超宇宙计划（二）

相反，在【23】中，集合通用多元宇宙被引入，以仔细检查集合通用多元宇宙的真理概念。根据后者，用集合论语言表述的句子如果在K生成的多元宇宙中绝对成立，即如果在属于该多元宇宙的每个宇宙中都成立，则该句子为真。如果有人采纳通用多元宇宙的真理观，他应该声明CH这样的句子缺乏真理价值。然而，这不是伍丁的结论。事实上，他认为集合通用的多元宇宙真理观是站不住脚的，因为它违反了他认为对集合论宇宙的任何真理概念都至关重要的原则（见【23】）。然而，请注意，尽管伍丁和哈姆金斯对多元宇宙有不同的数学理解，他们对独立于ZFC的句子的地位有不同的立场，但在某一点上，他们对多元宇宙的看法比一开始可能出现的更相似。在考虑是否可以通过援引多元宇宙为集合论句子引入一个合适的真理概念时，伍丁和哈姆金斯都心照不宣地从一个假设出发，即人们应该将多元宇宙视为无法超越的ZFC模型的最终多元性，也就是说，简化为某种更基本的东西。结果，他们都被引向集合论真理概念的候选人，这种概念是非常不完整的，允许集合论的意义既不是真的也不是假的。伍丁和哈姆金斯分享的这一假设值得强调，因为它被超宇宙计划明确拒绝（见下文的欲望2），我们现在将其作为利用多元宇宙概念的集合论真理的一种独特方法。超宇宙计划可以被理解为试图达到新的法律上的集合论真理从多元宇宙的图片开始超宇宙计划85它忠实地总结了当代集合论中可获得的大量结果。当使用这种方法时，人们专注于ZFC的有根据的模型，这相当于表达了一种双重信念:ZFC的公理是事实上的集合论真理，只有这种理论的有根据的模型才提供了集合论宇宙的可信图像。因此，超宇宙计划一开始就声称多元宇宙应该满足一个极大性和一个明确定义的标准，只有ZFC的所有可数传递模型的集合才能满足这个标准。更准确地说:渴望1。多元宇宙应该尽可能丰富，但它应该不是一个定义不清或没有限制的乘法。这样说有两个目的。首先，当代集合论中创建有根据的宇宙的方法远远超出了集合强制或类别强制（因此多元宇宙应该不仅仅包括集合或类别通用扩展和基础模型）。由于超宇宙，即ZFC所有可数传递模型的集合，在所有可能的宇宙创造方法下都是封闭的，人们被引导去认同多元宇宙。第二，迫切需要给多元宇宙一个精确的数学公式，这使人们能够将其用于丰富集合论真理领域的目标。这是在超宇宙计划中通过为超宇宙的某些成员制定合理的偏好来完成的，从而获得首选宇宙的选择。多元宇宙定义明确的要求是这一选择过程成为可能的必要条件，如果多元宇宙定义不明确或没有尽头，情况就不会如此。渴望2。超宇宙不是一个终极的多元宇宙。人们可以根据基于合理原则的标准表达对其中某些成员的偏好。超宇宙计划的另一个关键点是，在超宇宙的首选宇宙中成立的一阶属性在k中也成立。DfiSIDERATUM 3V的任何一阶性质都反映为可数ZFC的过渡模型，它是超宇宙的首选成员。欲望3的一个重要结果是，尽管超宇宙计划中制定的首选宇宙的标准可能不是一阶的（事实上，我们将在第3节中介绍的标准不是一阶的——它们在整个超宇宙中量化）、但在超宇审计划中，人们可以获得集合论的一阶公理，这些是首选宇宙共享的一阶真理。为了证明欲望3的合理性，人们可能会引用向下的洛温海姆-斯科勒姆定理，然而，该定理本身仅意味着K一阶反射的超宇宙中一定存在某些成员。这些可能被选为超宇宙的首选元素是一种假设86塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-戴维·弗里德曼这是在超宇宙计划中特别提出的，理由是它表达了一种扩大集合论真理领域的合理程序。在超宇宙计划中，没有必要证明这种策略是获得集合论新真理的“正确”策略。