集合论新公理探究的哲学思考（一）

朱敏

作者简介：朱敏，南京大学哲学系在读博士生。

人大复印：《科学技术哲学》2013 年 05 期

原发期刊：《世界哲学》2013 年第 2 期 第 151-159 页

关键词：集合论/ 新公理/ 证成/ 意向性/ 心智行动/

摘要：

究竟集合论是否需要新公理?

它们是真的吗?

我们如何知道?

自哥德尔提出新公理纲领以来，对这些问题的回答伴随着长期的争论。

有的逻辑学家基于自明性标准拒斥新公理，有的数学哲学家视新公理为“助探器”用于探索数学深度，也有集合论专家坚信新公理就是关于柏拉图集宇宙的真理。

本文通过对这些争论的分析，可以揭示出，无论是新公理的支持者还是反对者，都普遍认同“公理客观有效性不能脱离主体的主观意向性而存在”，因此，当我们具体考察新公理和它们的合理依据时，不应当在忽略数学家的心智活动下给出批评或支持新公理的意见。

集合论是否需要新公理的问题是当前数学哲学研究的热点问题之一。

该问题源于20世纪60年代集合论发展产生的独立性结果。

科恩发表于1963年和1964年的论文证明了连续统假设[简称CH]在策墨罗—弗兰克尔的标准集合论公理系统[简称ZFC]中不可证。

这个结果连同哥德尔于1938年得出的结论，表明CH独立于ZFC。

不仅如此，由哥德尔和科恩的技术产生的其他独立性命题，如所有投影集是否勒贝格可测、苏斯林假设、怀特海问题等等，根据ZFC也都是不可判定的。

引进新公理的目的就是为了解决它们。

但由此产生如下问题：

1.为什么被提议作为新公理的陈述确实是公理而不只是假设?

2.公理意指什么?

对这两个问题的回答在20世纪40年代末开始展开，50年代有人隐约地提出了连续统假设无意义的观点，60年代至80年代，人们主要在寻求新公理以及给出它们的辩护上做努力。

但引进的诸多新公理一直未能解决连续统假设问题，90年代后，有人对需要新公理解决独立性问题的观点提出了质疑。

本文将着力于呈现当代国外有关新公理哲学讨论的发展及其重要观点，在此基础上表明，新公理的辩护和反驳都不应当忽略数学家的主观意向性与公理的客观有效性之间的密切联系。

一、新公理纲领的提出

新公理纲领可追溯到哥德尔1931年关于算术不完全性定理的论文。

在该文的脚注48[a]中，他指出：“……不完全性的真正原因在于更高类型的形式可以继续进入超穷……每当添加合适的更高类型的公理时，构造的不可判定命题就可以判定。”①

明确提出新公理纲领则是在其1947年发表的经典文章《什么是康托尔的连续统问题》中。

1963年哥德尔根据集合论的后续发展又做了第二版补遗，最终形成1964年的修订版。

事实上，在1947年的版本中哥德尔就预感到连续统假设独立于ZFC，因此希望通过引进新公理解决它，并为引进它们提供了相应的辩护。

首先，他基于集合的迭代概念给出了新公理的内在辩护。这个理由说明新公理展现了由迭代概念[通过运算“……的集合”的迭代运用使得大全集分层成为从φ出发的阶为Vₐ（α为序数）的累积分层，即V₀＝0，Vₐ₊₁＝Vₐ∪℘(Vₐ)，且Vλ＝{Vₐ：a＜λ}的并，λ为极限序数]解释的集合概念的内容，表达的思想就是，即使耗尽了幂集和替换运算，集合的迭代仍然继续下去。

他举例说明，断定不可达基数和马罗基数存在的公理就是基于这样的内在理由，它们是原有公理系统自然的延续。

但是，当哥德尔看到上述的无穷公理不能判定连续统问题时，他期望因外在理由引进新公理：“在它们可证实的推论中如此丰富……以致不考虑它们的内在必然性，它们仍将不得不在任何完整的物理理论相同的意义上被假定。”②

这种外在理由强调的是“推论上的多成果性”。

关于证成新公理的外在理由，哥德尔还指出，当前不适宜于给专门的集合论公理做辩护，因为我们关于它们在其他领域中的推论知之甚少。

但是，人们并非都同意哥德尔这样的提议。

如1952年埃雷拉(Errera)认为连续统问题无法由现有公理系统判定就表明它没有意义(见哥德尔1963年的第二版补遗)，这直指哥德尔寻找新公理的计划。

对此，哥德尔从两个方面说明寻找新公理的必要性，从数学观点看，新公理被断定或否定存在显著的非对称性，断定它可以得到“富有成果的”扩充，否定它在有限范围之外将没有成果。

