形式主义与多宇宙观（一）

本文来源：《科学·经济·社会》2021年第39卷第2期第39~48页

作者简介：

杨睿之，复旦大学哲学学院副教授，主要从事数理逻辑与数学哲学研究。

形式主义与多宇宙观

杨睿之

摘要：文章对裘江杰在《集合论多宇宙观与形式主义》中的若干观点提出挑战，试图论证：作为数学哲学的形式主义是无法做到彻底地本体论中立的，一些形式主义者对元数学的特别关注就促进数学实践而言的作用是有限的。

特别地，作者结合对一些新进研究成果及其背后想法的梳理试图展示：形式主义在探究数学新公理和关于集合论多宇宙观的研究中是缺席的；反过来，集合论多宇宙观的有关研究成果则显示出其明显超出形式主义的价值。

关键词：数学哲学；形式主义；集合论多宇宙观

什么样的数学研究是值得做的，什么样的数学定理是好的数学研究成果?

这显然不是一个数学问题。

但数学工作者对这个问题的看法无疑会影响他的研究志趣，进而影响他的具体工作，而数学家共同体对这个问题看法的分布则会影响数学这门学科的发展趋势。

按照典型的形式主义数学哲学的解读，所有的数学研究都可以被看作是在某个给定的形式化公理系统中做证明。

而一般认为，该公理系统的定理集是能行可枚举的（详见后文），即，存在一个计算机程序来枚举该公理系统所有可能的定理。

然而，几乎没有人认为数学工作应该是这样的。

即使利用程序辅助寻找证明，数学工作者也至少需要解读、挑选有意义的结果。

因此，这个并非数学问题的问题却与几乎所有数学工作者的研究工作密切相关，难以回避。

如果承认对该问题以及相关问题的回答并非完全主观任意，而是存在主体间就这些问题相互交流、考量、评判并形成共识的空间，那么数学哲学便是可能的了。

从早期以希尔伯特为代表的经典形式主义到科恩等人关于公理化集合论的形式主义，形式主义在现代数学哲学的讨论中一直在场。

然而，自从哥德尔的两个不完全性定理的发现揭示希尔伯特形式主义原版的研究纲领不可实现，形式主义在严肃的数学哲学讨论中始终处于相对弱势的地位。

尽管如此，形式主义对数学工作者仍然有着强烈的吸引力，尽管这一吸引力主要来自可以回避进一步的追问。

正如Reuben Hersh写道：“典型的‘数学工作者’是工作日的柏拉图主义者，又是星期日的形式主义者。”[1]

图为戴维·希尔伯特，又译大卫·希尔伯特，（David Hilbert，1862年1月23日～1943年2月14日），德国著名数学家，是20世纪最伟大的数学家之一，被后人称为“数学世界的亚历山大”。

集合论多宇宙观（set-theoretical multiverse view）是近年来兴起的区别于集合论单宇宙观（universeview）的集合论哲学观点。

后者是数学柏拉图主义在集合论被广泛接受为数学基础这一语境下的具体实现，即认为存在唯一典范的集合概念以及由满足这一概念的所有集合组成的集合论宇宙，集合论语言中的任何一则命题关于这个集合论宇宙的描述要么是真的要么是假的。

集合论多宇宙观则基于人们从构造内模型、力迫扩张及非标准模型以及在这些模型中“工作”的强健经验，宣称存在许多不同的集合概念或集合论宇宙。

笔者曾在《集合论多宇宙观述评》中论证，集合论多宇宙观要么是一种形式主义，要么是与传统柏拉图主义或集合论单一宇宙观相容的[2]。

裘江杰在《集合论多宇宙观与形式主义》中试图把形式主义重新诠释为一种本体论中立的，并且有助于推动数学实践的数学哲学立场[3]。

同时，裘江杰认为集合论多宇宙观可以被纳入这样一种形式主义立场，并且正是在这种形式主义的框架下体现出其对数学实践的正面影响。

由此，进一步佐证了这种本体论中立的形式主义对数学实践是有益的。

在本文中，笔者试图挑战裘江杰的上述观点。

在第一节中，笔者拟论证数学哲学的形式主义是无法真正做到本体论中立的。

在第二节中，笔者将针对性地讨论形式主义就推动数学实践而言的局限性。

在除去结论的最后一节中，笔者将结合一些新结果再次审视围绕集合论多宇宙观的集合论研究与有关数学哲学立场的关系，试图展现集合论多宇宙观独立于形式主义的价值。

一、形式主义不是本体论中立的

在《集合论多宇宙观与形式主义》中，裘江杰承接科里（Haskell Curry）的形式主义立场，认为形式主义应该是本体论中立的，它不在形而上学上做任何假设，并且形式主义并不拘泥于特定的形式化系统。