事实上，该程序没有柏拉图式的假设，没有承诺将K视为独立于数学实践而存在的明确现实，在扩展集合论知识时应该忠实于这一观点。因此，在超宇宙计划中，对于达成新的集合论真理的正确和错误策略之间没有先验的区别。相反，我们的目标是制定和证明寻找新的集合论陈述的程序，我们希望将其视为最终和确定的。所建议的程序的合理性是在U.Desiderata 2和3中得出的陈述应被视为真实的唯一理由，这相当于一个寻找新的集合论真理的策略提案（该提案的完整形式必须包括超宇宙优选元素的明确标准；我们在第3节中考虑这一点。如何论证这一策略的合理性?考虑一下超宇宙计划的目标。人们希望掌握当代集合论中所面临的各种不同的U的图像，这些图像被炒作的流行词忠实地表现出来。由于向下的Liiwenheim-skolem定理，超宇宙的成员是传达关于k的一阶信息的候选对象。面对令人眼花缭乱的不同选项是我们不仅在当代集合论中熟悉的情况。在这种情况下，我们自然会采取以下行为:我们分析各种可能性，从中选择那些在法定标准下看起来比其他人更好的可能性（因此可以根据先验理由享有特权），并做出有利于这些可能性的决定。这正是一个人在超宇宙计划中所做的。在寻找K的新真理的过程中，人们从超宇宙开始，它最忠实地反映了集合论宇宙的可能图景。由于人们不满足于超宇宙作为一个终极的、不可超越的背景，人们被引导到desiderata 2和3所描述的计划，该计划相当于挑选出超宇宙中拥有最佳元数学属性的成员（即那些符合首选宇宙标准的成员），以便为了丰富k中的真理领域而做出有利于他们的决定。因此，超宇宙计划的策略就其目标而言是完全合理的。让我们强调，本质上不能保证我们下面的列表将导致新的公理，既解决独立的问题，又与事实上的集合论真理兼容。也就是说，通过遵循它们，人们在一开始就不能确定是否能成功地将U中的真理范围扩展到集合论中已被公认为权威的句子之外。这是所使用的首选宇宙标准的无偏性的结果。然而、事实证明通过选择超宇宙计划87根据我们建议的标准，人们确实可以获得独立问题的解决方案，而不会与现有的集合论确定真理相冲突。这一事实的发生可能会被援引为一个相关的后验论证（一个来自成功的论证），以证明超宇宙计划所建议的策略的合理性。3.首选宇宙的标准。超宇宙计划中优先选择哪些宇宙?在第一节中、我们提出了一个观点，即通过订阅超宇审计划，人们应该遵守从对超宇宙的无偏见审视中产生的首选宇宙的原则和标准，以便获得合理的宇宙选择。因此，该计划排除了集合论或数学实践的特定领域产生的需求在制定首选宇宙标准中发挥作用的可能性。因此，大意为人们应该更喜欢那些解决集合论或数学特定领域出现的困难的原理所在的宇宙的声明不是此类标准的候选对象。让我们举一些这种非标准的例子。广义连续统假设(GCH)，它在解决集合论中的一系列问题方面非常有效：IU=L，这个理论产生了一个强大的无穷组合学，可以用来解决集合论中比GCH更多的问题：投影决定性(PD)、它产生了实数投影集的吸引人的理论；强制公理（如马、、BMM）与K=L一样具有很强的组合强度。我*这类标准反映了特定集合论者或数学家群体的兴趣。因此，集合论或数学领域有多少，就可能有多少不同的此类标准。此外，随着集合论兴趣的改变，这些标准也可能改变。因此，从一开始，不能根据它们来选择宇宙，这些宇宙可以假定为在整个集合论社区内被普遍承认为合法的。有没有更好的方法来选择首选宇宙?超宇审计划对这个问题给出了肯定的答案，即通过只关注炒作宇宙的最一般特征并基于它们制定原则，人们能够建议（并证明）首选宇宙的标准。这是基于一个显而易见的事实，即超宇宙由ZFC模型组成11例如，见【19】关于假设GCH为公理的优点。2可以添加一个Woodin基于f2逻辑在【22】中介绍的公理化建议和猜想。