无限（八）

关于默契无限决策问题的补充：两个信封。

决策理论中还有其他各种无限悖论 - 感兴趣的读者可能会遵循以下参考文献：

“无限决策难题”：Barrett和Arntzenius（1999）

“扭曲”：Arntzenius和McCarthy（1997）

“卢布麻烦”：Arntzenius和Barrett（1999）

“荷兰密封书”：McGee（1999）

Arntzenius，Elga和Hawthorne（2004）中的几个悖论

“电缆家伙”：Hájek（2005）。

8。空间和时间

考虑到空间和时间在范围和分裂性上是否无限，导致了许多著名的难题，悖论和抗魔术。由于这种悖论，康德被认为是空间是有限的还是无限的，可以逃脱任何可能的经验确定。康德对抗质体的表现取决于许多假设（例如，无限和无限制之间的区别）受到了后来的数学结果的破坏，或者简单地被认为是哲学上值得怀疑的。另一个有趣的悖论涉及分裂性。在本节中，我们将讨论康德关于空间和时间的反域，以及对这种可分裂性悖论的理论解决方案。接下来是对非欧国人几何和相对论宇宙学的一些发展的快速概述。在最后一部分中，我们提到了宇宙拓扑的最新发展，宇宙学领域试图通过经验观察和数学理论化的结合来确定空间是有限的还是无限的。重点将放在后一个方面。

8.1空间和时间的二律背反

许多哲学家设计了悖论，甚至设计了假定的“反元”，这些哲学家以实质上涉及无限的方式利用了时空的结构特征。在古人中，泽诺以其时空的悖论而闻名。它们涉及无限的许多空间或时间细分或过程，这些分区或过程在推定的上是不可能的，请参见Zeno悖论的条目。在现代人中，康德在“纯粹的理性的第一个反触点”中对时间和时间程度的待遇尤其引人注目。我们现在转向它。

8.1.1康德

在对纯粹理性的批评中，A426-A434，B454-B462 - 坎特给出了“论文”的“证明” - “论文”和“对立”，即时空的程度。 “论文”说：

世界有一个开始;和

世界有有限的扩展。

“对立面”说：

世界没有时间开始;和

世界有无限的扩展。

为了合理的近似，“证明”运行如下：

如果世界没有时间开始，那么，到任何给定的时刻，永恒已经过去了：已经过去了一系列无限的事物连续状态。但是，一个系列的无穷大属于以下事实：它永远无法通过连续的综合完成。因此，一系列无限的事物的连续状态不可能去世：全世界都有时间的开始。

由于无法在单个完整的思想行为中思考无限的扩展，因此只能认为世界通过综合行为具有无限的扩展，在该行为通过添加单位实现完成。但是，通过添加单位实现完成的综合行为需要无限的时间段，我们已经在（a）中看到了这是不可能的。因此，不能认为世界具有无限的扩展。因此，世界没有无限的扩展。

只有在不存在的之前，就开始存在某事。因此，如果世界有一个时间的开始，那么它必须有一个不存在的时间：空荡荡的时间。但是，由于没有足够的理由在一个空荡荡的时间内而不是空荡荡的另一部分，因此没有足够的理由在空旷的时间内出现。因此，世界没有时间开始。

如果世界有有限的扩展，那么世界将包含在一个无限的空白处。因此，世界上的对象不仅在空间中相关，而且与空间有关。特别是，世界与空白空间的关系是世界与没有对象的关系，即一无所有。但是没有这种关系。因此，世界有无限的扩展。

康德（Kant）对时空的反质体的讨论很大程度上是因为他将现代的无限定义与亚里士多德的构想缺乏有限态度所融为一体。此外，在A487/B515处，我们已经确认康德使用“无限”和“无限”，以及“有限”和“有限”和“有限”，同义：“因为它（如果太空中的世界大小）是无限的和无限，那么对于每个可能的经验概念来说，它太大了。如果它是有限的和有限的，那么您可以正确地问：是什么决定了这个边界？”直到19世纪伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann）的工作才引入了几何概念，才能将无限和无限的无限和无限脱钩（并相应地是有限和有限的）。请参阅第8.2节。