特别地，他们认为形式主义不应该受到希尔伯特所谓有穷数学的掣肘。

但这种形式主义仍然要求形式系统满足一定的可接受条件，其中包括一致性，却不要求一个一致性证明。

此外，裘江杰和科里都认为关于这些形式系统的“元数学”研究是重要的。

在本节中，笔者首先试图论证任何有意义的形式主义都无法做到真正的本体论中立。

同时，笔者也试图解释，希尔伯特关于形式主义“元数学”必须是有穷数学的限制性立场为何不能任意放宽。

在后人的解释中，一般认为希尔伯特的形式主义不是本体论中立的。

他将数学分割为可靠的有穷数学（finitary mathematics）以及其一致性有待证明的经典数学，后者包括康托尔发明的集合论。

的确可以说，希尔伯特本人关于包括集合论在内的经典数学的本体论问题试图展现一种中立的立场，或者说试图悬置抽象实体或无穷集合是否存在的问题。

同时，希尔伯特捍卫数学工作者在“康托尔的乐园”中自由探索的价值，其手段就是将这部分数学形式化，并在可靠的有穷数学中证明这个形式化了的公理系统是一致的。这就是所谓的希尔伯特纲领（Hilbert’s Program）。

图为格奥尔格·康托尔德国数学家，集合论的创始人

我们知道，希尔伯特纲领因为哥德尔不完全性定理而注定无法在其原本意义上实现，但是希尔伯特形式主义乃至后哥德尔定理的希尔伯特形式主义变种在本体论上对数学进行区分的做法是一以贯之的。