从认识论观点看，不可判定性命题只因原有公理系统中原始词项的含义处于不确定时才会失去意义。

但我们有一个可设想的集合论对象(在他看来，这个客观实在是经由“……的集合”的迭代方式设想的集合累积分层V)，而且我们对它们具有一种“像感知的”数学直觉，这使得现有公理迫使我们认为它们为真，而且也意味着不可判定的命题将来可以被判定。

不仅如此，哥德尔还指出，我们的数学直觉感知到的只是“集合论对象的观念”，但这个观念的客观性对判定连续统的真假不具有决定性。

真正重要的是，“存在一种心理学上足够清楚的，可以产生集合论公理和它们扩充的一个开系列的直觉事实，就足以使康托尔连续统假设那样的命题的真假问题具有意义。”③

哥德尔上述的辩护无疑为寻找新公理提供了有力的支持，但由于他设想了一个柏拉图主义的集宇宙，这激起了关于集合论哲学基础的讨论和争辩。

真的有那样一个抽象的集合世界吗?

如果有，生活在物理世界中的我们如何能认识那样的世界?

这种困惑显然与预设客观存在的集宇宙有关，但我们也应该注意到，尽管哥德尔提到了“可设想的集合论对象”，但事实上他更侧重于在数学直觉的认识论上，而不是像人们通常认为的基于柏拉图主义的实在论立场，支持寻找新公理。

二、新公理纲领的实在论辩护

20世纪60年代至80年代期间，一方面，人们寻找新公理解决CH等独立性命题；另一方面，人们尝试为这些备选的新公理提供各种辩护。

这段时间探讨新公理的特点是：人们普遍认为连续统假设是一个真问题，而且从集合的实在论观点猜测CH具有确定的真值。

因此寻找的新公理除了提供各种辩护之外，还基于一种实在论。

1988年，P.麦蒂(Penelope Maddy)在《符号逻辑杂志》上发表了两篇综述性论文《相信公理Ⅰ》和《相信公理Ⅱ》。

这两篇文章的主要贡献是概括和总结了支持集合论公理，尤其是那些候选新公理的各种证据。

在《相信公理I》中阐述ZFC公理的合理依据时，麦蒂引用了G.H.摩尔(Gregory H.Moore)、M.哈雷特(Michael Hallett)以及A.A.弗兰克尔(Abraham A.Fraenkel)和A.利维(Azriel Levy)、王浩、F.R.德瑞克(Frank R.Drake)等人的著作和论文。

相比于为ZFC公理提供辩护来说，她更强调，它们与未经证实的新公理相比不具有优先的认识论或形而上学地位。

麦蒂还考察了人们对CH的态度。

她除了参考上述学者的著述外，还引述了数学家、逻辑学家和集合论专家如科恩、哥德尔、D.司克脱(Dana Scott)、D.A.马丁(Donald A.Martin)、R.M.索罗维(Robert M.Solovay)、C.弗赖林(Chris Freiling)等人的论文。

从她的综述看到，尽管独立性命题使得一些人，如科恩一开始采取形式主义的态度，但最终人们对CH具有确定的真值取得一致的意见，即集宇宙的存在支持CH是个真问题，所以引进新公理是必要的。

另外，尽管CH的真值尚未判定，但多数人基于各种理由，倾向于猜测它为假。

随着寻找新公理解决连续统问题工作的展开，最普遍被接受的新公理的内在理由是反射原则(reflection principle)。

它的基本思想是，集宇宙如此复杂以致不可能被完全描述，因此关于整个集宇宙的任何真，必定已经在该宇宙的某初始段为真。

这样，哥德尔用迭代概念辩护的不可达基数和马罗基数、甚至比它们更强的弱紧致基数、不可描述基数等都可以在反射原则下得到辩护，而且ZFC公理也可以重塑为反射原则。

最终的结果显示，这些无穷公理都不能判定连续统问题的假，因为它们与证明连续统假设与ZFC公理相容的可构造公理V=L也相容。

至于新公理的外在证成方面，人们一般都接受哥德尔声称的推论上的富有成果性。

麦蒂在《相信公理Ⅱ》中详细阐述那些不能用内在理由辩护的大基数公理的推论，尤其是二阶数论上的推论。

她的论述显示，现代集合论研究中断定可测基数、武丁基数和超紧致基数等存在的更大的大基数公理以及涉及可定义实数的决定性公理都具有各自丰富的推论，因此得到了外在的辩护。

这些技术工作主要归功于索罗维、马丁、M.福尔曼(Matthew Foreman)、M.穆加多尔(Menachem Magidor)、S.谢拉(Saharon Shelah)、W.H.武丁(William Hugh Woodin)等人。

