们来看我们能从物理学学到些什么。我们对于自然事件和物质的最初的朴素印象，是它们的永恒性和连续性。当我们考察一块金属或一定体积的液体时，我们得到的印象是它们是无限可分的，它们的最小部分所呈现的性质与整体相同。然而，只要研究物质的物理特性的方法被足够地精密化，科学家们总会遇到可分性的限度，这不是由于他们的工作中的缺点，而恰恰是由于事物的本性。因此我们甚至可以把现代科学的倾向解释成从无限小中解放出来。我们甚至可以不用陈旧的原理natura non facit saltus（自然界是不作跳跃的）而断言它的反面“自然界是作跳跃的”。

如所周知，所有物质都由称做“原子”的小的建筑块料组成，它们的组合和结合产生各种各样的宏观对象。但是物理学并不停留在物质的原子论上。上世纪末，出现了初看起来似乎奇特得多的电的原子论。以前一直被认为是一种流体并且被当作一种连续地起作用的力量的模型，这时才表明为由正负电子构成。

在物理学中，除物质和电而外，还有一种实体，对它来说，守恒定律同样也适用，这就是能量。但是已经确定，甚至能量也不是无条件地具有无限可分性的。普朗克发现了能量子。

因此，容许那种为实现无限小所需要的可分性的均匀连续体，在现实世界中是无论何处都找不到的。一个连续体的无限可分性，是一种只存在于思维中的操作方法。它只是一个事实上被我们对自然界的观察和我们的物理和化学实验的结果所否定了的概念。

我们遇到自然界中究竟有没有无限这一问题的第二个地方，是在我们对宇宙作为整体的考察中。这里我们必须对宇宙的广延性进行研究，以确定它是否拥有任何无限大的东西。但是这里又是现代科学，尤其是天文学，重新提出了这个问题，并且不是利用有缺点的形而上学思辨方法，而是根据以实验和对自然定律的应用为基础的一些理由，努力解决这个问题。这里也发现了对无限性的严重指责。欧几里得几何学必然导致空间是无限的这个公设。虽然欧几里得几何学的确是一个一致的概念系统，但是并不能由此得出结论说，它在现实世界中是成立的。实际空间究竟是不是欧几里得空间，只能通过观察和实验来确定。利用纯粹思辨证明空间的无限性的企图中包含着重大的错误。根据在一片空间之外总是还有更多空间这个事实，只能得出空间是无界而不能得出空间无限的结论。无界性和有限性是相容的。在所谓的椭圆几何学中，数学研究为有限宇宙提供了一个自然模型。在今天看来，放弃欧几里得几何学，已不单单出于一种数学的或哲学的思索，而从另外一些原先与宇宙有限性的问题完全无关的考虑中也得到了启示。爱因斯坦曾经指出必须放弃欧几里得几何学。在其引力论的基础上，他研究了宇宙论问题。并指出有限宇宙是可能的。而且天文学上的所有结果与宇宙是椭圆的这一假设是完全相容的。

我们已在两方面确定了宇宙是有限的，即在无限小的方面和无限大的方面。尽管如此，无限仍然很可能在我们思维中占有合法的地位，起着一个不可缺少的概念的作用。我们来看看在数学中的情况如何。我们先来询问一下人类心智的最纯粹最简单的产物：数论。考察数论的许多各色各样的基本公式的一个，例如公式

1

1²＋2²＋3²＋. . .＋n²＝─ n(n＋1)(2n＋1)。 6

由于我们可用任一整数来代替n，例如n＝2或n＝5，所以这公式隐然包含着无限多个命题。这个特征对一个公式来说是本质的。它使这个公式能表示一个算术问题的解，并使它的证明需要一个特殊的概念。另一方面，个别数字等式

1

1²＋2²＝─ · 2 · 3 · 5，

6

1

1²＋2²＋3²＋4²＋5＝─ · 5 · 6 · 11，

6

则可简单地通过计算来加以验证，因而个别的式子不引起特殊的兴趣。

在重要而富有成效的理想元素（ideal elements）方法中，我们遇到了关于无限性概念的一个全然不同和很独特的想法。理想元素方法甚至在初等平面几何中就已用到。平面的点和直线原来是真正的、实际存在的对象。对这些对象来说成立的许多公理之一是连接公理：过两点总有一条而且只有一条直线。从这公理可知两条直线至多只能交于一点。可是两条直线总能交于一点这样一条定理是不成立的，因而两条直线也可以互相平行。然而我们知道，在引入理想元素，即无限长线和无限远点之后，我们能使两条直线总在一点而且只在一点相交这条定理普遍为真。这些理想的“无限”元素具有使连接定律系统变得尽可能简单明了的优点。由于点和直线之间的对称性，产生了几何学中富有成果的对偶原理。

