超宇宙计划（三）

在这两种情况下，人们只能认识到集合系统通过以下方式显示出最大的性质超宇宙计划93事实上，旨在表明大基数的存在见证了序数的长度和幂集的厚度，因此忠实于宇宙是最大的假设的论点已经在文献中反复给出。6强制公理也被认为是集合论的“自然”公理，因为它们具有“最大化”的存在意义（见【2】）。在超宇宙计划中，K在任何地方都没有作为一个独立存在的确定的现实被调用。它也不是我们关于集合的直觉强加给我们的一幅确定的宇宙图像。相反，K旨在作为一种元数学结果。我们这样说，并不是在想一个结束过程的最终结果。我们心目中的理想状态是越来越接近的。在超宇宙程序中，K表示满足任何集合论陈述都应被视为真实（作为事实上的或法律上的集合论真理）的结构。也就是说，U的内容，远不是从本质上确定的和我们在做集合论时应该忠实于的现实的角度来理解的，而是我们自己的产物，随着集合论的进步而逐步发展，程序的发展导致集合论真理领域的丰富。特别是，在超宇宙计划中，K扮演了一个出场者的角色，只有从作为多元宇宙概念最合适实例的超宇宙开始，人们才能接近这个出场者。事实上，在超宇宙计划中，一个人赞同多元宇宙的观点是由Woodin解释的，他说，“自最初发现以来的几十年中，Cohen的强制方法的改进以及由此产生的大量无法解决的问题，在实际意义上几乎迫使一个人在当代集合论中采取”多元宇宙的立场(【23】，第103页）。考虑一下，从多元宇宙的角度来看，一个人不是与一个独特的“所有集合的系统”一起工作，而是与许多不同的系统一起工作，并将它们作为元数学结构和模型来处理。从多元宇宙的角度来看，人们自然会根据比较集合论模型所揭示的元数学特征来理解“所有集合系统的最大性质”这一表述。这就是超宇审计划中所做的事情。像垂直和水平最大值这样的标准是对超宇宙元素（即ZFC的可计数传递模型）显示“最大值属性”的含义的严格表达。换句话说，为了忠实于所有集合的系统必须是最大的这一思想，在超宇宙程序中没有必要做出关于K的存在性断言；特别是没有必要假设宇宙中存在大基数。反之亦然，像这样的暗示6参见(16)对集合论者关于大基数对最大值的忠实性的论证的广泛评述。94塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-戴维·弗里德曼关于大基数的综合猜想并不被视为与人们对“所有集合的系统”的最大化期望相矛盾。如前所述，在超宇宙计划中，K中不存在非常大的基数（高于可测基数）不仅被认为与关于ZFC模型的最大化期望相一致，还被认为与事实上的集合论真理相一致。这是在对大型基数假设在当代集合论中的作用进行谨慎检查后得出的结论，尽管大型基数以多种方式出现在集合论中，但它们的重要性源于它们在内部模型中的存在。事实上，当证明ZFC的大基数扩张的一致性强度属于有序层次时，人们只需要考虑内部模型中的大基数存在。一致性上下限结果也是如此，这是集合论中大型基数的最重要用途。对于上限结果，从包含大基数的ZFC模型M开始，然后通过强制产生外部模型M【G，其中一些重要陈述成立。请注意，在结果模型中，大基数可能不存在；它们只存在于一个内部模型中，即原始M .当然，我们不必假设初始M是整个宇宙K，它是任何具有大基数的内部模型就足够了。在下限结果中，一个从满足兴趣陈述的模型M开始，然后构建具有大基数的内部模型；这就是多德-詹森核心模型程序，见【12】。正如Steel所指出的那样，“我们不知道如何比较PFA的一致性强度和勒贝格测度的总体扩展的存在性，除非将它们分别与大型基数层次结构联系起来”(【20】，脚注22，第427页)。通过援引这一事实，他补充说：“大基数等级制度是必不可少的”。然而，再一次，在证明使大基数“必要”的一致性结果时，人们只假设它们存在于内部模型中。7类似的论点适用于内部模型程序、其目的是表明如果大基数存在于K中，那么它们也存在于行为良好的内部模型中；这相当于展示如果大基数存在于内部模型中，那么它们也存在于偶数中更小，更好的内部模型。对上述内容的一个可能的反对意见是，人们在K中而不是在内部模型中使用大基数来证明确定性的形式，例如PD，所有实数投影集的确定性。断言PD为“真”有两个常见原因。一个原因是基于关于集合论中大基数的作用，谢拉也表达了类似的观点。参见【1

9】。在【23】中表达的相反观点是，相信大型基数公理一致性的唯一基础是相信它们在k中的真实性。然而，人们可以反对Woodin的论点是基于大型无限和大型有限集合之间的错误类比。的确、大型有限集的存在隐含在它们的一致性之中：这仅仅是因为Ko没有合适的内部模型、因此大型有限集的存在与它们在内部模型中的存在是相同的。对于大无穷大来说，情况显然不是这样。超宇宙计划95外推由于Borel和解析集是行为良好的（在某种意义上，它们是勒贝格可测的，并具有Baire和完美集的性质），并且PD将其扩展到所有投影集，那么PD必须是“真的”。但对这一论点有明确的反驳。例如，考虑Iévy-shoen field绝对性，Z1语句相对于任意外部模型的绝对性。这在ZFC是可证明的，即使允许任意的实参数。外推法自然得出锌的溶解度任意实参数。但即使Z1绝对性与任意实参数可证明为假。对于任意实参数，只有通过人为地将“外部模型”理解为“集合通用外部模型”才能获得一致的原理。一旦人们将此放宽到类通用外部模型，原则就变得不一致了。因此，如果在从Z2外推至Z＄绝对性时很容易导致不一致，那么如何证明从Z可测性外推至投影可测性的合理性呢?更合理的推断是-输出参数。事实上，与带有任意实参数的版本不同，无参数Z13 absoluteness与IMH一致（事实上也遵循了后者）。因此，关于投射陈述的一个自然结论是以下:一致化原理y，其断言对无参数投影集成立的性质对任意投影集也成立是错误的。因此，如果不允许参数，投影集的正则性是Borel和解析集正则性的合理推断。事实上，无参数PD（或者甚至没有实数参数的序数可定义判定）和具有非常大基数的内部模型的存在与IMH一致（并且很可能有合成猜想的见证），但是带参数的PD和具有包含任意给定实数的非常大基数的内部模型的存在不一致。主张PD“真理”的第二个原因是它“解决了关于HC（遗传可数集合的集合）的所有自然问题”。这个断言是基于这样一个事实，即假设基数很大，你不能通过集合强制来改变HC的一阶理论，而这个理论在某种意义上是由PD描述的。但这忽略了一个事实，即HC理论可以改变，即使是在最小可能的水平上(Z3)，如果人们允许其他扩大宇宙的方法，甚至是保持非常大的基数存在的方法。这种说法有一些简单的例子（例如存在具有少量“可迭代性”的非常大的基数的模型）。超宇宙计划通过使用极大化原则得出的结论也产生了关于HC理论的有力结论（与PD冲突），但无需提及“强制设置”。参考TATIANA ARRIcoNi和Sv DAVID

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