数学（一）

递归序数‬

1.0.0(零)。这是最小的序数，也是唯一一个既不是后继也不是极限的序数。

1.1.1(一)。这是最小的后继序号。

1.2.2.

1.3.42(参见[亚当姆斯1981年，第27章])。

1.4.ω.这是最小的极限序数，也是最小的无限序数。

1.5.ω + 1.这是最小的无限后继序数。

1.6.ω2.

1.7.ω2.

1.8.ωω.

1.9.ωωω .

ω

1.10.ε0 = ϕ(1, 0).这是ω，ωω，ωω，的极限。。。，ξ→ψψ的最小不动点；

一般来说，α → εα = ϕ(1，α)定义为枚举不动点的函数

ξ → ωξ.这是阿砣算法的证明理论序数。

1.11.ε1 = ϕ(1, 1).

1.12.εω.

1.13.εε0 .

1.14.ϕ(2, 0).这是ε0，ε0，.。。，ξ → εξ的最小不动点；总的来说，α → ϕ(γ + 1，α)定义为枚举ξ → ϕ(γ，ξ)不动点的函数。

1.15.ϕ(ω, 0).这是在原始递归序数函数下闭合的最小序数＞ω([avigad 2002，推论4.5])。

1.16.费夫曼-舒特序数γ0 = ϕ(1，0，0)(也称ψ(ψω)为适当的坍缩函数ψ)。这是ε0，ϕ(ε0，0)，ϕ(ϕ(ε0的极限)。。。，ξ → ϕ(ξ的最小不动点，0)。这是ATR0的证明理论序数。

1.17.阿克曼序数ϕ(1，0，0，0)(对于适当的收缩函数ψ也是ψ(ψω2))。

1.18.“小”维布伦序数(对于适当的收缩函数ψ，ψ(ψψ))。这是ϕ(1的极限，0)，ϕ(1，0，0)，ϕ(1，0，0，0)。。。，具有有限多个变量的凡勃伦函数的值域。

1.19.“大”维布伦序数(对于适当的收缩函数ψ，ψ(ψψ))。这是凡勃伦函数的范围，有那么多变量。

1.20.Bachmann-Howard序数(对于适当的坍缩函数ψ，ψ(ε+1))。这是Kripke-Platek集合论(KP)的证明理论序数。

一

1.21.εεε+1(“塔库提-费夫曼-布赫霍尔茨序数”)的可数坍缩，它是π1-理解+超限归纳的证明论序数。

0

1.22.εI+1的可数折叠，其中I是第一个不可接近的(=π1-不可描述的)基数。这是Kripke-Platek集合理论的证明理论序数，通过序数类(KPi)的递归不可接近性来扩充，或者，在算术方面

2

⇼1-领悟+超限归纳。参见[JaegerPohlers1983]。(对比2.3。)

1.23.εM+1的可数折叠，其中M是第一个Mahlo基数。这是KPM的证明理论序数。参见[Rathjen1990]。(对比2.5。)

一

1.24.εK+1的可数折叠，其中K是第一个弱紧(=π1-不可描述)基数。这是KP+π3-Ref的证明论序数。参见[Rathjen1994]。(对比2.6。)

0

1.25.εξ+1的可数折叠，其中ξ是第一个π2-不可描述基数。这是KP+ω-Ref的证明论序数。参见[steger 2010年，第一部分]

X

(在他的符号中，这个序数被称为ψψ+1，其中X =(ω+；p；ϵ;ϵ;0)).

0

(对比2.7。)

1.26.稳定性的证明理论序数:参见[steger 2010，第二部分]

这个序数将被称为ψυ+1，其中X =(ω+；p；ϵ;ϵ;0)).

X 0

递归大的可数序数

一

2.1.丘奇-克莱尼序数ωCK:最小容许序数＞ω。这是最小的序数，它不是递归的顺序类型(相当于:hyperarith-metic)ω上的良序。ωCK递归(分别为。ω的ωCK-半递归)子集

一 一

恰好是1。π1)ω的子集，它们也正好是

一 一

子集递归(分别为。半递归)在E(或E#中，检查这个【这个在[HinmanMoschovakis1971，2，引言备注]中表述模糊且无证明】，

也间接提到，但有一个论点，在[Hinman1978年，第六章，介绍re-marks 6对第316页]；但本质论点应该是甘迪的选择定理，[Hinman1978，第六章，第292页上的定理4.1或第294页上的推论4.3]])。

ω

一

2.2.ωCK:允许的最小极限。这个序数是不允许的。这是最小的α，使得Lα ∩ P(ω)是π1-理解的模型(参见[Simpson2009，第246页上的定理VII.1.8和第292页上的定理VII.5.17以及对第VII.5的注释页（page的缩写）293]).

