数学（二）

各种说法

同样，这些陈述都不是我的，它们是众所周知的事实，我找不到合适的公开证明。

一

提议3.1。如果α使得Lα ≤1 Lα++(其中α+，α++是大于α的两个最小容许序数)，那么α是σ1-反射的。(在[辛普森1978，定理6.4]中陈述第376页上]。)

0

证明。假设Lα = ∃U (ϕ(U))其中ϕ是一个π1(=一阶)公式，常数在Lα中，额外的关系符号u .我们想证明存在β＜α使得Lβ = ∃U (ϕ(U))。

现在由[RichterAczel1974，第334页上的定理6.2](应用于否定的∃U (ϕ(U)))我们可以找到一个π1公式∀z(ψ(S，z))(具有与ϕ相同的常数)使得对于任何包含这些常数的可数传递集a和任何容许的B A我们有B = ∀z(θ(A，z))当且仅当A = ∃U (ϕ(U))。

特别是Lα+ = ∀z(θ(Lα，z)。所以Lα+ = ∃A(trans(A) ∧(一个 =θ+v = l)∧

∀z(θ(A，z .)，其中θ是一个陈述，它解释了a的充分性(见[耶希1978] (13.9)和引理13.2和13.3，第110-112页，或[耶希2003]，(13.12)和(13.13)，第188页)。

于是依次l α++ = ∃c(trans(c)∧(c = KP+v = l)∧(c = ∃a(trans(a)∧(a =θ+v = l)∧∀z(θ(a，z))))。但这是一个σ1公式，常数在Lα中，所以假设我们有Lα =，一样的东西。所以存在C ∈ Lα传递的且包含ϕ常数的，且必然是Lγ(对于γ＜α)因为C = KP+V =L，使得lγ= ∃a(trans(a)∧(a =θ+v = l)∧∀z(θ(a，z))。所以反过来存在一个∈ Lγ传递的，它必然是Lβ(对于β＜γ)因为一个=θ+v = l，使得Lγ = ∀z(θ(Lβ，z)。所以Lβ = ∃U (ϕ(U)。

提议3.2。以下在KP中成立:如果一个⊆ ω是可构造的，那么A ∈ Lγ对于某个可数序数γ。

特别地，在KP + V = L中，如果存在一个不可数序数δ，那么P(ω)存在并且可以定义为A ∈ Lδ:一个⊆ ω.

证明。我们必须验证通常的证明(参见[Devlin1984，第二章，第84页上的引理5.5]或[Jech1978，第110页上的引理13.1]或[Jech2003，第190页上的定理13.20])在KP中有效。

在L中工作，我们可以假设V = L成立。同样，我们可以假设ω存在因为如果每个集合都是有限的，那么结果就是平凡的。

因为A是可构造的，所以存在δ极限，使得A ∈ Lδ。我们可以为KP内的Lδ定义1-Skolem函数，并且因为ω存在，我们可以使用归纳法(参见[Barwise1975，第38页上定义9.1之后的注释])来构造Lδ内Lω ∪ A的Skolem壳m(或者使用[Devlin1984，第二章，第83页上的引理5.3])。因为M是外延的，

→

我们现在可以使用Mostowski坍缩π:M∞N(参见[Barwise1975，定理7.4上第32页])把M折叠成一个传递集N，它必然是一个Lγ。现在M通过构造是可数的，所以N = Lγ也是，所以γ是。而且我们有π(A) = A所以A ∈ Lγ，γ可数，如断言的。

参考：

1. personal.psu.edu/t20/so...

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