集合论新公理探究的哲学思考（二）

四、新公理讨论的最新进展

2000年后，赞同寻找新公理的诸多学者希望为新公理纲领提供更好的辩护，而费弗曼等则依然坚持己见，认为连续统假设是含糊的问题。

(一)柏拉图主义立场的辩护

美国数学家和集合论专家武丁自80年代开始，努力寻求连续统问题的解决。

他在2004年的论文《罗素之后的集合论：回到伊甸园》中攻击反柏拉图主义者关于集合论意义的不可知论，认为连续统假设是一个有意义的问题。

技术上，他认为连续统问题应该以否定的方式解决，它的假不是基于公理的具体选择，而是根据公理被要求的完全性属性。

武丁的这种判定依赖于他的Ω猜想，Ω猜想断言，如果存在一个武丁基数的真类，那么对每个语句φ，如果θ|=φ，那么θ|φ。

哲学上，武丁支持一种“条件句的柏拉图主义立场”⑦，即，如果投影决定性公理是真的，那么解决连续统问题的公理也将是真的。

因此他的论文首先阐述了二阶数论上投影决定性公理的正确性，然后说明我们不应当在这里停下来，而是要寻求三阶数论上连续统假设的真值问题。

(二)解释新公理的现象学路径

K.豪瑟(Kai Hauser)作为一个集合论专家和数学哲学家，从90年代起发表的多篇论文都围绕着新公理展开。

他在2004年《罗素悖论一百年》中发表的论文《何谓和该何谓新公理》中，尝试用胡塞尔的现象学解释现代集合论发展中的新公理。

豪瑟首先概述了证成新公理的内在和外在证据，并表明基于外在证据的新公理，只有用内在证据说明时才可以被视为公理。

这与豪瑟要求公理满足某种内在似真性有关，即公理蕴涵在它意欲表达的集合概念之中。

因此，反对和拒绝新公理都应当解释集合概念的含义是什么。

他认为，集合概念的含义实际上存在于心灵坚持数学客观实在的关系之中，这直接涉及主体的主观思考如何提供理由和依据，来选择具有客观有效性的公理。

对此，豪瑟认为胡塞尔的现象学有助于这一努力。

胡塞尔的现象学涉及两个认识论的基本问题：

第一，如何理解对象存在于“自身之中”且在认识中被“给予”；

第二，如何使思考主体声称获得对象的知识。

胡塞尔在探究这两个问题时有一个重要的洞察，即，对象的实际存在对给定行为的指向性不是决定性的。

[指向性，即，我们在执行行为时，我们的意识有一个特定的结构，胡塞尔称其为意向性(noema)，它是所有意识行为“意义”概念的概括。]

对象能够存在于“自身之中”，意指对象在不断变化的意识流中保持不变和同一，而且正是它在各种出现中保持同一，我们才能对它产生知觉。

这里不考虑所指对象是否“实际”存在，而且我们对它的知觉是不完全的，但包含对象其他可能方向的预示，诸如当我看到一栋房子的前面时，可以想象房子背后的样子。不过，此时只能说明，意识行为如何获得对象的固有属性。

