论无限（二）

这些目标显然只有当我们完全阐明了无限的本性后才能达到。

前面我们已经看到，不论依靠何种经验、观察和知识，在现实世界中无处能找到无限。难道我们对事物的思考会与事物如此不同吗？思维过程能如此不像事物的实际过程吗？总而言之，思维能与现实离得这么远吗？毋宁说，当我们认为我们在某种真实意义上遇到了无限的时候，只是我们在现实世界中时常遇到极端大的和极端小的尺度这一事实诱使我们如此想，这难道还不清楚吗？

当我们把实质逻辑的演绎（material logical deduction）应用于真实的事物或事件时，它是不是以某种方式把我们欺骗了或者把我们置于困境？不！实质逻辑演绎是必不可少的。只有当我们作出任意的抽象定义，特别是那些包含无限多对象的抽象定义时，我们才被欺骗。在这些情况下，我们是不合法地用了实质逻辑演绎；也就是说，我们没有充分注意到那些为这种演绎的有效应用所必须的先决条件。在认识到存在着这些必须考虑的先决条件时，我们发现自己是和哲学家相一致的，尤其是和康德相一致的。康德教导我们——而且这是他学说的主要组成部分——数学处理的题材是与逻辑无关地被给定的。因此数学绝不能单靠逻辑建立起来。由此可知，弗雷格和戴德金德如此建立数学的企图是注定要失败的。

作为应用逻辑演绎和实质逻辑运算的一个进一步的先决条件，在概念形成中必须有一些东西，即某些在一切思维之前作为直接经历的事物被直觉到的逻辑以外的具体对象。要使逻辑演绎可靠，我们必须能了解这些对象的每一方面，并且它们的性质、区别、顺序和邻接关系必须连同这些对象本身作为某种不能归约为其他东西，并且不需要归约的东西被给出。这就是我认为不仅数学而且一切科学思考、理解和交流所必需的基本哲学。按照这一理论，数学的题材是具体的符号本身，它们的结构是十分清楚和可认识的。

考察一下普通有限性数论的本性和方法。这理论当然可以通过直觉的实质考虑从数字结构建立起来。但数学决非仅由数字方程组成，也决不能单单归约为这样一些方程。然而人们却可以说，数学是一种工具，当这种工具应用于整数时，必然产生正确的数字方程。但这时我们仍需足够彻底地研究这个工具的结构，以便确定它事实上必然产生正确的方程。要进行这样的研究，可供我们使用的只有那些与数论构造中推导水准方程所曾用到过的同样具体的实质有限性方法。这一科学要求事实上是能满足的，就是说有可能用纯粹直觉的和有限性的方法——我们获得数论真理性的那种方法——获得保证数学工具的有效性的那种洞察力。

现在我们来详细研究一下数论。在数论中，我们有数字符号

1，11，111，11111，

这里每一个数字符号是由于它只含有1这一事实而直觉地可认识。这些本身就是我们的题材的数字符号，其本身并没有任何意义。然而除这些符号外，甚至在初等数论中，我们还需要另外一些符号，它们具有意义，并有便于传达的作用；例如符号2用作数学符号11的缩写，数字符号3用作数字符号111的缩写。此外，我们用＋，＝和＞这样一些符号来传达陈述。2＋3＝3＋2用来传达这一事实：在考虑到缩写时，2＋3和3＋2表示同一个数字符号，即11111。同样地3＞2用来传达这一事实：符号3即111比符号2即11长；或者换句话说，后一个符号是前一个符号的固有部分。

我们也用字母a、b、c来传达。例如b＞a传达这一事实：数字符号b比数字符号a长。从这个观点来看a＋b＝b＋a只传达这一事实：数字符号a＋b与b＋a相同。这种传达的内容也可以通过实质演绎来证明。的确，这种直觉性实质处理可以把我们带到很远的地方。

但是现在我要举一个例子，在这个例子中这个直觉方法是被超出了的。到目前为止，我们知道的最大素数是（一个有39位的数）p＝170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727。用大家所知的欧几里得方法，我们能够完全在我们的有限性框架内证明这样一个陈述：在p＋1和p!＋1之间至少存在一个新的素数。这陈述本身是完全符号我们的有限性方法的，因为“存在”这个说法只是用来使“p＋1或p＋2或p＋3……或p!＋1肯定是素数”这个说法得到简缩而已。而且因为这显然等于说：存在一个素数，它

