超宇宙计划（一）

1.引言。本文的目的是讨论和说明超宇审计划（以及内部模型假设（IMH）及其作为实现它的提案的变体），这是第二作者（见[7]）的一种方法，其灵感来自于对已知独立于公理系统ZFC的问题的解决方案的搜索。我近年来，在独立现象的推动下，集合论中形成了不同的研究方案。Giidel的新公理计划已经为它们中的大部分奠定了基础，该计划在[91中宣布，当时来自ZFC的连续统假设的独立性只能（正确地）推测。[9]和它的修订和扩展版本[10]，在关于集合论基础的辩论中发挥了基本作用。为了捍卫那里表达的观点，哥德尔援引了对数学本质的哲学思考，对逻辑数学概念的分析，以及纯数学性质的技术论证。在大多数随后的克服独立性结果的建议中可以找到类似的成分，哥德尔的程序值得仔细研究。作为通过增加新的公理来扩展ZFC的计划的基本动机，在[9]中表达了这样的信念，即给出最终的答案是可能的已于2012年1月31日收到。关键词和短语。独立，大基数，多元宇宙，柏拉图主义和反柏拉图主义，集合论真理。两位作者都受到了奥地利科学基金(FWF)项目P22430-N13的资助。第一作者也得到了欧洲科学基金会在ESF活动“无限的新领域:数学、哲学和计算前景”框架内的一笔交换赠款的支持。我们所说的独立问题是指句子《；# ZFC的一阶语言使得zfc既不能证明也不能证明(；.Qc：2013，符号逻辑协会1079-8986/13/1901-0003/$ 3.00 DOI:10.2178/bsl.19010307778塔蒂亚娜·阿里冈1和赛-戴维·弗里德曼连续体的基数问题，尽管它可能独立于ZFC。这种信念明确地建立在数学的柏拉图主义观点上，根据这种观点、集合论概念和定理描述了一些确定的现实、“其中康托猜想必须是真的或假的.它与今天已知的公理的不确定性只能意味着这些公理不包含对这种现实的完整描述”。(【91，第181页)。当讨论新公理的提议时，在191中提出的观点是，新公理的候选应该是合理的，显示出对激励原则的符合性比候选本身更明显和更有说服力。为此，集合的概念被调用，其中集合是通过运算“集合”的迭代应用可从整数（或一些其他明确定义的对象）获得的东西。特别强调了该概念的最大化含义，即公理“陈述运算集合的更多迭代的存在”、像“小”大基数假设一样，被认为是新的集合论公理的完全合法的候选者。2 [9]，然而，不排除在集合概念之外，可能有其他动机成功地表明扩展ZFC的合理策略的可能性。事实上，据推测，“除了普通公理之外，还可能存在[..]集合论的其他（迄今未知的）公理，对逻辑和数学基础概念的更深刻理解将使我们认识到这些概念所隐含的意义”([9]，第182页)。在[10]中还建议，集合系统的一些最大值性质可以被设计出来, 这些最大值性质不是由集合的概念直接建议的，但是可以作为集合论的一个合理的新公理(“[..]从某种意义上与这个公理相反的一个公理[K =L1或许可以推导出康托猜想的否定。我在想一个公理..]将陈述所有集合系统的一些最大值性质[..]”，[10]，第478页)。正是通过援引成功的标准，作为对集合论公理候选者的真理的决定的贡献，打开了道路2这里的“小的大基数”是指其存在与可构造性公理K=L相容的大基数。哥德尔对其中的一个公理进行了宣告，该公理陈述了一个不可接近基数的存在，如下所示：这些“无穷的强公理”中最简单的一个断言不可及数（以及在更强的意义上不可及数)的存在。粗略地说，后一个公理只意味着通过专门使用其他公理中表达的集合形成过程而获得的集合的总和再次形成一个集合（因此是这些过程的进一步应用的新基础）。（[9], 第182页)陈述可测基数的存在性的公理，以及它与可构造性公理的不相容性，是Gddel所知道的，正如他所写的[10]。然而，Giidel显然不认为这个公理是集合概念所隐含的（见[10]，脚注1

