集合论公理

选择公理（Axiom of Choice，AC）：

公理内容：

选择性公理表述为：对于任意由非空集合组成的集合族，存在一个选择函数，该函数从集合族的每个集合中恰好选出一个元素

也就是说，如果有一个集合族，其中的每个集合都非空，那么就可以有一种方法从每个集合中挑选出一个特定的元素，组成一个新的集合

与其他公理的关系：

选择性公理与策梅洛 - 弗兰克尔集合论（ZFC）的其他公理相对独立，可以在不假设选择性公理的情况下发展出一套集合论，但这样的理论在很多方面会受到限制

一方面，选择性公理可以推出一些非常强大的结论，但另一方面，它也可能导致一些看似奇怪的结果。例如，在选择性公理下，可以证明存在一些不可测集，这在某种程度上挑战了人们的直观

争议性：

选择性公理的争议性主要在于它的非构造性，它只是断言存在一个选择函数，但没有给出具体的构造方法，这与其他一些集合论公理的直观性和构造性形成了鲜明对比

一些数学家对选择性公理持谨慎态度，担心它可能会引入一些不合理的结果，然而，也有许多数学家认为选择性公理是必要的，并且在数学研究中广泛使用它

决定公理（Axiom of Determinacy，AD）：

公理内容：

决定性公理表述为：

对于所有的集合 X 和 Y，以及 X 和 Y 的乘积空间 X×Y 上的所有二人零和博弈，都存在一个获胜策略

双人无限博弈可以这样理解：有两个玩家 A 和 B，他们轮流从自然数集合中选取一个数，形成一个无限序列‬

在博弈开始前确定一个规则来判定最终的序列是属于集合 A 还是集合 B

决定性公理断言，对于任何这样的博弈，要么玩家 A 有必胜策略，即不管玩家 B 如何选择，玩家 A 都能保证最终的序列属于集合 A；要么玩家 B 有必胜策略，即不管玩家 A 如何选择，玩家 B 都能保证最终的序列属于集合 B

换句话说，对于任何一个由集合 X 和 Y 定义的博弈，要么玩家一有一个获胜策略，要么玩家二有一个获胜策略，不存在平局或不确定性

重要性及影响：

决定性公理可以推出一些非常强的结论，而在另一些情况下，它又与某些公理相矛盾，决定性公理的研究有助于我们更好地理解集合论的结构和性质，以及不同公理之间的相互作用

争议性：

决定性公理的争议性主要在于它的非构造性，就像选择公理一样，决定性公理只是断言存在一个获胜策略，但并没有给出具体的构造方法，这使得一些数学家对它的合理性和有效性产生了质疑

决定性公理的一些结论可能与我们的直观不符，例：它可能导致一些看似不合理的结果，如某些随机过程的确定性

决定性公理和选择公理的关系如下：

1. 相互矛盾：

在通常的集合论体系下，决定性公理和选择公理是不相容的，选择公理断言对于任意由非空集合组成的集合族，存在一个选择函数能从每个集合中恰好选出一个元素，但这种非构造性的选择方式在某些无穷博弈的情境下，与决定性公理所要求的博弈的确定性相冲突

换言之，在某些模型中，如果假设选择公理成立，可以构造出一个双人无限博弈，使得双方都没有必胜策略，这与决定性公理矛盾

例如：利用选择公理可以构造出一些特殊的集合或博弈场景，在这些场景下决定性公理不成立；反过来，若假设决定性公理成立，那么在一些情况下会否定选择公理的某些结论

2. 各自独立：

从公理系统的角度看，决定性公理和选择公理相互独立，这意味着不能从一个公理推导出另一个公理，也不能用一个公理的否定推出另一个公理的否定，也就是说，在不假设对方公理的情况下，各自都可以在一定的集合论体系中独立存在且发挥作用

3. 弱形式的相容性：

虽然决定性公理与完整的选择公理不相容，但它与选择公理的一种较弱的形式——可数选择公理是相容的。可数选择公理只断言每一个非空集合组成的可数集族有一选择函数，相比完整的选择公理，其要求更弱，在这种较弱的条件下，能够与决定性公理共存于一个集合论体系中

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。