希尔伯特式的形式主义可以悬置那部分需要通过形式化方案来捍卫的数学的本体论问题，但要求对这部分数学的形式化给出一致性证明。

这一立场意味着他们必须认为其所期望的一致性证明是可靠的，或在某种意义上是真的。

无论这种一致性证明是基于有穷数学或其他构造主义数学的证明，他们必须或假设或尝试论证这部分数学是有意义的，它们对应着某种可靠的信念或具体的客观概念。

例如，竹内外史在《证明论》中为ε0下归纳原理所作的辩护①。

他定义了序数的可及性（accessible）概念来描述人们可以“切实地看到”或“构造性地证明”可及序数下的每个严格下降链都是有穷的。

他试图论证，可及性在序数加法、乘法甚至幂运算下保持不变，从而证明 ε0下的序数都是可及的。

竹内外史宣称基于可及序数下的归纳原理相比完全的集合论是有穷主义的，相比直觉主义中抽象的“构造”“证明”概念又更加具体。

因而，这是所谓“希尔伯特—根岑有穷主义立场”可以接受的数学命题。

再如，哥德尔对他的T系统的辩护。

在《论一种迄今未用过的有穷主义观点的扩张》中，哥德尔描述了一个扩张了有穷主义限制的系统T，并证明了直觉主义算术相对于该系统的一致性[4]。

哥德尔试图让读者相信，T系统基于的“自然数上的有限类型的可计算函数”概念是一个相比 ε0更具体的、“意义清晰的”概念。

读者可以在《哥德尔在构造主义数学方面的工作》中找到简要的介绍[5]。

在希尔伯特形式主义及其变种中，数学被划分为可靠的部分与“理想”的部分。

这种立场的支持者有义务澄清划分的具体位置，并为这种划分辩护。

对划分的辩护可能暗含在对可靠部分可靠性的辩护中。

这种“区别对待”本身揭示了形式主义者对关于“理想”数学的本体论地位的看法，它显然不是中立的。

前希尔伯特的形式主义者或许可以声称他们对所有数学一视同仁。

一些前希尔伯特的（往往是非自觉的）形式主义立场的确没有对数学做类似的划分，它们断言所有数学都是无意义的。

例如游戏形式主义，认为数学工作者只是根据给定的游戏规则进行操作。

但即使极端的游戏形式主义者也不得不承认，关于他们所玩的游戏规则是否和谐的问题是有意义的。

人们显然不会认为，一个已知走某步就定胜负（如证明出矛盾从而可以证明所有命题）的游戏是值得玩的。

而在希尔伯特之后，人们逐渐厘清了那些数学游戏的规则，形成了明确定义的数学公理系统，并借助于哥德尔编码等技巧，将关于游戏规则的问题明确地翻译成了对应的算术问题。

正如人们很难拒绝承认图灵机可计算是对能行可计算概念的正确刻画。

一旦这样的工具出现在眼前，人们就很难再拒绝承认这些翻译的正确性，这些关于游戏规则的问题就是数学问题，而且这些数学问题是有意义的。

因此，希尔伯特式的形式主义对数学基于本体论地位的划分对一般的形式主义而言也是难以避免的。

或许，形式主义者可以声称所谓的本体论中立仅仅是指“理想元”部分的本体论中立。

例如，作为哥德尔定理之后的形式主义者，科里不要求对公理系统的一致性证明。

因此，也不需要承认一个用以证明一致性的具有更高本体论地位的“元数学”，尽管他仍然认为一致性是形式系统重要的属性。

希尔伯特所强调的正是一致性标准。这样做的原因大概是他……在寻找一个先天的合法性证明。

但是，且不论对物理来说，一个先天的合法性证明的问题是不相关的，我坚持认为一个一致性证明既不是可接受性的必要条件也不是充分条件。

它显然不是充分的。

至于必要性，只要没有不一致性被认识到，一个一致性证明尽管带给我们关于系统的知识，但并不改变它的有用性。

即使不一致性被发现，这也不意味着这一理论被完全抛弃，而是意味着它的修改与提炼……因此，希尔伯特在关于一致性方面的这一奇怪的立场并不是数学形式主义观念的一部分。[6][7]166

科里不要求一个先行的一致性证明，这是对自弗雷格以来人们探索数学基础基本动机的忽视。

人们希望为数学寻找一个安全的基础，或是逻辑或是形式化的公理系统，以避免可能的谬误。

弗雷格作为典型的实在论者可以不像希尔伯特那样寻求一个有穷数学的一致性证明。

因为在他看来：“公理不会彼此矛盾，因为它们是真的；而这不需要一个证明。”[8]这里的证明是指希尔伯特在《几何基础》中给出的相对一致性证明或是基于有穷数学的一致性证明。