后者是一种可以被证明（假设存在一类适当的伍德丁基数）不受集合强制影响的逻辑。但是正如前面所讨论的，在提出新的公理和猜想时，人们无法证明专注于设定强制是合理的。88塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-戴维·弗里德曼相互关联（一些宇宙可能是，例如，强制扩展、基础模型或其他宇宙的等级初始段），人们可以合理地选择就此比较而言“更可取”的超宇宙元素。这些被明确地与那些与它们相关的宇宙联系在一起，满足诸如最大化或全知之类的原则。在考虑超宇宙的一个元素如何可能成功地达到最大之前，让我们提一下根据从对超宇宙的无偏见观察中得出的原则和标准选择宇宙的危险。这样做可能会导致采用一阶陈述，这与事实上的集合论真理相矛盾。让我们举一个例子。人们可能希望基于最小化原则来选择首选宇宙。因此，人们的标准是首选宇宙应该尽可能小。该标准可能导致选择ZFC的最小模型just one uni- verse，这将意味着ZFC集合模型不存在的陈述表达了k的一个属性。然而，这与集合论实践明显冲突，即ZFC集合模型的存在确实属于事实上的集合论真理的范围。这同样适用于由最小性原则启发的较弱标准，根据该原则，人们应该更喜欢满足可构造性公理K=L的宇宙。尽管可构造性公理确实允许存在ZFC（以及更多）的集合模型，但它不允许存在具有可测基数的ZFC内部模型。这也与集合论实践相冲突，即这种模型的存在属于事实

上的集合论真理的领域（这一点将在附录中进一步讨论）。我们现在转向最大化原则。关于最大

化的第一点是，在超宇宙中不可能有“结构最大化”，也就是说，一个优选的宇宙应该包含所有可能的序数或实数。因为不存在ZFC的最高可数传递模型，并且在任何这样的模型上可以添加新的实数以获得另一个这样的模型。那么，什么样的最大化原理可以应用于超宇宙的元素呢?（逻辑）Maximality:设u是一个变量，其范围涵盖超宇宙的元素。如果具有某些参数的所有集合论陈述在外部成立，即在包含v作为“子宇宙”的某个宇宙中成立，也在内部成立，即在c的某个“子宇宙”中成立，则v是（逻辑上的）最大的。根据人们所接受的参数和人们对“亚宇宙”概念的理解，最大宇宙的不同标准源于这一原则（并根据这一原则得到证明）。这里有两个例子。序数（或垂直）最大化标准:该标准针对序数的最大化、其中模型已经固定了幂集运算。如果r是w的一个（适当的）秩初始段，c是序数/最大值当它超宇宙计划89有一个加长，使得对于所有一阶公式p和属于w的c的子网a，如果(p(A)在中成立，那么(p(a(rq)在rp中对v中的某一对序数n《成立（其中ra表示c中秩小于a的集合的集合）。幂集（或水平）最大化标准:该标准呼吁相对于幂集的最大化、其中模型具有固定的阶。如果无参数语句在r的某个外部模型中成立（即在包含υ且序数与r相同的某个宇宙w中成立），那么它在o的某个内部模型中成立（即在包含r且序数与r相同的某个宇宙o中成立）。有序（或垂直）极大性在集合论中有很长的历史。它也被称为高阶排斥原理，并已被证明暗示（并证明）存在“小”大基数（即与K-L一致的大基数概念，如不可访问性、弱紧性、m-Erdos基数，…).相反，幂集最大化只是最近才被公式化。事实上，它相当于IMH，正式来说，通过传递到r的外部模型、内部一致性保持不变，即在r的某个内部模型中包含的无参数句子集没有增加。评估幂集最大值与事实上的集合论真理的兼容性不是一件小事。因为IMH驳斥了不可达基数以及投射决定性(PD)的存在（见【7】)。这些含义迫使人们重新审视大基数和确定性在集合论实践中的作用。因此，人们看到，幂集最大值可能与事实上的集合论真理兼容。因为，如果人们接受这样的说法，即大基数在集合论中的作用被正确地描述为它们在内部模型中的存在，而不是它们在K中的存在，是事实上的集合论真理，并且PD的重要性被其无参数版本所捕获，那么幂集极大性与集合论实践的兼容性就恢复了：1MH事实上与非常大基数的内部模型和无参数PD都一致（实际上是在没有实际参数的情况下具有OD-决定性）。”4