值得谈及的是，60年代后期，索罗维猜想大基数公理蕴涵可定义实数的决定性公理；

80年代中期，武丁作为索罗维的学生，最终证明了可定义实数的决定性公理等价于大基数公理的内模型。

这个结果产生的影响是，使得两类在概念上处于完全不同领域的公理被统一起来：

决定性公理继承了大基数公理的内在和外在证据，大基数公理转而获得支持决定性公理的外在理由。

但与人们期望的相反，这些大基数公理依然无法解决连续统假设问题，尽管它们与V=L不相容。

麦蒂撰写这两篇综述性的论文，旨在给数学知识论者和数学哲学家提出哲学任务。

她本人认为集合论在可应用性上的成功以及那些外在证据可以巩固公理的辩护实践。

但她不倾向在某特定的哲学立场上给出新公理的辩护和反驳，而是认为对任何哲学立场的人来说，连续统假设都是一个真问题。

因此，在她看来，寻找新公理解决连续统问题不只是柏拉图主义的事业，而且是对任何哲学立场都重要的事业，关键在于深入考察这些哲学立场之间的细小差异。

三、新公理纲领分歧的当代视野

20世纪90年代后，与麦蒂观点的初衷事与愿违的是，一些人对连续统具有确定的真值提出了质疑，他们认为独立性的结果破坏了集合论作为客观的事业；

而包括麦蒂在内的另一些人则坚持独立性的结果仅仅表明，缺少用于证明这些数学陈述的集合论公理。

这种分歧往往伴随着形而上学立场的分歧，如1999年S.费弗曼(Solomon Feferman)发表于《美国数学月刊》上的论文《数学需要新公理吗?》以及2000年《符号逻辑简报》(The Bulletin of Symbolic Logic)上收录的费弗曼、麦蒂、J.R.斯蒂尔(John Robert Steel)等人在2000年符号逻辑年会上的会议论文均体现出这种分歧。

争论的焦点主要表现为如下几个方面：

(一)公理意指什么

费弗曼在两篇文章的开头均引用了《牛津英语字典》的定义，说明他的“公理”含义即自明性。

然后，他把公理的自明性归因于数学概念的清晰直观。

依照这个标准，他认为皮亚诺算术公理符合这个自明性的标准，因为自然数概念是清晰直观的。

但斯蒂尔认为公理的自明性标准太主观了，不仅导致无法解决“何谓自明的”争论，而且产生的公理系统相当有限。

他主张，迫使我们接受公理为真的更可能是作为整体的公理系统，而且这个过程是渐进的。

因此，尽管我们对新公理的信心不可能达到对皮亚诺公理的信心，但引进的新公理可以合理地得到辩护。

麦蒂则分析了费弗曼青睐自明性公理，对外在辩护的新公理无动于衷的原因。

她认为，主要原因是，费弗曼要求被辩护的公理不仅表明理论是有效的，还必须符合某种数学概念。

这种数学概念是“某理想世界中的概念……或多或少直接表达想象的事物”④，因此，在麦蒂看来，费弗曼为公理的辩护实际上最终不是基于自明性，而是某种客观实在。

麦蒂自己则更愿意支持外在辩护的新公理，因为它们有助于当代集合论满足各种目标。

但她不认为集合论应当揭示数学实体是什么，或在是否需要新公理的问题上提供认识论基础，也不认为集合论显示如何通过显然的步骤，从绝对的某些真理推导出各种数学真理。

(二)连续统假设是否是一个真正的问题

费弗曼声称连续统假设本质上是模糊的，没有新公理以令人信服的明确方式解决它。

原因在于，连续统(或自然数的幂集)是经由自然数的“任意子集”汇集成一个总体得到的概念；解决连续统问题还需要三阶数论上的语句，即需要涉及连续统(实数)的任意子集以及它们之间的可能映射。

但“自然数的任意子集”的概念和“实数的任意子集”的概念都是含糊的，因为我们缺少对这些概念的集合直观，“没法用合理的方式表明在不违反这个概念应该是什么的情况下形成这个概念”。⑤