要获得对象的知识必须包含两个行为的组合。

语言性的符号行为(它仅指向一个对象)和思想性的直觉行为[等同于知觉行为(在该行为中意识直面一个对象)]。

当直觉行为中被直观到的对象与符号行为中“仅被意指”的对象吻合时，关于对象的知识产生。

胡塞尔称这个经验为“实现[fulfillment]”。

它是基于符号行为和直观行为之上的一种行为，它的意向相关项是符号行为的意向对象和直觉行为的意向对象之间的同一性。

“根据这个理论，认识是一个行为复合体，是建立在低阶的符号行为和直觉行为之上的高阶识别行为。”⑧

利用“实现”可以获得认识行为的主观性与内容客观性的一致，不过这个过程是渐进的。

主要因为“对象”受限于知觉者的主观范围，但它的片面呈现仍使得它可能在其他方向上被知觉。

因此“‘客观存在’的含义(meaning)就是对应于对对象的可能知觉变化，不断地给‘不饱和的’意向相关项组成的开放系统进行‘填充’”。⑨

通过胡塞尔的知觉理论，豪瑟试图说明被支持的公理以及它们的证据，取决于集合概念的含义在意识中构成并依赖于意识，因此需要解释哪些行为涉及集合概念的构造。

这包含：由“复多”形成“一”的汇集行为；

演绎出ZF公理的迭代行为；

将迭代概念和集合的累积分层重塑为大全集V的含义分析的反射行为，使得对V成立的已经在它的前段成立等等。

最终，这些行为形成一个复杂的行为网络，它们的意向相关项分别就是我们可以视为对象(或客观存在)的东西：

集合、迭代概念形成的累积分层、不可达基数、马罗基数等等。

这实际上印证了胡塞尔的知觉行为的主观性与内容客观性的一致，即，对应于不断的知觉变化，不断填补不饱和的意向相关项。

尽管如此，上述行为仍无法断定可测基数的存在。

但胡塞尔的知觉理论毕竟说明了所有的知觉都是不完全的。

因此给V的所有可能行为增加新成份，诸如哥德尔L上V的超越，就可以填补可测基数的出现。

投影决定性公理[简称PD]作为二阶数论上的公理，缺少与集合迭代概念的直觉联系。

它通常因给描述集合论问题提供一种解决方案而被视为合理。

不过，当大基数公理等价于PD时，包含PD的公理系统可以在更强的意义上被证明是“正确的”。

最后，豪瑟讨论了连续统问题。

这涉及集合论研究者在面对连续统问题的任何解决方案时，必定追问“何谓一种解决”的共识。

豪瑟认为武丁对连续统假设技术上的解决还不足回答这个问题，不过他指出，尽管武丁对CH采取柏拉图主义的哲学立场，但他的方法实际上涉及V的所有可能行为的再解释，而概念的现象学来源是这个“再解释”的关键。

总之，按照豪瑟的观点，我们必须考察数学家是如何意向性地与公理背后的那些事实关联的，尤其关于集合概念的构造，这是数学家视某些公理为合理和自然的根据。

另外，解释新公理的现象学路径并不与柏拉图主义对集合论的解释相冲突，因为它不涉及形而上学问题。

(三)自然主义哲学的路径

从早期论文“相信公理”开始，麦蒂的论文和著作都是围绕数学哲学和集合论展开的。

她的立场多年来几经发展和变化，最终体现在她发表于2011年的论著《为公理辩护：论集合论的哲学基础》中。

在该著作中麦蒂提出了一种“Thin实在论”，尝试用它来解释集合论实践的本质。Thin实在论是一种后形而上学的客观主义立场。

它并不鉴于形而上学的哲学标准(如柏拉图主义)来评判集合论，而是认为集合论就是数学家公布的基本正确的理论。

这意味着集合就是集合论描述的那种东西；关于集合的问题，集合论是唯一有关的权威。

基于这样的客观主义立场，在认识论上，我们关于集合的知识不可能出错，也不可能存在与我有关的集合完全不同于我对它们的了解，因为集合被理解只需要诉诸一系列数学思考从公理获得。

Thin实在论的客观性保证，归因于潜藏在集合论公理背后“数学深度”的客观性，其中集合是这些数学深度的标记。

数学深度是公理的“外在”证成的概括，也是数学家在引进这些公理时觉察到的它们的各种特殊优点。

数学深度的客观性体现在：即使数学家再多的偏爱或盲目关注某些公理，如果这些公理本来就不具有丰富的推论，那么数学家的关注不会使它的推论变得丰富。

另外，公理的内在证成最终将归入外在证成之中，原因在于“内在证成”仅当与外在收益关联时才体现价值。

不仅如此，数学深度随着公理系统的统一和扩展(借助于新公理)也会增加。

例如，有了投影决定性公理，我们就可以将ZFC中证明的最初两个层级投影集合的决定性扩展到整个投影分层。

不过麦蒂坦然承认，她还没有给出数学深度的满意解释。

基于这样的后形而上学立场，Thin实在论者对CH的态度比经典逻辑排中律意味的要多，但比柏拉图实在论者(把CH的合法性诉诸某种客观实在)意味的要少。

也就是说，如果目前经典逻辑只能说明CH或非CH，那么随着新公理的增加，也许能够在它的真或假中选择其一，条件是我们需要领会解决CH的某公理探究的数学深度，否则可能永远都不知道CH是否为真或假，尽管它具有确定的真值。