6)。超宇宙计划79[9]将纯数学性质的考虑引入新公理提案的讨论。一个公理的成功意味着它的结果是丰富的，它“照亮了整个学科”，它产生“解决给定问题的强大方法”([9]，第183页)。数学结果（在康托尔时代“未知”的事实）也被用来解释康托尔猜想将被证明是错误的预测。因此, [9]的寓意是，在制定集合论的候选公理时，一个人不仅要致力于寻找证明其合理性的一般激励原则，而且还必须考虑到已经存在并被接受的数学结果的主体，新的公理应该阐明这些结果，或者至少，不是不可调和的矛盾。我们在这里提出的方法分享了哥德尔新公理程序的许多特征，尽管不是全部。让我们简单说明一下。超宇宙计划试图通过创建一个可以比较集合论宇宙的不同图像的环境，来澄清哪些一阶集合论陈述（超越ZFC及其含义）在U中被认为是真实的。这个背景是超宇宙，被定义为ZFC的所有可数传递模型的集合。这种模型的比较唤起了一些原则(maximalit v和omniscience的原则，我们将命名其中的两个), 这些原则提出了在合理的基础上，某些集合的论域优于其他论域的标准。3从首选论域的标准开始，我们应用了适用于所有首选论域（希望包括独立问题的解决方案)的一阶陈述也适用于K（部分基于向下lowen heim-sko lem定理的假设）的原则，并采用这些陈述作为集合论的新公理。简而言之，这就是超宇宙计划，人们清楚地看到，它与哥德尔计划的基本目标是相同的，即通过“对逻辑和数学基础概念的更深刻理解”产生的新的集合论公理来扩展ZFC。事实上，在超宇宙计划中，人们为超宇宙的逻辑数学分析所建议的首选宇宙制定了原则和标准。此外，哥德尔建议考虑“所有集合系统的最大特性”来扩展ZFC，这一点在本程序中得到了解决。事实上，maximalit y作为首选宇宙的原则启发标准非常有效。此外，在Gi de1计划和超宇宙计划中，人们试图以一种可能被视为终极且不可修改的方式找到独立问题的解决方案，因此可能被视为K（所有集合的宇宙）中的确定性或真真实性。制定首选宇宙的标准并不是一件容易的事情。特别是，不能从一开始就排除将冲突的欲望强加于偏好的集合宇宙的可能性。因此，对超宇审计划至关重要的是努力将所需的标准结合成一个连贯的综合；这将在下面详细解释。80阿蒂亚娜·阿里冈1和赛-戴维·弗里德曼然而，必须明确指出的是，在制定超宇宙计划时，无论是对K还是对超宇宙，都没有援引柏拉图主义。相反、它的一些典型特征清楚地表达了一种反柏拉图主义的态度，这使得该计划与吉德尔的计划截然不同。在为寻找独立问题的解决方案的合法性进行辩论时，在超宇宙计划中没有明确的现实要求。相反，人们认为，尽管在集合论中获得了大量的独立性结果，但没有先验的理由反对为CH等问题找到最终答案的目标。这将举证责任转移到那些声称存在此类理由的人身上。4此外，在制定超宇宙计划时，表述“K中的真实”并未用于反映关于所有集合的宇宙的本体论状态，即存在可以独立于集合论实践而被描述为现实。相反，“K中的真实”意味着亚马逊de parler只传达关于集合论者的主观态度的信息, 作为对某些陈述在集合论者眼中已经或预计将具有的地位的描述。“K中为真”的句子是指被集合论者视为或应该被视为确定性的句子，即最终的和不可修改的句子。在超宇宙计划中，有两种说法符合这种状态。第一种是那些集合论陈述，由于它们在集合论以及更一般的数学实践中所起的作用，它们不应该被任何进一步的集合论陈述候选人所反驳，这些集合论陈述可能被视为最终的和不可修改的。让我们称这些陈述为“事实上的”集合论真理。ZFC公理和ZFC +大基数公理的一致性就是这种真理的例子。但其次，在超宇宙计划中，人们准备将K个陈述视为真实的，这些陈述除了不与事实上的集合论真理相矛盾之外，还遵守一开始就明确建立的真理条件。让我们称这些为“法律上的”集合论真理。他们服从的条件是，它们是在超宇宙的所有首选宇宙中都成立的句子。反过来，后者并不意味着是一个独立的、确定的现实，而是随着集合论和程序的发展而产生的一种数学构造。因此，在超宇宙计划中，柏拉图主义既不涉及K也不涉及超宇宙。