显然，一则数学命题（在弗雷格看来是这则命题所表达的思想）作为公理仍然是需要辩护的，正如他在《算术基础》中所做的工作那样。

无论希尔伯特的形式主义纲领、布劳威尔及其后继者的直觉主义宣言还是引领当代集合论研究的哥德尔纲领都继承了自弗雷格以来的这一诉求。

科里诉诸物理学的比较来说明先天合法性证明是不需要的。

然而在早已数学化了的物理学中，对一致性的辩护显然是必要的。

任何物理学理论被要求与其他理论和已知现象一致。

例如，关于量子力学标准模型一致性的讨论[9]。

正是由于量子力学与广义相对论之间显然的冲突，人们清楚地意识到一个涵盖所有四种基本力的万物理论尚付阙如。

因此，寻找一个兼容量子力学与相对论的一致的理论始终是理论物理学的核心问题。

的确，无论在物理学还是数学实践中，人们往往（甚至注定）是在某个理论的一致性证明或其他“安全保证”尚未确立的情况下工作于其中的。

但这不妨碍这类基础问题始终是数学、物理及其哲学的核心关切。

而只要直面这一数学基础问题，无论柏拉图主义者、直觉主义者还是形式主义者（正如前文所分析的）都无法做到所谓的本体论中立。

关于科里的形式主义立场，一个有趣的事实是，他非常重视关于形式系统的“元数学”，甚至以此为数学的本质：“数学是关于形式系统的科学”[10]。

他所关注的“元命题”主要是关于形式系统本身（诸如“命题x是在形式系统X中可证的”），以及形式系统之间关系（诸如，一个系统是另一个系统的子系统）这样的命题。

而“形式系统X是一致的”无非是某个具体的谬误（如0=1或α∧¬α）“不是在形式系统X中可证的”。

因此，无论科里对系统一致性证明持有怎样的看法，他对所谓“元数学”地位的特别关注使他无法避免本体论上的二分立场。

事实上，在关于数学的“形式主义”定义中，科里明确将“非构造性命题排除在真正的数学的领域之外”。

因为，“这些命题的真取决于与构造主义命题中所蕴涵的形式不同的理想假设。”[10]56

在结束本节之前，我们试图进一步厘清形式主义的“元数学”概念。

科里声称他的“元数学”并不局限于希尔伯特的有穷数学。

而正如前文中提到的，科里所举的“元命题”的例子主要是关于公理系统可证性以及公理系统之间证明论强度的命题。

一般认为，一个公理系统的公理集必须是能行可判定的。

也就是说，至少要有一个有穷的机械的程序，任给一则表达式，该程序能够在有穷时间内判断该表达式是否是一条公理。

进一步，我们要求该公理系统下的证明是能行可检测的。

也即，原则上存在一个有穷的机械程序，任给一个表达式序列，该程序能够在有穷时间内判断这个序列是否构成一个有效的证明。

上述这些要求恐怕是对公理系统最低的要求。

事实上，数学家社区对公理系统及其证明的可检测性有着更高的要求。

例如，经验上可以被其他数学家所理解等。

由于证明有效性是能行可检测的，原则上，人们就可以设计一个计算机程序来枚举某个公理系统所有可能的数学定理。

因此，关于公理系统内部可证性的问题，也就成了关于上述程序能否枚举到某个命题的问题。

我们可以通过哥德尔编码和克莱尼谓词（Kleene’s Predicate）将它变成一个算术问题，更准确地说，它是一个Σº₁的一阶算术问题。

相对一致性命题，如Con(T1)→Con(T2)是关于公理系统间证明论强度的典型问题。

一个相对一致性证明往往来自具体给出一个统一的程序，将任何T2中到谬误的证明转换为T1中到某个谬误的证明。

绝大多数的相对一致性证明，包括利用力迫法得到的关于集合论诸公理系统间的相对一致性证明甚至可以在原始递归算术（PRA）中得到，即上述证明转换程序往往是原始递归的。

按照一般理解，原始递归算术符合希尔伯特对有穷数学的要求。

因此，科里所谓关于形式系统之间关系的“元数学”大多可以被希尔伯特有穷数学覆盖。

我们知道，任何Σº₁的真命题都在皮亚诺算术甚至更弱的算术系统中可证明。

哥德尔不完全性定理告诉我们，任何一致的且足够的算术公理系统中总有不可证的∏º₁真命题。

但无论如何，关于形式系统的上述“元数学”命题不会超出一阶算术的范围。

科里在关于什么是“元数学”的界定中，的确还留下了进一步解释的空间。

他认为“涉及关系到外在（extraneous，相对于形式系统本身而言）考量或无穷主义假设的元定理，例如对塔斯基和哥德尔关于一阶谓词逻辑完全性证明的语义研究”[10]也可以被算作元数学。

笔者未能在科里的著作中找到关于这类元定理的明确例子。

我们知道哥德尔完全性定理需要至少在二阶算术语言中陈述，并且可以在二阶算术公理系统WKL0中被证明。

另一方面，我们不能无限扩大对这部分“元数学”的解释。

一般被认为，下行的勒文海姆-斯寇伦定理是哥德尔完全性定理证明的推论。

但其证明中使用了某种形式的选择公理。

准确地说，在 ZF 基础之上，针对可数语言的下行的勒文海姆-斯寇伦定理与依赖选择公理（dependent choice，DC）是等价的；而针对任意基数语言的下行的勒文海姆-斯寇伦定理与选择公理等价[11]。

显然，科里不会承认选择公理是否为真也是他所谓的关于形式系统“元数学”的问题。

① ε0是一个可数无穷的序数，它是序数序列ω, ωω, ωωω……的极限。

根岑（Gerhard Gentzen）基于ε0下的归纳原理证明了皮亚诺算术的一致性。

这被认为是希尔伯特纲领在哥德尔定理之后最重要的成就，也是现代证明论的开端。

参见Takeuti G., Proof Theory, 2nd ed.,New York: Dover Publication, 2013, 第11节。

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