1. 1＞p，并且同时

2. 2≤p!＋1，

这就使我们表述出一条定理，它所表达的内容只是欧几里得定理所表达的内容的一部分。这个定理就是：存在一个＞p的素数。虽然这个定理是内容方面弱得多的陈述——它所断言的东西只是欧几里得定理所断言的东西的一部分，虽然从欧几里得定理过渡到这个定理似乎是毫无害处的，但是当这部分陈述上下文中取出而被看作一个独立的陈述时，这一过渡却包含着通往超限的飞跃。

怎么会这样呢？因为我们有一个存在陈述“存在”（there exists）!诚然，我们在欧几里得定理中也有一个相似的说法，但是正如我已提到过的，那里的“存在”不过是“或者p＋1或者p＋2或者p＋3……或者p!＋1肯定是素数”的简缩而已——正如我们不说“或者这支或者这支或者这支……或者这支粉笔是红的”，而简单地说“在这些粉笔之中存在着一支红粉笔”一样。像“在一个有限的总体中存在着一个具有某一性质的对象”这样的陈述是完全符合我们的有限性方法的。而像“或者p＋1或者p＋2或者p＋3……或者（直至无限）……具有某一性质”这样的陈述则本身是一个无限的逻辑积。这样一种推广到无限的过程，如果没有进一步的解释和预防措施的话，是和微积分中从有限乘积到无限乘积的推广一样地不许可的。因此这种推广通常是没有意义的。

从我们的有限性观点来看，形式为“存在一个具有某一性质的数”的一个存在陈述，一般地只具有部分陈述的意义，这就是说，它被当作一个更确定的命题的一部分。然而，对于许多目的来说，更加精确的表述可能是不必要的。

在分析一个不能用有限析取表达内容的存在陈述时，我们遇到了无限。同样地，当否定一个一般陈述，即涉及任意数字符号的陈述时，我们得到一个超限陈述。例如“如果a是一个数字符号，那么a＋1＝1＋a普遍地真”这一陈述，从我们的有限性观点看来是不能否定的。如果我们考虑到这个陈述不能用“和”解释为无限多个数字方程的合取，而只能解释为对于给定一个数字符号的情况断言某些东西的一个假言判断，我们对上面所说的就更加明白了。

因此从我们的有限性观点看来，我们不能论证说，像刚才给出的那样一个有任意数字符号在里面的方程，或者对每一个符号都成立，或者被一个反例所反驳。这样的论证是排中律的应用，它是以关于这样一个方程普遍有效的陈述能被否定的预设为基础的。

无论如何，我们注意到：如果我们停留在有限性陈述的范围内，像我们实际上必须做的那样，我们通常总有很复杂的逻辑规律。当“所有”和“存在”这两种说法结合起来并且它们的表达式嵌在别的表达式里面时，这些规律的复杂性就变得无法掌握。总之，亚里士多德所教导的和人们自开始思维时起一直用着的那些逻辑规律是不成立的。我们当然可以建立一些在有限性陈述范围内确实成立的逻辑规律。但是这样做不会对我们有用处，因为我们不愿放弃亚里士多德逻辑的那些简单规律的应用。而且任何人，即使用如簧巧舌，也阻挡不了人们去否定一般陈述，或者去构成部分判断，或者去应用排中律。长此，我们将怎么办呢？

请记住我们是数学家，作为数学家我们已经多次处于危险的境地，而依靠理想元素的巧妙方法，我们又从这些困境中得到了解救。我在本文开始时已给你们举过几个使用这方法的卓越的例子。正像引入i＝√–1把一些代数定律（例如关于一个方程的根的存在性和数目的定律）保持在最简单的形式中一样；正像引入理想因子使得简单的可除性定律对代数整数而言也能保持（例如我们为2和1＋√–5这两个数引入一个公共理想因子，而实际上这样的公因子并不存在）；同样地，为了保持通常的亚里士多德逻辑的简单形式规则，我们必须给有限性陈述补充一些理想陈述。很有讽刺意味的是：被克罗内克如此激烈地反对的演绎法，恰好就是这同一位克罗内克在库默尔在数论（被他誉为最高数学成就）方面的工作中如此热情地赞美了的东西的对应物。

那么我们怎样得到理想陈述呢？值得注意既是有利也是有希望的事实：我们只要按照自然和显然的方式沿着数学基础理论所经历过的发展道路继续走下去，就能得到它们。诚然，我们应该认识到，甚至初等数学也超出了直觉数论的观点。按照我们一向的解释，直觉的实质数论不包括使用字母的代数计算法。公式总是专一地用于直觉数论的交流中。字母代表数字符号，方程传达两个符号相重合这一事实。另一方面，在代数中，我们把含有字母的表达式看作为使数论的实质定理形式化的独立结构。代替有关数字符号的陈述，我们有一些本身就是直觉研究的具体对象的公式。代替数论的实质证明，则我们有根据确定规则从一个公式到另一个公式的推导。