我们将回到“更强的反射形式会导致更大的红雀。这些是允许参数A成为更复杂对象的原则，例如超类（类的类）、超超类（超类的类）以自然方式实现这一点正如科尔纳指出的那样，很快就会导致不一致（见【15】】。使用嵌入的概念实现这一点恢复了一致性，并通过Maaidor的工作（见【17】或【13】，定理23.6)导致了与超大型超紧基数的等价性。然而，由于所涉及的嵌入的任意性质(A和它的“反射版本”之间的关系是由没有唯一性属性的嵌入给出的】，如何证明嵌入反射原则是无偏的甚至是序数最大化的自然原则是不清楚的。14特别地，IMH与所有无参数可定义的实数投射集的正则性一致。允许任意实参数会产生很大的不同，并将与IMH兼容的原理转变为不兼容的原理。90塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-戴维·弗里德曼大基数公理和PD在阿彭-迪克斯集合论中的作用。对于首选uni-vers的合理标准可以得出什么结论?到目前为止，我们已经制定了两个候选标准：序数最大化和幂集最大化。理想的情况是将它们合并成一个一致的标准，即超宇宙中至少有一个元素满足的标准。这不是微不足道的，因为幂集极大性和序数极大性相互矛盾。人们由此得出以下猜想:综合猜想。设幂集maxima lity*(IMH*)是限于序数最大宇宙的幂集maximality(IMH)(即，如果一个句子在r的序数最大外部模型中成立，那么它在r的内部模型中成立的陈述）。那么poirer集极大-ity*(IMH*)和序数极大性的合取是一致的。也就是说，存在同时满足这两个标准的宇宙。合成猜想的证明唾手可得，因为它只需要现有的证明IMH一致性的方法（见【8】）以及对Jensen编码如何在存在小的大基数属性的情况下完成的仔细理解。通过超宇宙程序，合成猜想可以有效地产生新的（一阶）集合论公理，包括独立问题的解决方案。由于见证合成猜想（即序数最大且满足IMH*）的宇宙是优选的宇宙，所有这样的宇宙共享的一阶属性在K中是真实的，并且可以被采纳为新的公理。此类语句的示例如下（参见【7】、【8】、【1】）：有小而大的基数和具有任意Mitchell阶可测基数的内模型。对于某些真实的fi，A*不存在，因此Jensen覆盖对于L【R】成立，L【R】是相对于A的可构造宇宙。结果：不存在可测基数，奇异基数假设为真，连续统不是实值可测的，射影决定性(PD)为假，固有强制公理为假，并且存在非Borel分析集，它们不是Borel同构的。连续统假说仍然悬而未决，即使假设存在一个遵守综合猜想的宇宙。人们需要比内部模型假设更强的幂集最大化版本来解决CH，即具有全局绝对参数的公式的假设。“然而，仍然缺乏对由此产生的强内部模型假设(SIMH)的一致性证明。全知和更伟大的合成?首选宇宙的另一个标准来源是全知原则宇宙是全知的参见【8】。超宇审计划91如果它能够描述在另一个宇宙中什么是真的。基于这一原则的精确标准如下。全知的标准。设G是r中具有任意参数的句子的集合，这些句子在r的某个外部模型中成立。那么G在r中是一阶可定义的。这种说法最早出现在马克·斯坦利未发表的作品中，在那里他表明存在全知宇宙（用我们的术语来说），假设不到一个可测量基数的一致性（粗略地说，是固定的许多拉姆齐基数）。