三角函数

构造一个不是三角函数的f(x)和g(x)。简化一下问题，假设f(x)=f(0)=0，可得g(x+y)=g(x)g(y)。再设k(x)=ln(g(x))，有k(x+y)=k(x)+k(y)。如果能找到了一个k(x)的不连续解，g(x)=e^k(x)也不可能是连续的，从而不可能是三角函数。

设R是Q上的线性空间，因为739085^(1/2)是无理数，所以S={1,739085^(1/2)}在Q上是线性无关的。现在我们定义一个集合T={X|S⊆X，X中的元素在Q上线性无关}，然后对T中的元素，用集合之间的⊆关系定义＜关系，就给T中的元素建立了一个偏序关系。比如对M={1,739085^(1/2),√2}和N={1,739085^(1/2)，π}，我们有M，N∈T，其中S＜M，S＜N，但M和N之间互相没有包含关系，所以M和N之间不能比较大小，于是T不是一个全序集。但利用选择公理，我们可以在T中找到一个极大的全序子集。

我们给出一个单调递增的序列S_n(n∈N)：

S₀=S

S_(n+1)=S_n∪{739085^(1/(n+2))}

然后可以取并集得到：

S_ω=∪S_n={1,739085^(1/2)，739085^(1/3)，......}

可以看出来，对每个n，都有S_ω＞S_n。

然后在S_ω中再加一个元素得到S_(ω+1)，并保证S_(ω+1)中的元素仍然是线性无关的，比如取2^(1/2)。接下来以此类推：

S_(ω+n+1)=S(ω+n)∪{2^(1/(n+2))}

再取并集可以得到：

S_(ω×2)=∪S_x(x＜ω×2)

我们还可以继续下去，比如令S(ω×2+n+1)=S(ω×2+n)∪{π^(n+1)}，然后又有S_(ω×3)=∪S_x(x＜ω×3)等等。就这样一直往下增加元素，每个后继序数处随便选择一个能保证新得到的集合仍然在Q上线性无关的元素加入原来的集合，而极限序数处取之前所有更小集合的并集。直到某个S_α，加入R\S_α中的任何一个元素都会使新的集合在Q上线性相关了，我们就无法继续构造S_(α+1)了。于是S_α就是一个符合条件的T中的极大全序子集。

可以看出来，S_α就是R看成Q上的线性空间的一组基。对任意r∈R，我们都可以找出有限个S_α中的数c₀,c₁,c₂,......,c_n(n∈N)，使得r=q₀c₀+q₁c₁+......+q_n*c_n，其中q₀,q₁,......,q_n是不全为0的有理数。这是因为如果存在一个r不能写成这样的组合，就必然需要在S_α中再加入至少一个元素d，得到一个更大的基H，r才能表示成H上的有理系数线性组合。于是H也是Q上的线性无关组，这和S_α是极大的线性无关组矛盾。

于是令k(1)=58和k(√739085)=42，对t∈S_α\{1,√739085}，令k(t)=0。然后定义k(r)=q₀k(c₀)+q₁k(c₁)+......+q_n*k(c_n)。

设x=a₀b₀+a₁b₁+......+a_n*b_n

和y=u₀v₀+u₁v₁+......u_m*v_m

其中a_i,u_i∈Q，而b_i,v_i∈S_α。于是可得：

k(x+y)=a₀k(b₀)+a₁k(b₁)+......+a_n*k(b_n)+u₀k(u₀)+u₁k(v₁)+......+u_m*k(v_m)=k(x+y)

因为k(1)=58，k(√739085)=42，显然k不是正比例函数，而k(x+y)=k(x)+k(y)的连续解一定是正比例函数，所以k(x)是这个方程的不连续解。事实上，k(x)是处处不连续的，甚至是R上的不可测函数，所以构造的过程必须用到选择公理。

于是f(x)=0，g(x)=e^k(x)，属于函数方程的一个非三角函数解。

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