所以，像代数中已看到的，有限性对象在激增。到现在为止，仅有的对象是像1，11，…11111这样的一些数字符号。只有它们曾是实质处理的对象。但是数学实践走得更远了，甚至在代数中也是如此。的确，即使从我们的有限性观点看来，一个公式对于它所表明的内容如

a＋b＝b＋a

恒成立这样一个定理而言是有效的，其中a和b代表两个特定的数字符号，可是我们却不选用这种传达形式而宁可用公式

a＋b＝b＋a

来代替。这个公式已不再是一个关于某一被表明的内容的直接传达，而是某种形式结构，它与旧的有限性陈述

2＋3＝3＋2

5＋7＝7＋5

的关系在于如下事实：我们在上述公式中用数字符号2，3，5，7代换a和b时，就经过一个证明程序获得了这些个别的有限性陈述，虽然这个程序是非常简单的。因此我们得出结论：a，b，＝，＋，以及整个公式a＋b＝b＋a，它们本身除了数字符号所表示的意义外，不表示任何别的意义。但是我们却能从这公式推导出其他一些公式并赋予它们以意义，即把它们解释为有限性陈述的传达。如果我们把这结论加以推广，我们就把数学设想成两种公式的堆积，首先是有限性陈述的有意义的传达所对应的那些公式，其次是不表明什么意义而只是我们理论的理想结构的另一些公式。

然而我们的目标是什么呢？一方面，我们在数学中找到了只包含数字符号的有限性陈述，例如

3＞2，2＋3＝3＋2，2＝3，1≠1，

从我们的有限性观点看来，它们是不需要什么帮助就立即能被直觉和理解的。这些陈述能被正确地或错误地否定。人们可以不受限制地对它们应用亚里士多德逻辑，而不需采取特殊的预防措施。无矛盾原理对它们是成立的；这就是说，这些陈述之一的否定与该陈述本身不能两者都为真。排中律对它们是成立的；这就是说一个陈述或者为真，或者它的否定为真。这一个陈述为假，等价于说它的否定为真。另一方面，除了这些没有任何问题的初等陈述外，我们还发现了另一些有问题的有限性陈述；例如，我们发现一些不能分成部分陈述的有限性陈述。最后，我们引入理想陈述，使普通的逻辑规律能普遍成立。但是由于这些理想陈述即这些公式，就它们不表达有限性陈述这一点而言并没有什么意义，所以逻辑演算实质上不能像应用于有限性陈述一样地应用于它们。因此必须使逻辑演算以及数学证明本身形式化。这就要求我们把逻辑关系转译成公式。因而除了数学符号外，我们还必须引入一些逻辑符号，例如

&， ∨， →， ~

（并且）（或者）（蕴涵）（否定）

而且除了数学变量a，b，c…外，还必须使用逻辑变项，即命题变项A，B，C，…。

这怎么能做的呢？幸好我们经常看到在科学发展史中起作用的那种预先建立的协调，即通过给予爱因斯坦已经充分发展了的一般化的不变微积分而帮助他建立引力论的那种预先建立的协调，也来帮助我们了：我们发现了已经事先设计出来的逻辑演算。固然，这种逻辑演算原先是从完全不同的观点出发创造出来的。逻辑演算的符号原先只是为传达而引入的。尽管如此，否认逻辑演算具有任何意义，并宣称逻辑演算的公式本身是没有什么意义的理想陈述一样。我们在逻辑演算中拥有一种符号语言，它能把数学陈述变换成公式，并利用形式程序来表示逻辑演算。完全与从实质数论到形式代数的过渡相类似，我们现在把逻辑演算中的符号和运算记号从它们的意义中抽象出来加以处理。这样一来，我们最后得到的不是用普通语言传达的实质数学知识，而只是含有按照确定规定逐次生成的数学符号和逻辑符号的一组公式而已。公式中的某一些对应于数学公理。用来从一个公式推导出另一个公式的规则对应于实质演绎。于是实质演绎就被一个由规则支配的形式程序替换了。因此，对于公理（它们虽然原先被朴素地看作基本真理，但在近代公理学中长期被作为仅仅是概念的关系来处理）和逻辑演算（它原先被认为只是一种不同的语言）都实现了从朴素处理到形式处理的严格过渡。