You can find further—sometimes sympathetic—discussion of these arguments in Bennett (1966), Huby (1971), Whitrow (1978), Craig (1979), Moore (1990/2019), Oppy (2006), Huemer (2016),以及康德对形而上学的批评。

8.1.2度量

这是一个Zeno风格的论点：

假设对还原为了，一个非零长度的有限线段由相等的，实现的长度相等的许多不相交部分组成。

零件的长度都为零，或者它们的长度相同。

整个线段的长度是零件长度的总和。

如果零件的长度为零，则线段的长度为零，与我们假设其具有非零长度的假设相矛盾。

如果这些零件的长度都非零，则线段的长度与我们假设它是有限的假设相矛盾。

结论1：有限的线段不能由相等的实价长度的无限多关节部分组成。

所以，

结论2：它不能由点组成。

前提1是无可非议的。但是，前提2、3和4要求我们谨慎添加长度。回想一下，在第3.2节中，我们讨论了如何添加可数字的数字序列 - 但是所描述的方法取决于顺序，并且需要一个可计数，有序的序列。尽管有一些技术来求和一组非负数数字，但大多数数学家否认可以通过这些方式添加长度或其他措施。这与Kolmogorov对概率所说的话相似（请参阅第6.3节）。概率和长度是“度量理论”更通用数学领域的两个范式，其中包括所有这些可计算的添加性实用值函数。有关此问题的更详细讨论，包括涉及无限长度的方法，请参见Skyrms（1983）。

有关量度理论的更多信息，请参见Bartle（1995）和Tao（2011）。

8.2.非欧国人几何形状，相对论时空和宇宙拓扑

8.2.1非欧几里得几何形状

在第1节中，我们预计Archytas关于宇宙的无限级的论点，以及康德对抗质体的处理，将有限和界限的观念混为一谈。

现在，我们需要介绍19世纪数学的另一个方面，这使这一至关重要的区别成为重点。有限性和有限性（因此，无限和无限制之间的区别）极大地改善了我们对有关空间结构的问题的理解，以及有限或无限空间的形成。回想一下，牛顿之后的两个世纪，宇宙学是在欧几里得无限空间的框架内开发的。这样的空间在各个方向都是无限的，它是同质和各向同性的，也就是说，在所有位置和各个方向上都是相同的。

在19世纪中叶，开发了几何空间的替代概念，即所谓的非欧国几何形状。高斯（Gauss），布莱伊（Bolyai），洛巴乔夫斯基（Lobachevski）和里曼（Riemann）表明，可以发展出伪造欧几里得的平行公理的几何形状，同时保留所有其他欧几里得公理。该公理（在以后的版本中，与欧几里得给出的版本相当），对于该行外部的任何线和一个点，与给定线的外部有一个，只有一个和一个平行的线路。该声明包含存在的主张和独特性的主张。因此，它可以通过否认存在或接受存在而否认而否认独特性来伪造它。两种替代方案均已开发，并使用表面进行了一些最早的解释。第一个替代方案，即通过给定线外部给定点的任何给定线不存在相似之处，称为椭圆形几何形状。椭圆几何的一个实例是球形几何形状，之所以称之为，是因为它可以在球体的表面上进行建模。第二个替代方案称为双曲线几何形状，在模型中的每一行中，在线外的任何点中都有无限的相似之处与通过该点的线路相似。马鞍表面的一部分可用于对双曲线几何形状进行建模。 （以下图片基于Luminet 2008：49的图片。）







表面p上表面的曲率测量表面从p处的切线平面弯曲了多少。如果表面的每个点P在表面的每个点P上以相同的数量从切线平面弯曲，则表面的曲率是恒定的。可用于模拟各种几何形状的表面的示例是圆柱体的表面（欧几里得；恒定曲率0），球体（球形；阳性曲率）和马鞍（双曲；负弯曲曲率）。它们都是同质和各向同性的，但它们具有不同的恒定曲率。