事实上，正如该计划所计划的那样，法律上的集合论真理的模拟是一个自主调节的过程。在参与其中时，没有任何“外部”约束被强加，例如一个人必须忠实于的已经存在的现实。相反，在寻找法律上的集合论真理时，人们只需要遵循合理的程序。从一开始就不能排除在某个时候需要4这一假设似乎是Shelah在【18】、【19】中的考虑以及Hamkins在【11】中倡导的多元宇宙观点的基础。对前者的批判性评价见【1】。超宇宙计划81修改所采用的程序，以便与其他同样合理的程序相结合简而言之，制定法律上的集合论真理，这是超宇宙计划的核心，可以被理解为一个非柏拉图思想的数学家的积极回应，他认为在事实上的集合论真理之外寻找新的真理是有意义的。这与任何形式的关于这种探索的怀疑态度形成对比，无论是由这种探索是无望的假设所激发的，还是由可能基于柏拉图主义的信心所激发的，即无论K的明确特征是什么，它们都将以某种方式表现出来，而不需要我们自己的任何努力。等价地，我们可以把超宇宙程序描述为一种动态的集合论真理的方法，不受外部约束（尽管内部有规定），与任何静态的柏拉图主义观点相反，后者认为关于集合的真理被限制在一个我们必须“忠实于”的固定状态。超宇宙计划的倡导者对存在的立场-集合理论的发展既复杂又令人惊讶。当然，后者明确地进入了程序，只要一个人的目标是获得首选的宇宙，除了符合某些标准和不违背现有的事实上的集合论真理，在决定独立的问题是成功的。此外，集合论中的现有发展或扩展现有发展的程序所启发的新发展提供了建立偏好宇宙存在所需的技术。然而，超宇宙计划明确呼吁集合论发展还有另一个原因，尽管是以一种消极的方式。当宣布扩展ZFC以解决独立问题的意图时，一个人还需要尽可能不偏不倚地对待这些问题应该如何解决，以及应该为首选宇宙制定哪些原则和标准。特别是，不能一开始就选择后者，以便独立于ZFC解决问题，或满足现有集合论实践的某些特定领域的需要。在制定这些原则和标准时，也不应援引具体的数学假设（例如、大基数或强制公理）。无偏性背后的基本原理是双重的。一方面，对于ZFC之外的集合论发展属于事实上的集合论真理的领域，人们希望尽可能地谨慎。认可这种态度意味着公正地对待这样一个事实，即在集合论团体中已经提出了关于这一问题的不同观点。6其次，我们的目标是从以下方面制定原则和标准这方面的一个例子将在第3节中给出，其中功率标准设置为最大值被修改以符合序数最大值y的标准。6例如，参见[22]和[19]关于当代集合论中大基数公理或确定性公理ADz[x1的不同立场。82 TATIANA ARRIGONI和SY-DAVID FRIEDMAN对超宇宙的分析，专门关注其最一般的特征。因此，选择的原则和从它们导出的标准被期望在一个人对集合论的最基本方面的了解的唯一基础上，产生一个优选宇宙的合理选择。令人惊讶的是，尽管没有偏见，超宇宙程序导致的结果强烈影响了我们对现有集合论发展文集的理解。例如，如果采用内模型假设(IMH)、如【7】中所述，作为首选宇宙的标准，提供了对ZFC的可数传递模型是最大的（固定序数）意味着什么的适当描述。这个假设解决了许多独立于ZFC的问题，但也对集合论团体有时毫无疑问的假设具有修正性质的含义:尽管IMH与非常大的基数的内部一致性（即它们在内部模型中的存在）相兼容，但它与它们在整个宇宙K中的存在相矛盾。这可能被认为是破坏性的，提供了反对而不是支持假设的证据。然而，通过认真对待它，人们可能仍然会得出意想不到的结论，即IMH毕竟与集合论的实践不矛盾，因为它是在内部模型中而不是在K中存在的大型基数，它在集合论中获得了最终的、不可撤销的假设的地位，我们在提出新的公理时不得与之矛盾。换句话说，人们承认大基数的内部一致性，而不是它们在宇宙中的实际存在，这是事实上的集合论真理。关于投影的确定性(PD)有一个类似的现象:IMH与PD相矛盾，但与没有实参数的序数可定义的实数集的确定性一致。