群理论

正文

数学起源于数字——清晰、具体、直观。然而，在过去两个世纪中，它已变得更加抽象。18世纪末至19世纪初，数学开始走向抽象化的第一步，这与一个被称为群论的领域有关，它改变了我们所知的理论数学和应用数学。

群论推广了整数的基本性质，它已经彻底改变了几何、代数和分析学（即对平滑变化函数的数学研究）。群论被用于加密信息，研究病毒的形状。物理学家依赖群论来统一自然界的基本力：在高能情况下，群论可用于展示电磁力、核力和导致放射性的力，都是单一基本力的不同表现。

“群”这个数学术语是在1830年由法国天才埃瓦里斯特·伽罗瓦提出的，当时他年仅18岁。（两年后，他在决斗中丧生，但他已经改变了数学的历史进程。）不过，他并不是单独发现群概念的。“这并不是说某天一群数学家突然聚在一起，说‘让我们创造一个抽象结构开个玩笑吧，’”伦敦格雷沙姆学院的群论专家萨拉·哈特说道。“这个概念是在19世纪大约50年间逐渐形成的，这些规则证明是最合适的，它们提供了最大的灵活性和普遍性，同时仍然能够证明一些数学结论。”

群是一个集合或对象的集合，配合一种运算，该运算接收两个对象并输出第三个对象。可以说，最简单的例子是整数与加法运算。群必须满足四个规则。

• 第一个规则称为闭合性（closure）：将任意两个整数相加，结果仍然是一个整数。

• 第二个规则称为结合律（associativity）：如果将三个数相加，结果不取决于你如何组合它们。你可以先将3和4相加得到7，再加5得到12；或者你可以先将4和5相加，再加3，无论哪种方式，结果都是一样的：12 = (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)。

• 第三个规则是群中必须包含一个不会改变其他群元素的元素，称为单位元(identity element)。对于加法运算，0是单位元，因为任何数加0结果不变。

最后，群中的每个元素必须有一个逆元——将某个元素和它的逆元相加，会得到单位元。在整数中，某个数的逆元就是它的负数。例如，3 + (−3) = 0。

要理解这四个性质的重要性，注意一个被遗漏的性质：当你相加两个数时，交换它们的顺序不会影响结果：3 + 5 与 5 + 3 相同。这个性质称为交换律，但群并不要求必须满足交换律。通过将这一性质设为可选，数学家得以探索出丰富多样的结构。

一个非交换群的例子是带标记顶点的等边三角形。如果你将三角形旋转三分之一圈或沿其垂直轴翻转，图形中唯一变化的只是标记的位置。这些保持形状不变的变换称为三角形的对称性。共有六种这样的变换，它们构成一个称为D₆ 的群（更一般地说， D₂ₙ 是由具有n边的规则图形的对称性构成的群，因此 D₈ 是正方形对称性的群）。

要“相加”两个对称性操作，只需依次执行它们。你很快会发现D₆ 群不是交换的：先翻转再旋转，标记的位置会与先旋转再翻转的结果不同。

D₆ 是唯二的包含六个元素的群之一。另一个六元素群的例子是以数字 {0, 1, 2, 3, 4, 5} 为集合。对于其运算，按通常方式将两个数相加，然后除以6，忽略商只保留余数。例如，3 和 5 相加得 2，因为 8 除以 6 的余数是 2。这被称为模6加法，这个群被称为 Z₆ 。一般来说， Zₙ 是一个由数字 {0, 1, 2, 3, …, n − 1} 以及模n加法构成的 n 元群。与 D₆ 不同， Z₆ 是交换群，因为 3 + 5 = 5 + 3，依此类推。

Z₆ 和 D₆ 有着不同的结构。不仅一个是交换群，而另一个不是，还可以用 Z₆ 中的一个元素生成该群的所有元素，即数字 1：从1开始，不断加1。而在 D₆ 中，没有任何元素具有这个性质。过去一个世纪，弄清楚群的可能结构是代数的核心项目之一。

为此，数学家尝试在一个群中识别包含的较小群，称为子群。这些子群必须保留整个群的运算。例如，偶数构成了整数中的一个子群，因为两个偶数相加的结果仍然是偶数。另一方面，奇数则不是一个子群，因为两个奇数相加会得到一个偶数。单位元始终独自构成一个子群，称为平凡子群。

弄清楚群中包含哪些子群是理解其结构的一种方式。例如，Z₆ 的子群是 {0}, {0, 2, 4} 和 {0, 3}——即平凡子群、2 的倍数以及 3 的倍数。在 D₆ 群中，旋转构成了一个子群，而反射则不是，因为两次反射连续进行会产生一个旋转，而不是反射，就像两个奇数相加会得到一个偶数一样。

某些类型的子群称为“正规”子群，它们对数学家尤其有用。在交换群中，所有子群都是正规的，但这一性质并不总是普遍适用。这些子群保留了交换性的一些最有用的性质，而不强制整个群都具备交换性。如果可以列出所有正规子群，就可以将群分解为类似于将整数分解为素数因子的成分。没有正规子群的群称为单群，无法进一步分解，就像素数无法再被因式分解一样。 Zₙ 群只有当 n 为素数时才是单群——例如，在 Z₆ 中，2 和 3 的倍数构成了正规的子群。

然而，单群并不总是如此简单。“这是数学中最名不副实的名称之一，”萨拉·哈特说道。1892年，数学家奥托·赫尔德 提议研究者编制一份所有有限单群的完整列表（无限群如整数则属于另一个研究领域）。

事实证明，几乎所有有限单群要么像Zₙ （对于素数 n 的情况），要么属于另外两类家族之一。此外，还有26个例外，称为偶发群。确定这些群并证明没有其他可能性，耗费了一个多世纪。

最大的偶发群，恰如其名被称为“怪兽群”，于1973年被发现。它包含超过 8×10⁵⁴ 个元素，表示一个具有近 20 万维空间中的几何旋转。“令人难以置信的是，人类竟然能找到这个东西，”萨拉·哈特说道。

到1980年代，赫尔德所呼吁的主要工作似乎已经完成，但证明没有更多偶发群的存在非常困难。1989年，数学界在一份1980年代早期的800页证明中发现了漏洞，导致分类工作进一步延迟。最终，新的证明于2004年发表，完成了这一分类任务。

现代数学中的许多结构——例如环、域和向量空间——是在群的基础上增加更多结构而创建的。在环中，除了加法和减法，你还可以进行乘法；在域中，还可以进行除法。但在这些复杂结构的底层，始终存在相同的群的概念及其四个公理。“在这种结构中，仅凭这四条规则所可能产生的丰富性，简直令人叹为观止，”

参考： ‘Groups’ Underpin Modern Math. Here’s How They Work. | Quanta Magazine

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