表面上的这种几何形状刺激了具有不同曲率的三维和较高维空间的发展：正，无效和阴性。伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann）在1854年的论文中使用的3个球（也称为Hypersphere）的一个示例是（也称为Hypersphere）（参见Riemann 1868;有关英语翻译，请参见Riemann 2016）。一个三个球体是在四维空间中的表面，在三维中可视化的2个球体的概括获得：在这两种情况下，我们将相关概念定义为具有距离恒定距离的点的基因座点（其中心）。例如，以原点为中心的2个单元是实数（x，y，z）的三元组集，它们距离（0、0、0）一个单位，即满足x2+y2+z2 = 1，距离距离为1的3个球形（0，0，0，0）是满足x2+y2+y2+z2+w2 = 1的实数的四倍体（x，y，z，w）的集合。它是有限但无限的物理空间模型，明确反对牛顿的空间概念。

Archytas的论点（在上面的第1节中）最终可以安息。 Riemann的模型允许宇宙在同一时间获得有限和无限。他在1854年写道：“与任何外部经验相比，空间的无限性具有更大的经验确定性。但是它的无限程度绝不遵循。另一方面，如果我们假设身体与位置的独立性，因此归因于空间恒定的曲率，则必须是有限的，只要这种曲率如此小的正值。如果我们从给定的表面元素开始延长所有测量学，则应获得恒定曲率的无界表面，即，在三维平坦的歧管中，表面将采用球体的形式，因此是有限的。” （Riemann 2016：39）

无限和无限制之间的区别是概念飞跃的组成部分，它导致了物理空间不必是欧几里得的想法。在下一节中，我们将简要描述曲率和拓扑问题如何在解决世界在宇宙学上是有限的还是无限的问题。

在非欧国几何形状上，读者会发现有用的Greenberg（2007）和Gray（2010）。关于曲率和黎曼几何学的哲学相关性，请参见经典的托雷蒂（The Classic Torretti）（1984）。

8.2.2相对论时空和宇宙拓扑

1915年，爱因斯坦提出了普遍的相对论，我们对宇宙的概念是基于它的。一般相对性基于一个时空的概念，或者更好的是时空问题，该概念与我们上面描述的牛顿相反。在爱因斯坦的理论中，时空是可变形的，其形状取决于物质的存在。从技术角度来看，时空是一个四维流形。我们可能会认为n维歧管是一组实际数字。时空的四维流形的空间部分是三维流形（一个人可以将其视为一组实数的三元组），当宇宙学家询问宇宙的形状时，他们会试图表征这一点三维流形。时空的曲率对应于引力，光线和其他材料颗粒遵循歧管中的大地测量学（最短路径）。通常，测量学的不同，取决于所考虑的空间的物质能量含量。球体表面的大地学（即二维表面）是大圆圈的一部分。在欧几里得平面中，它们是直线的段。四维流形有类似的概念。爱因斯坦的一般相对论方程式描述了宇宙的物质能量含量如何决定时空的几何形状。这些方程还产生宇宙学模型，必须通过经验观察来测试。这些方程式允许多种解决方案，正如亚历山大·弗里德曼（Alexander Friedmann，1924）所观察到的那样：“在没有其他假设的情况下，爱因斯坦的方程式不允许确定回答宇宙有限的问题”。让我们简要地解释本评论中的危险，通过指出曲率和拓扑的作用在相对论宇宙学中有限与无限性的问题。拓扑是根据是否可以“连续”转换为彼此的几何形状的分支，即它们可以“连续”，即不会导致割伤或泪水的转换。

1917年，爱因斯坦（Einstein）提出了一个静态有限的宇宙。有限性是由3个球员的选择（请参见第8.2.1节）和宇宙的静态性质，这是因为超球的半径没有随着时间而变化。随着Friedmann（1922-24）和Lemaître（1927），爱因斯坦的静态模型将被动态模型取代（以说明到1930年的经验证据，即到1930年，宇宙正在延伸，即大多数星系，银河系簇，，Galaxy Crusters，Galaxy Crusters，，Galaxy Crusters，，Galaxy Crusters，，Galaxy Crusters，，，Galaxy Crusters，，，Galaxy Crusters，，Galaxy Crusters，，，Galaxy Crusters，，，延伸等等，就像在气球被炸毁时，非充气气球上的斑点越来越分开了）。这样的模型也是爱因斯坦方程的可能解决方案之一，它们是所谓的“大爆炸”理论的来源。但是有限呢？宇宙的有限性或无限性不是由爱因斯坦方程式决定的，这允许这两种可能性。爱因斯坦（Einstein）在选择三球时，是出于保存马赫在惯性质量和惯性运动的假设方面的考虑。弗里德曼（Friedmann）和莱玛特（Lemaître）也选择了宇宙的有限性（我们不必了解他们这样做的原因）。他们的动力学模型假设物质在宇宙中的分布均匀分布，并且该空间是均匀和各向同性的。但是Friedmann-Lema-tre动力解决方案仍然可以实现各种各样的数学解决方案，并且不会解决有限的问题。我们对下面的观察结果仅限于此类模型。