采用理想元素的另一个例子是代数学中大家熟悉的复虚量，它们使那些有关一个方程的根的存在性和根的数目的定理得以简化。

正像在几何学中用无限多的直线，即相互平行的线来定义一个理想的点一样，某些由无限多的数组成的系统被用来定义一个理想数。理想元素原理的这一应用是所有应用中最巧妙的一个。如果我们在整个代数中系统应用这一原理，我们就得到对熟悉的整数1，2，3，4，…来说成立的那些完全相同的简单而熟悉的除法定律。这里我们已经进入到了高等算术的领域。

现在我们转到最富有艺术性和精巧地建立起来的数学结构：分析你们已经知道，无限性在分析中起着主导作用，在某种意义上，数学分析是有关无限的交响乐。

在微积分中所获得的巨大进展，主要是对无限多元素的数学系统进行运算的结果。但是由于把无限与“很大”等同起来似乎是很有道理的，所以不久就产生了一些不一致性，即所谓微积分的悖论，其中一部分早在古代就为诡辩派哲学家所知悉。但是，认识到许多对有限成立的定理（例如部分小于整体，极小和极大的存在，和或积各项的次序的可交换性）不能直接和不加限制地推广到无限，这标志着根本性的进展。我在本文开始时说过，明显地是通过魏尔施特拉斯的敏锐才智，这些问题已经完全得到了阐明。今天，分析不仅在它的领域内是无误的，而且已经成为应用无限的一个实用工具。

但是单靠分析还不能使我们最深入地洞察无限的本性，这种洞察只有通过一门和一般的哲学思考方法相近，而又被设计得对有关无限的整体问题从新的方面来加以说明的学科才能得到。这门学科便是康托尔创造的集合论。在本文中我们只涉及构成康托尔学说的核心的集合论中那部分独特和独创的内容，即超限数理论。在我看来，这理论使数学天才的最精美的产物，而且是人类纯粹理智活动的最高成就之一i。那么这理论是什么呢？

希望简单地刻划一下康托尔所引入的关于无限的新想法的人可以说：在分析中，我们只是把无限大和无限小当作极限概念，当作某种正在到来、正在发生的东西来研究，即我们研究的是潜无限（potential infinity）。但这不是真的无限。当我们把数1，2，3，4…的总体本身看作一个完整的统一体，或者当我们把一个区间的点看作同时存在的许多事物的总体是，我们遇到了真的无限。这种无限性称为实无限性（actual infinity）。

弗雷格和戴德金德这两位最以他们在数学基础方面的工作而著名的数学家互相独立地用实无限给与直觉和经验都无关地算术提供了一个基础。这个基础完全基于纯粹逻辑，并且只利用纯粹逻辑演绎。戴德金甚至达到不从直觉中取得有限数概念而利用无限集地概念逻辑地把它推导出来的地步。但是系统地发展实无限概念的是康托尔。考察一下上述两个关于无限的例子：

1. 1，2，3，4，…。

2. 0到1的区间的点，或者与此相同，0与1之间实数的总体。

从大小的观点去处理这些例子，是很自然的。但这种处理揭露出许多已为今天的每一位数学家所熟悉的惊人结果。因为当我们考察所有有理数即1/2，1/3，2/3，1/4，…，3/7，…的集合时，我们注意到——即纯粹从大小的观点——这集合并不比整数集为大。因此我们说有理数可以用通常的方法计数，或者说它们是可数的。这对数的所有的根的集合，实际上甚至对所有代数数的集合，也是成立的。第二个例子与第一个相类似。出乎意料的是，一个正方形或立方体的所有点的集合并不大于0到1区间的点的集合。所有连续函数的集合也是如此。第一次了解到这些事实时，你也许会以为从大小的角度来看，只有唯一的一个无限。实际不是这样的！例（1）和（2）中的集合并不像我们所说的那样是“等价的”。集合（2）实际是不可数的，因为它比集合（1）要大。正是在这里，我们遇到了康托尔理论中的新的和特征性的东西。一个区间的点是不能用通常的方法即数出1，2，3，…来计数的。但是因为我们承认实无限，我们不必在这里停下来。当我们数了1，2，3，…之后，我们可以把这样数出的对象看作一个以特定阶同时存在的无限集。如果我们像康托尔那样把这个阶的类型称为ω，那么计数自然地以ω＋1，ω＋2，…继续下去，一直到ω＋ω或ω·2，然后再