人们可能倾向于将全知视为权力集最大化的一种形式；然而，这不太可能，因为幂集最大化不允许任何参数，而全知原则允许任意设置参数。在拉姆齐基数存在的情况下，对多德-詹森核心模型使用不可分辨变量、将序数最大化与全知综合起来应该不难。一个有趣的公开问题是如何实现更大规模的幂集最大化综合。显然，主张全知和有序最大宇宙的幂集最大化的方法似乎是不一致的。尽管如此、我们有理由推测，这种宏大的综合是可能的，但它的表述将是微妙的，验证一致性所需的数学可能具有挑战性。4.结论。本文中介绍的超宇宙计划是一种新的集合论真理方法，旨在将true-

in- U语句的领域扩展到ZFC之外。为此，该计划制定了一个合理的策略，并将该策略的内在合理性视为所获得结果的真实性的保证。更准确地说，人们引入了超宇宙作为多元宇宙概念最合适的实现方式，并根据偏好某些宇宙的标准将其用于比较集合论宇宙的不同图像(ZFC的可数传递模型）。通过调用序数（垂直）最大化和幂集（水平）最大化的标准，获得了程序的适当实现。通过假设满足这些标准的自然综合的超宇宙元素的存在（即综合猜想），可以得出在U中为真但独立于ZFC的陈述。这些陈述与非常大的基数的存在相矛盾，但与它们在内部模型中的存在相一致，并且它们与投影的确定性相矛盾，但与没有实参数的序数可定义的实数集的确定性相一致。这导致了对集合论中大基数和确定性的作用的重新评估。值得注意的是，尽管超级宇宙的实现本文介绍的verse程序未能解决许多有趣的问题92塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-戴维·弗里德曼独立于ZFC的问题和提出的问题需要进一步调查（从综合猜想的一致性开始），这决不会破坏程序的整体有效性和数学成果。恰恰相反、所获得的研究成果和由超宇宙计划启发的发展所引发的问题证明了它的数学潜力，并谈到了它对未来的承诺，因为分析和发现了推动首选宇宙标准的进一步原则（如全知），并结合最大化寻求对它们的综合。5.附录:超宇宙计划，极大化、大红雀和PD。本附录致力于对超宇宙计划与扩展集合论真理（超越ZFC和其他事实上真正的集合论陈述）的备选方案之间的关系进行更仔细的检查、特别是作为集合论公理候选的大型基数和投影决定性(PD)。哥德尔关于新公理的程序，在第一节中概述，包括为了扩展ZFC而考虑所有集合系统的某些最大值性质的建议。由于最大限度y在超宇宙计划中被用作首选宇宙标准的激励原则，我们在上文中主张该计划符合哥德尔的建议。当然，在声明这一点的同时，我们意识到这样一个事实，即在超宇宙计划中开发的关于maximality的考虑与在新的集合论公理的替代提案中调用的考虑具有不同的性质。这尤其适用于ZFC应该通过增加适当的大型基本假设来扩大的建议，因为这些符合我们关于所有集合的宇宙的最大特征的期望。请参考H. Wang的以下引文(【21】，第553页)：我们认为所有序数的集合都很“长”，并且每个幂集（无穷集）都很“厚”。因此，这种效果的任何公理都符合我们的直觉概念。正如王所做的那样，通过给出序数的长度和幂集的厚度作为所有集合系统的最大性质的例子，事实上是从假设“所有集合系统的最大性质”意味着K的与其中“存在”的东西相关的本体论特征开始的。在作出这一假设时，人们可能打算将K作为一个独立存在的明确确定的现实（这似乎是哥德尔在【9】中的选择），或者（至少部分地）作为一个明确确定的认知概念，一个我们通过关于集合的直觉自然地引导到的宇宙的心理表示（王似乎以这种方式在【21】中看到K，从而诉诸于集合的迭代概念）。

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