2

2.3.最小的递归不可访问序数:这是最小的序数，是可接受的，也是可接受的限度。这是最小序数α，使得Lα = KPi，或者，在算术方面，使得Lα ∩ P(ω)是1-理解的模型(参见[Simpson2009，第267页上的定理VII.3.24和第292页上的定理VII.5.17以及第293页上的VII.5注释的勘误表1])。(对比1.22。)

一

这是最小的序数ωE1，而不是有序递归的有序类型在图古埃泛函E1中([Hinman1978，第八章，第421页上的定理6.6])，或者等价地，在超跳跃中递归；并且对于这个α，α-递归(分别为。ω的α-半递归)子集恰好是递归(相应地。半递归的)，在E1 ([Hinman1978，第八章，推论4.16对p. 412])。

这是最小的α，使得lα= KP+β，其中β断言对于任何有充分根据的关系，传递折叠的存在，或者等价地，最小

一

容许α使得Lα认为是良序的任何序确实是良序:参见[Nadel1973，定理6.1 on p. 291](比较[Harrison1968]关于2.1的序数ωCK的否定结果；另请比较[Gostanian1979]相关事实见2.9)。

2.4.最小递归超不可达序数:即最小递归不可达序数，它是递归不可达序数的一个极限。

2.5.最小递归Mahlo序数:即最小容许序数α，使得对于任何α-递归函数f : α → α，存在一个在f下闭的容许β＜α。这是最小序数α，使得Lα = KPM。(对比1.23。)这是最小的序数，而不是superjump ([AczelHinman1974]和[harrington 1974])；对于这个α，α-递归的

一

(resp。ω的α-半递归)子集恰好是超跳(相应地。超跳的部分正规化中的半递归[Harrington1974，第50页上的定理5])。

关于这个序数还要注意:[RichterAczel1974，推论9.4(ii)第348页]。

2.6.最小的π3-反射(“递归弱紧”)序数。这也可以被描述为最小的“2-容许”序数:参见[RichterAczel1974，theo- rem 1.16 on p. 312]。(对比1.24。)

还有σ3归纳算子的闭包序数的sup:[richteraczel 1974，303页上的定理A】。对于这个α，ω的α-半递归子集恰好是ω的σ3-归纳可定义子集([RichterAczel1974，第303页上的定理A和第304页上的定理D]；参见[Simpson1978，第370页上的例子4.12]。

2.7.最小(+1)-稳定序数，即最小α使得Lα ≤1 Lα+1。这

0

是最小的π1-反射(即对于每个n∈ωπn-反射)序数:[RichterAczel1974，定理1.18在第313和333页]。

(对比1.25。)

一

2.8.最小(+)-稳定序数，即最小α使得Lα ≤1 Lα+，其中α+是＞α的最小容许序数。这是最小的π1-反射序数:[RichterAczel1974，第313和336页上的定理1.19]。还有关闭的sup或者-

一

π-1归纳算子的dinals:【richteraczel 1974，303页或10.7页上的定理B

一

在第355页上]和[Cenzer1974，定理A在第222页上]。对于这个α，ω的α-半递归子集恰好是ω的π1-归纳可定义子集([RichterAczel1974，304页上的定理D]；参见[Simpson1978，第370页上的例4.13]。

这是最小的序数

#

G

ω1 1不是中良好排序递归的顺序类型

由G(f：) ≈ f (0) f)定义的非确定泛函G# (f(1))；对于这个α

一 一 (ω1 )+

一

α-递归(分别为。ω的α-半递归)子集恰好是递归(相应地。半递归的)。

2.9.最小σ1-反射序数。也是σ1的闭包序数的sup

一 一

一

归纳算子:[RichterAczel1974，303页定理B或355页10.7]。对于这个α，ω的α-半递归子集恰好是ω的σ1-归纳可定义子集([RichterAczel1974，304页上的定理D]；参见[Simpson1978，第370页上的例4.14]。

这个序数大于2.8:[aandera 1974，定理6的推论1，第213页]；另见:[Simpson1978，定理6.5]和[GostanianHrbácˇek1979]。

这是最小的序数

#

E

ω1 1不是中良好排序递归的顺序类型

一

Tugué功能E1的非确定性版本E#;并且对于这个α，α-递归(分别为。ω的α-半递归)子集恰好是递归(相应地。表示“半”

一

递归)(结合[Aczel1970，第313页上的定理1，第318页上的定理2]和[RichterAczel1974，第304页上的定理D])。

这是最小的容许α，它不是Gandy的，即，使得α的每个α-递归线性序，其中Lα+认为它是一个良序(α+是下一个容许的),实际上是一个良序:见[Simpson1978，定理6.6页（page的缩写）377]和[Gostanian1979，定理3.3](关于术语“Gandy序数”，参见[AbramsonSacks1976]:在[Gostanian1979]中，相同的序数称为“好”)。

【找到这个:这个序数有多稳定？]

一

2.10.最小的(++)-稳定序数，即最小的α使得Lα ≤1 Lα++其中α+，α++是两个最小的容许序数＞α。这是σ1-反射且大于2.9的序数([Simpson1978，376页上的定理6.4]和下面的命题3.1)。