总而言之，在Thin实在论者看来，寻找新公理以及证成新公理的理由不是描述某个独立于我们的客观实在世界，而是探索数学深度的事实。

同时，新公理的外在证成比内在证成更重要，因为所有被认为合理的公理都“建立在承诺实现更多数学目标，发现更多丰富的概念和理论，以及产生更深刻的数学基础之上。

最终，我们旨在以组织和扩充数学思考的有效方式，以产生多产的新假设的有用试探法等等来寻求一致的理论”。⑩

(四)公理的认知证据序列

P.克勒纳(Peter Koellner)在他2011年的论文《大基数和决定性》中把内在证成的新公理与外在证成的新公理放入公理的证据序列中来说明公理的本质。

克勒纳首先阐述了数学公理系统的可解释性分层，他认为从简单的算术公理系统出发，到二阶算术层级，集合论的子系统，大基数公理的分层等等可以形成一个良基的可解释性分层。

然后，他说明公理的本质不在于主观的白明概念，而在于“……比……更显然”的概念。

利用这个概念，每个可解释性层级中的公理可以组成一个关于认知的证据序列。

由此，基于内在证成和外在证成的新公理都可以归入这样的证据序列中。

这里，克勒纳强调，处于证据序列极小点的公理不应当被视为自明的，因为在更高可解释性分层的证据序列中处于极小点的公理通常并不是显然的。

有关新公理的证成，他认为更为普遍的情况是，检验处于证据序列较低层级的公理之间的相互连接，希望一系列深刻的定理显示它们之间的结构关系。

当这些结构关系在更为丰富的数学领域中被揭示时，就可以为这些公理提供更多地证据支持。

最后，克勒纳讨论了二阶数论层级上决定性公理和大基数公理之间结构关系的具体例子以印证他提出的观点，并期望这同样适用于说明三阶数论层级上引进的新公理。

就当前新公理问题上存在的冲突，克勒纳认为暂时还无法解决。

但是他认为那些拒绝新公理的人应当说明公理界限的划定标准是什么；

而他作为新公理的支持者，认为可解释性分层中公理的复杂连接可以作为证据，支持寻找更高层级的新公理。

(五)直谓主义者的反抗

费弗曼在2011年的论文《连续统假设是确定的数学问题吗?》中再次解释了他为什么相信连续统假设不是一个真正问题的理由，其基本观点与1999年时的看法大致相同，即任意集合的概念是内在含糊的。

不过，在2011年的论文中，费弗曼从三个方向更细致地考察了这个问题。

第一个方向是与千禧年大奖问题相关的思想实验，背景是2000年克雷数学研究所的科学顾问委员会，宣布了七个未解决的数学问题，而连续统假设不在其中。

通过模拟科学顾问委员会和集合论专家之间的对话，费弗曼表明，如果CH被加到七个问题之中，那么困难将是数学真理不再普遍有效，因为它们基于更高的不寻常假定。

第二个方向涉及概念结构主义的数学本质。

他用十个命题总结他的概念结构主义，强调所有数学思想的主体间性的来源。

他认为，数学对象是作为心智概念存在的结构，它的客观性在于主体间交流时的稳定性和连贯性。

但CH不具备这样的客观性，它的客观性来自柏拉图主义的集合世界。

第三个方向涉及区分确定和不确定概念的逻辑框架。

确定的概念意指如果陈述A是确定的，那么它或真或假。

费弗曼认为在半构造集合论系统加上断定ω的幂集存在的逻辑框架中连续统假设是不确定的。

五、结语

根据以上综述可以看出，无论是新公理的反对者还是支持者，无不希望寻求公理背后的客观实在性以阐明数学的客观性。

尽管存在如下分歧：公理是否应该遵从自明的标准、应该支持多高层级的无穷集合才合适、悬置本体论直接强调认识论、哲学立场在新公理辩护中到底该不该起作用等等，但学者们都期望通过对“数学家的实践”、“主体间性”、“心理学上的事实”、“关于认知的证据序列”等一系列主观性的辨析来实现这一诉求，这意味着学者们普遍赞同客观与主观并不是完全脱离的，公理的客观有效性应该在考察数学家心智活动的前提下被研究。

在这一背景下，笔者认为新公理哲学研究的未来趋势将依然是，具体的公理和证成的理由可以被分析、支持或批评，但是这些公理的选择以及关于它们的证据必须包含意识的意向结构，从而使得所有已形成的理论变得可以理解。

注释：

①转引自S.Feferman,“Does Mathematics Need New Axioms?” in The American Mathematical Monthly,106(2),1999,pp.401-412,p.103.

②K.,“What Is Cantor's Continuum Problem?” revised and expanded version of ,1947,in Benacerraf and Putnam (eds.),Philosophy of Mathematics:Selected Readings(2rd),1964,Cambridge University Press,Cambridge,1983,pp.470-485,p.477.

③同上书，第484页。

④S.Feferman,H.M.Friedman,P.Maddy,and J.R.Steel,“Does Mathematics Need New Axioms?” in The Bulletin of Symbolic Logic,6 (4),2000,pp.401-446,p.417.

⑤S.Feferman,H.M.Friedman,P.Maddy,and J.R.Steel,“Does Mathematics Need New Axioms?” p.411.

⑥同注⑤，第415页。

⑦W.H.Woodin,“Set Theory after Russell:The Journey back to Eden”,in G.Link (ed.),One Hundred Years of Russell’s Paradox:Mathematics,Logic,Philosophy,Walter de Gruyter,Berlin and New York Inc,2004,pp.29-47,p.32.

⑧K.Hauser,“Was Sind und Was Sollen (neue) Axiome? ”,in G.Link (ed.),One Hundred Years of Russell’s Paradox:Mathematics,Logic,Philosophy,Walter de Gruyter Inc,Berlin and New

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