因此谈论CH的真假没有意义。

另外，CH没有成为千禧年奖金列出的杰出数学问题之一，所以不是一个值得探讨的问题。

但是，斯蒂尔认为三阶数论仅仅是语言上的含糊性，这并不代表它本质上就是含糊的。事实上，可以通过提高语言的意义来发现新的真理。

最终，解决连续统问题可能就是解决语言上的含糊性。

并且一旦澄清了CH在语言中的含糊性，CH在思想中的真就能显现出来。

另外，连续统假设没有成为七个杰出问题之一，仅仅说明人们对数学基础问题不感兴趣。

真正的关键是，连续统假设涉及“与数学证据有关的基本概念问题”，值得逻辑学家去关注。

麦蒂则摆脱了这样的问题。

原因在于她的自然主义哲学不需要关心CH是否是本质上含糊的，而且她不认为CH的答案是预先确定的。

麦蒂的自然主义哲学只需要评估寻找新公理的前景，它符合集合论的目标，也可以解决CH。

(三)新公理的辩护依赖于柏拉图主义的立场是否恰当

费弗曼对于用柏拉图主义为当代集合论寻找新公理提供基本辩护表现出极端的不满。

根据他的理解，柏拉图主义为当代集合论实践作辩护主要体现在：CH具有确定的真值诉诸某个柏拉图的集合世界；

集合的累积分层使用了“给定集合的任意子集”的柏拉图主义概念。

但是，在费弗曼看来，明显的事实是，不仅CH是含糊的，而且整个累积分层的概念都是内在含糊的。

因此不仅谈论三阶数论上CH的真假没有意义，而且谈论二阶数论上陈述的真或假的事实也没有意义。

这种观点，不仅使得费弗曼只在工具主义的立场承认ZFC从累积分层中产生，而且否认寻找新公理解决这些概念上含糊的独立性陈述。

但麦蒂指出，费弗曼错误地相信只有柏拉图主义能够为集合论的实践提供辩护，从而误以为寻找集合论新公理的实践是不正当的。

她声称，哲学不应该证成或批评集合论实践，它们只是“尝试理解该实践”⑥。

(四)普通数学是否需要新公理

费弗曼认为，没有证据表明需要新公理解决开放的算术和有穷组合问题。

一方面，普通数学不需要新公理。

就纯数学来说，几乎所有经典数学的陈述都可以在ZFC中形式化。

就应用数学来说，它们都可以在可还原到PA的系统中形式化或者在相对较弱的非直谓分析子系统中实现。

因此，他声称，由哥德尔第一不完全性定理导致的独立性命题，应该仅仅是普通数学推理的结果。

另一方面，他认为，说需要新公理[即大基数公理(简称LCA)]解决不可判定的命题，其实是在回避问题。

因为我们寻找的不是新公理，而是它与ZFC的一致性。但在接受ZFC+LCA和接受Con(ZFC+LCA)(“Con”表示“一致或相容”)之间存在差别。

在不承认大基数公理具有确定真值的情况下，如果有理由接受Con(ZFC+LCA)但不接受ZFC+LCA，那么我们不应当视LCA为公理。

在承认大基数公理有真值的情况下，可以忽略Con(ZFC+LCA)和ZFC+LCA之间的差别，但是还需要说明为什么承认LCA而不是它的否定为真。

这两种情况都说明，我们不应该如同接受皮亚诺算术公理一样接受它们。

麦蒂针对费弗曼提出的第一个理由给出了反驳。

她认为ZFC甚至更弱的系统对于当代科学可能够用，但或许实践科学并非根据这些较弱系统就能得到，而且纯数学的本质就在于自由。

因此本着探索的精神，使用非直谓方法和更高的无穷公理是必要的，从而期望获得更多数学上有趣的结构。

斯蒂尔针对费弗曼的第二个理由提出质疑。

他认为，费弗曼仅仅说寻找新公理对多数数学家来说不重要，但没有说明ZFC+LCA和Con(ZFC+LCA)之间不同的实际行为内容可能是什么，也没有回答解决第二类独立性命题的大基数公理是否应当算作好的证据，或者是否应该寻找其他方向的解决方案。

从上述的争辩可以看出，费弗曼、麦蒂和斯蒂尔的分歧最终落在经由外在辩护的新公理是否合法的问题上。

这种分歧的根源在于，费弗曼基于自然数的实在论立场支持一阶数论公理，否认寻找二阶以上的数论公理；

麦蒂认为寻找新公理不涉及哲学立场的考虑，只需要根植于集合论的实践目标。

斯蒂尔和麦蒂的观点大体一致，只是他在阐述怎样算是连续统问题的解决时，还强调哲学在新公理纲领中可以扮演更积极的角色。

四、新公理讨论的最新进展

2000年后，赞同寻找新公理的诸多学者希望为新公理纲领提供更好的辩护，而费弗曼等则依然坚持己见，认为连续统假设是含糊的问题。

(一)柏拉图主义立场的辩护

美国数学家和集合论专家武丁自80年代开始，努力寻求连续统问题的解决。

他在2004年的论文《罗素之后的集合论：回

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