(ω·2)＋1，(ω·2)＋2，(ω·2)＋3…，(ω·2)＋ω或ω·3，

进而

ω·2，ω·3，ω·4，…，ω·ω（或ω²），ω²＋1，…，

于是我们最后得到下表：

1，2，3，…

ω，ω＋1，ω＋2，…

ω·2，(ω·2)＋1，(ω·2)＋2，…

ω·3，(ω·3)＋1，(ω·3)＋2，…

┆

ω²，ω²＋1，...

ω²＋ω，ω²＋ω · 2，ω²＋ω · 3，...

ω² · 2，(ω² · 2)＋1，...

(ω² · 2)＋ω，(ω² · 2)＋(ω · 2)，...

ω³，...

ω⁴，...

┆

ωω，ωωω，ωωωω，...

这些就是康托尔的第一批超限数，即康托尔所说的第二数类的数。我们只是通过把计算推广到超出通常可数的无限之外，也就是通过通常有限计数的一种自然而唯一确定的一致延续，就获得这些数。正像我们迄今为止只数一个集合的第一、第二、第三……个成员一样，我们现在也数第ω、第ω＋1，……第ωω个成员。

有了这些发展，人们自然要猜想：用了这些超限数，是否真的能对那些不能用通常方法计数的集合进行计数呢？

康托尔在这些概念的基础上非常成功地发展了超限数理论，并且为超限数创造了一整套计算方法。于是在弗雷格、戴德金德和康托尔的大力协作下，无限被推上了王位，享受着大获全胜的统治。无限在它的扶摇直上中达到了惊人的高度成功。

不过，反作用也不缺，而且事实上是非常戏剧性的。情况完全与在微积分的发展中发生过的事相似，太不注意他们的演绎法的有效性了。因为，作为只是应用那些已经变得惯常的定义和演绎法的结果，矛盾渐渐开始出现。这些矛盾，即所谓集合论悖论，虽然起初是分散的，但后来变得越来越尖锐，越来越严重。尤其是由策尔梅洛和罗素发现的一个矛盾，当它在整个数学界被得知时，产生了完全时灾难性的作用。面对这些悖论，戴德金德和弗雷格完全放弃了他们的观点，退缩了。戴德金德犹豫了很久，才允许出版他的划时代著作《数是什么和数应是什么》的新版。弗雷格也不得不在一篇后记中承认他《算术的基本法则》一书的方向是错误的。康托尔的学说也受到了各方面的攻击。这个反作用来势之盟，甚至使数学中最普通、最有成效的概念和最简单、最重要的演绎法受到了威胁，差点被宣布禁用。旧秩序当然是有它的辩护者的。但是他们的辩护手法过于软弱，而且他们从未在重要点上建立同一战线。医治这些悖论的不同药方开得太多了，提出来阐明它们的方法也太多样化了。

必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能容忍的。试想：在数学这个真理性和可靠性的典范里，每一个人所学的、所教的和所用的那些定义和演绎法竟然导致谬论！如果数学思维也有缺点，那么应该到哪里去寻找真理性和可靠性呢？

但是有一条完全令人满意的道路，它能绕过这些悖论而不致不忠于我们的科学。下面是帮助我们寻找这条道路并给我们指出方向的愿望和态度：

1.无论在什么地方，只要存在着得到补救的希望，我们就得细心地研究有成效的定义和演绎法。我们要培养它们，加强它们，使它们有用。任何人都不能把我们从康托尔给我们创造的天堂里驱逐出来。

2.我们必须在全部数学中为我们的演绎法建立起和普通初等数论中所存在的相同的可靠性，初等数论是没有人怀疑的，那里的矛盾和悖论只是由于我们不小心才发生。

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