我们现在来简单地说明一下，数学证明是怎样被形式化的。我已经说过，某些供数学的形式结构用作建筑块料的公式称为“公理”。一个数学证明是一幅图形，它本身必须是我们的直觉易于接受的。它包含一些按照演绎模式

𝕾

𝕾 → 𝕿

───

𝕿

作出的演绎，这里每一个前提，也就是公式或者是一条公理，或者是通过代换从一条公理得出的结果，或者是前一个演绎的最后公式，或者是通过代换从这样一个公式得出的结果。如果一个公式是一个证明的最后公式，我们就说它是可证明的。

我们的计划本身指导着为我们的证明论选择公理。虽然在公理的选择方面由一些任意性，但是像在几何学中的一样，某些公理组在性质上是可区别的。这里是从每一组中取出的几个例子：

Ⅰ. 蕴涵公理：

（ⅰ）A→(B→A)

（加进一个假设）；

（ⅱ）(B→A)→{(A→B)→(A→C)}

（取消一个陈述）。

Ⅱ. 否定公理：

（ⅰ）|A→(B&~B)|→~A

（矛盾律）；

（ⅱ）~~A→A

（双重否定律）。

Ⅲ. 超限公理：

（ⅰ）(a)A(a)→A(b)

（从普遍到特殊的推理；亚里士多德公理）；

（ⅱ）~(a)A(a)→(∃a)~A(a)

（如果一个谓词不是普遍适用的，则有一个反例）；

（ⅲ）~(∃a)A(a)→(a)~A(a)

（如果一个命题没有例子，则这命题对所有的a都为假）。

这里我们发现一个非常值得注意的事实，那就是这些超限公理都可以从单一的公理推导出来，这公理包含着下面这个在数学文献中最有争论的公理即所谓选择公理的要旨：

（ⅰ'）A(a)→A(εA)

其中ε是超限逻辑函数。

然后再把下列特殊数学公理加到刚才给出的公理上去：

Ⅳ. 等同公理

（ⅰ）a＝a；

（ⅱ）a＝b→{A(a)→A(b)}；

最后是

Ⅴ. 数字公理：

（ⅰ）a＋1≠0；

（ⅱ）完全归纳法公理。

因此我们现在就能实现我们的证明论，并构造出可证明公式的系统，即数学。但是在我们一般地为这一成就而高兴，为找到那个不可缺少的工具即在我们并未出力的情况下已经发展出来的逻辑演算而特别高兴的时候，我们却不应忘记我们的工作的主要条件。只有一个与理想元素方法相联系的条件，尽管是绝对必要的条件。这个条件就是一致性证明，因为一个域通过添加理想元素而扩充，仅当扩充不使旧的较狭的域内出现矛盾时，或者换句话说，仅当旧结构中在消去理想结构后存在的关系在旧的域内总是有效时，才是合法的。

目前情况下，这个一致性问题是容易处理的。它显然归约为证明：从我们的公理，根据我们所制定的规则，我们得不出“1≠1”作为证明的最后公式，或者换句话说，“1≠1”不是一个能证明的公式。这个任务属于直觉处理的范围，正像例如在实质构造的数论中找出√2 的无理性证明——即关于不可能找到两个具有a^2=b^2 这种关系的数字符号a和b的证明，或者换句话说，关于人们不能产生两个具有某一性质的数字符号的证明——的任务一样。类似的，我们有责任表明人们不能产生某种证明。一个形式化的证明，同一个数字符号一样，是一个具体而可见的对象。我们能完全地描述它。此外，最后公式的必要性质，即“1≠1”，是证明的一个具体地可以确定的性质。因为我们事实上能证明以那个公式为最后公式的证明是不可能得到的，我们从而证明了引入理想陈述是合理的。

还有一个可喜的意外事，就是发现我们同时解决了一个很久以来一直烦扰着数学家们的问题，即证明算术公理一致性的问题。因为不论公理法用在哪里，都会出现证明一致性的问题。我们在选择、理解和运用规则和公理时当然不愿完全依赖盲目的信任。在几何学和物理学理论中，一致性证明是通过把它们的一致性归约为算术公理的一致性而实现的。但是我们显然不能用这个方法去证明算术本身的一致性。由于我们的以理想元素方法为基础的证明论使我们得以跨出这最后的重要一步，它旧成为公理学的教义拱门的必要的拱顶石。那个我们已经经理过两次的东西，一次在关于微积分的悖论中，再次在关于集合论的悖论中，就不会经历第三次，而且将永远不再经历。

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