2.11.最小的不可达稳定序数，即最小的α使得Lα ≤1 Lβ

其中β是最小的递归不可达(参见2.3)序数＞α。

2.12.最小的Mahlo稳定序数，即最小的α使得Lα ≤1 Lβ其中β是最小的递归Mahlo(参见2.5)序数＞α。

2.13.最小的双(+1)-稳定序数，即最小的α使得Lα ≤1Lβ ≤1 Lβ+1(参见2.7)。

2.14.不可投射序数中最小的稳定序数，即最小的α使得Lα ≤1 Lβ其中β是最小的不可投影(2.15的序数)。

一

这是最小的序数ωR，不是良序递归的序类型在[Harrington1975]中定义的某种类型3官能R中；对于这个α，ω的α-递归子集恰好是r中的递归子集。)

2

2.15.最小的不可投射序数，即最小的β使得β是β稳定序数的极限(序数α使得Lα ≤1 Lβ(参见2.14)；换句话说，最小的β使得Lβ = KPi+“稳定序数是无界的”。这是最小序数β，使得lβ= KPω+σ1-sep(参见[Barwise1975，第五章，第175页上的定理6.3])，或者使得Lβ ∩ P(ω)是π1-理解的模型(参见[Simpson2009，第267页上的定理VII.3.24和第292页上的定理vii.5.17)。

一

一

在Jensen的术语中([Jensen1972])，这是最小序数β使得πβ＞ω，事实上最小序数β＞ω使得πβ=β:即最小序数β使得ω的每个σ1(lβ)子集是β-有限的。有时也称为最小的“强容许”(或“强σ1容许”)序数。

3

2.16.最小(弱)σ2-容许序数。这是最小序数β，使得lβ= KPω+∏2-sep，或者使得Lβ ∩ P(ω)是∏1-理解的模型(参见[Simpson2009，第267页上的定理VII.3.24和第292页上的定理vii.5.17)。

2

2

在Jensen的术语中([Jensen1972])，这是最小序数β使得ξβ＞ω，事实上最小序数β＞ω使得ξβ=β:即最小序数β使得ω的每个∏2(lβ)子集都是β有限的。

在[MarekSrebrny1973，附录]的术语中，这是第一个2-gap序列。

2.17.分枝分析的序数(常写成β0)。这是最小的β

n

lβ= vσn-sep(完全分离方案)，或者Lβ ∩ P(ω)是一个模型完全二阶分析(二阶理解)，事实上Lβ = ZFC

(即ZFC减去幂集公理)。

这开始了可构造宇宙中的第一个缺口，这个缺口的长度是1:看到了吗

[Putnam1963]和[MarekSrebrny1973，第374页上的推论4.5]。

注意，这个序数是(+1)-稳定的(参见2.7)，但不是(+2)-稳定的:[MarekSrebrny1973，384页定理6.14的推论]。

2.18.可构造宇宙中长度为2的第一个缺口的起点。如果β是这个序数，那么β是第β个间隙序数([MarekSrebrny1973，377页上的定理4.17])。

2.19.在可构造论域中开始长度为β的间隙的第一个序数β。

一

2.20.序数β = ωLα其中α是2.21的序数。然后通过构造β开始一个长度为α = β+的间隙(下一个允许的序数)。

2.21.使得lα= KP+“ω1存在”的最小序数α，即不局部可数的最小容许α，或者等价地，使得lα= KP+“p(ω)存在”的最小α(参见命题3.2)。

2.22.最小序数α，使得lα= zfc+“ω1存在”，或者等价地使得lα= zfc+“p(ω)存在”(比较命题3.2)。这是可构造宇宙中第一个三阶间隙的开始。

一

2.23.ZFC最小模型Lα中的最小不可数序数ωLα，假设它存在(见2.24)。这个序数是α稳定的。

2.24.最小序数α使得Lα = ZFC(假设它存在)，即ZFC的最小模型的高度。

2.25.最小稳定序数σ，即最小σ使得Lσ ≤1 L，或者等价地Lσ ≤1 Lω1。集合Lσ是所有x的集合，它们在L中是σ1-可定义的，没有参数([Barwise1975，第五章，推论7.9(i)，第182页])。

一

这个序数投射到ω上(即在詹森的术语中)，ψσ=ω([bar wise 1975，

第五章，第183页上的定理7.10(i))。

这是最小序数δ1，它不是ω上良序∏1的序类型；

2 2

2

而实际上，对于这个σ = δ1，σ-递归(resp。σ-半递归)ω的子集是恰好是1(分别是。σ1)ω的子集([Barwise1975，第五章，第189页上的定理8.2

2 2

以及第191页上的推论8.3])。

2

这也是最小的σ1-反射序数([Richter1975])。

注意:这份文件可能不应该开始列出大枢机主教，因为

一

(0)一个暗示另一个不存在的事实，这是关于“序数”，而不是“基数”，(1)它们已经在其他地方很好地涵盖了(例如，见[Kanamori1997])，以及(2)我们不想开始作出假设，例如，关于ωL是否等于ω1，但是不作出这样的假设，就不再可能正确地排列定义。也许一个中间的方法是假设V = L用于排序，忘记可测量的基数等等，并且仍然包括不可访问的、Mahlo、弱紧等等。

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