在这种情况下，空间的特征是其曲率（被视为恒定）及其拓扑。让我们首先考虑曲率。在这些模型中，有三种可能的空间类型，具体取决于空间的曲率是负，无效还是阳性。与此类曲率相对应的空间称为双曲线，欧几里得和椭圆形。无论其拓扑是什么，球形空间（恒定的正弯曲）始终是有限的扩展。这至少部分解释了为什么许多早期的宇宙学家（包括爱因斯坦，de Sitter，Friedmann，Lemaître等）选择了这种解决方案。的确，由于隐含的空间拓扑是一种简单相关的拓扑（在简单连接的拓扑中（（在该假设下爱因斯坦（Einstein）在1917年引入的参数λ，称为宇宙常数（测量一种抗重物力量）。确定曲率（因此解决有限性与无穷大问题）仅取决于物质平均密度的临界值 - 因此，在这些假设下，可以确定可以确定的密度参数。实验空间。

λ的不同值导致宇宙演化的不同情况。使用λ=0，如果空间的曲率为负或无效，我们最终会以不断扩展的宇宙;如果空间的曲率为正，则扩展的阶段将是收缩，导致“大脆弱”。宇宙常数的其他值是可能的，如果λ＜0，无论空间的曲率是什么，都会发生“大键”。相比之下，如果λ＞0，则不会发生“大键”。新的实验证据（来自1A型超新星和化石辐射）似乎表明物质的平均密度和λ＞0的值。在这种情况下，宇宙将是有限的，同时仍保持永久加速扩张。

此外，最近的工作指出了考虑多重连接拓扑的重要性。与简单连接的拓扑发生的情况不同，曲率并不能立即确定空间的有限性或无穷大。实际上，根据与之相关的多重连接拓扑结构，有一些空曲率空间可能是有限的或无限的。这导致宇宙拓扑结构，该拓扑研究了整体空间的形状以及如何通过实验确定它。如果空间具有正曲率，则宇宙与与之相关的特定拓扑独立于有限。但是，如果曲率为负或无效，那么宇宙是否有限，将取决于拓扑。因此，确定宇宙是有限的还是无限的，不仅需要确定物质的平均密度（确定空间的曲率），还需要空间的拓扑。在实验上采用的两种主要技术来确定空间的拓扑结构是宇宙晶体学和天空方法中的圆圈（基于宇宙微波背景）。

有关宇宙拓扑的更多信息，请参见Luminet，Starkmann和Weeks（1999），Luminet和Lachièze-Rey（2005），Luminet（2005）（2005年）（English 2008）。另见Aguirre（2011）和Luminet（2015）。有关更多技术治疗，请参见Thurston（1997），Weeks（2001）和Hitchmann 2018。

9.结论

我们很清楚我们对无限的讨论是不完整的，但是这样的讨论也是如此。我们从一个有限空间中无限问题的无限问题进行平衡的覆盖范围是我们的安慰。

有更多在哲学上具有重要意义的悖论和拼图，这些悖论和难题以一种或另一种方式涉及无限。我们只给出了一个小样本。而且涉及无限的新悖论似乎以不断增长的速度出现（毫无疑问，这是一个事实可以造成的！）。但是，我们了解无限的工具也是如此。当然，我们不能对游戏状态进行确切的评估，但是我们概述的理论发展和我们引用的参考文献使我们保持乐观，总体而言，我们与无限的关系的前景是良好的：我们确实可以与它。

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