因此、IMH违反了均匀性原理，该原理断言自然投影陈述与实参数相关，并且与PD相反，人们将无实参数的序数可定义的确定性视为事实上的集合论真理。关于IMH对现有集合论发展的影响的讨论也适用于超宇宙计划中出现的首选宇宙的其他标准。本文的计划如下。在第2节中，我们描述了超宇宙并考虑了它与k的关系。在第3节中，我们介绍了基于最大化和全知原则的首选宇宙的标准。第4节总结了超宇宙计划的当前状态，而最后的附录致力于更广泛地讨论极大性以及大型基数和投影确定性在集合论实践中的作用。超宇宙。在当代集合论中，许多方法可用于创建新的宇宙，即ZFC模型，从给定的宇宙开始：集合强制、类强制、超类强制（即强制谁的超宇宙计划83条件是类）、7和模型理论技术。8因此、集合理论家可以利用大量不同的宇宙。这种ZFC模型的泛滥最近导致了多元宇宙作为一种新的集合论概念的引入，并引发了关于多元宇宙是否可能代表解决集合论真理问题的适当起点的相关讨论。文献中提出了多种不同的多元宇宙图片，这取决于人们对哪些ZFC模型应该被纳入其中的看法。对于多元宇宙如何作为一个恰当的框架来阐述集合论真理的问题，人们表达了不同的观点。在这一节中，我们将回顾现有的关于多元宇宙的各种提议，并将超宇宙作为多元宇宙概念的最佳实现来呈现。伍丁和第二作者都使用多元宇宙这个术语来表示通过某种方法操纵一个或多个ZFC初始模型获得的宇宙集合。特别地，在【23】中，伍丁从ZFC的可数传递模型M出发，将M周围的多元宇宙作为集合-一般扩展和集合-一般基础模型下的闭所生成的集合（这就是伍丁所说的从M生成的（集合-）一般多元宇宙）。9伍丁还认为U可以从中生成（集合-）一般多元宇宙。为此目的，人们将（集合）一般扩展视为布尔值模型，即具有形式U的模型，其中B是完整的布尔代数。与此不同的是，Woodin实际上将“通用扩展”和“集合通用扩展”视为同义词这篇论文的引入了围绕L的类通用多元宇宙，它是通过在类强制和类通用基础模型下封闭L而获得的，以及类通用扩展的内部模型它们本身不一定是类通用的（见【5】）。集合通用的多元宇宙和类通用的多元宇宙非常不同:前者保留了大基数概念，不会导致集合强制之外的结果，而后者可以破坏大基数、并导致无法通过类直接获得的模型参见【6】。例如，见【14】。正是通过这些方法操纵集合的宇宙，才能将互斥的真值分配给集合论句子，从而证明它们独立于ZFC。9对ZFC的可数传递模型的限制是由于这样一个事实，即在ZFC可以证明这种模型存在强制扩张。I0Woodin明确拒绝考虑建立在强制分类基础上的多元宇宙的可能性：“没有一个合理的候选定义集-通用多元宇宙的扩展版本、它允许强制分类扩展，但仍然保留了跨多元宇宙的大型基数的存在”(【23】，第107页)。伍丁的立场存在问题。在集合论中，类强制和超类强制与集强制具有相同的地位。此外，通过限制集合强制和假设大基数的存在，人们人为地避免了任何新的集合论公理的无偏搜索的真正困难，即处理可能破坏大基数公理的合理原则的困难。84塔蒂亚娜·阿里戈尼和赛-戴维·弗里德曼强迫。哈姆金斯最近也阐明了多元宇宙的观点，显然与伍丁和第二作者都脱离了关系。什么在【11】被称为多元宇宙，事实上，它并不是可以通过特定程序关闭而从初始宇宙中产生的ZFC模型的集合。相反，多元宇宙被描述为由迄今为止已经构建的所有集合论宇宙组成的群体，并且可能在未来产生，可能包括非充分建立的模型和除ZFC之外的系统模型。其结果是一种异质的开放式多元性，无法对其进行全面统一的描述。对于多元宇宙是否以及如何被视为确定真理问题的背景，集合论者之间也没有达成共识。例如，哈姆金斯关于异质开放多元宇宙的提议伴随着两方面的邀请:放弃“ch的梦想解决方案模板”。根据该模板、CH的真值必须由集合论的一些新公理来决定：以及考虑CH是否成立的问题，因为我们知道它在多元宇宙的不同宇宙中可能具有不同的真值。

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