无限（七）

一些人发现这个结果非常令人不安，以至于他们支持条件概率的另一种解释，放弃总概率定律，转而坚持认为 P(A|B) 具有唯一的值，无论 B 的替代方案是什么。然而，这也带来了一些令人不快的后果。由于 P(A) 不再是 P(A|B) 的平均值，其中 B 涵盖分区的元素，这意味着存在一些分区，使得分区的每个元素与 A 正相关。此外，以这种方式生成的条件概率函数不再满足可数可加性（Kadane、Schervish 和 Seidenfeld 1996，Seidenfeld、Schervish 和 Kadane 2001、2013）。

但从德菲内蒂（de Finetti，1937、1972、1974）开始，有些人基于其他理由认为我们应该放弃可数可加性，而只接受有限可加性，并具有相应更广泛的概率分布类别。德菲内蒂的主要论点之一涉及无限彩票，每个自然数都恰好出现在一张彩票上。我们希望为每张彩票分配相同的抽奖概率。在可数可加性下，这是不可能的。因为如果我们为每个被选中的数字指定概率 0，那么所有这些概率的总和又为 0；然而所有这些事件的并集概率为 1（因为保证会选择某个数字），并且 1≠0。另一方面，如果我们为每个被选择的数字分配一些（实值）概率 ε＞0，那么这些概率的总和发散到 ∞，并且 1≠∞。然而，如果我们放弃可数可加性，那么我们可以将 0 分配给每个事件，将 1 分配给它们的并集，而不会有矛盾。

上帝彩票的补充，

我们探索了柯尔莫哥洛夫的另一种方法，即非阿基米德概率论（NAP），如何通过为每张彩票分配无穷小的概率来解释德菲内蒂的彩票。

然而，满足有限可加性而不满足可数可加性的概率函数在数学上比满足可数可加性的概率函数复杂得多。甚至要证明这样一个函数在可数状态集的子集代数上的存在性也需要选择公理。利用可数可加性，可以通过枚举可数多个状态的概率来指定离散概率函数，并且可以通过枚举可数多个有理开集的概率来指定连续概率函数。但是，如果仅假设有限可加性，则即使在可数状态空间上指定概率函数也可能需要指定不可数多个事件的概率，而不是根据可数多个状态概率计算这些事件的概率。此外，对于这样的概率函数，许多标准收敛结果（例如强大数定律）都会失败。

有关仅有限加性概率成立的无限概率空间的更多信息，请参见 Bartha (2004)、Bingham (2010)、de Finetti (1937/1989)、Dubins (1975)、Easwaran (2013b)、Hill and Lane (1985)、Howson (2008)，卡丹、谢尔维什和塞登菲尔德 (1986)，谢尔维什、塞登菲尔德和卡丹 (1984)，塞登菲尔德 (2001)，塞登菲尔德、谢尔维什和卡丹 (2014)。

一场激烈的争论涉及对可能被认为是可取的概率的进一步限制：任何可能的事情都应该被赋予正概率。这就是所谓的规律性：

规律性

如果 X 是 Ω 的非空子集，则 P(X)＞0。

人们对概率的思考似乎致力于规律性——“如果它的概率为零，它就不会发生！”，正如人们可能会说的那样。

我们在德菲内蒂的彩票中发现了一个明显违反规律的现象：他为每张彩票分配了 0。这里可以通过可数加性概率来保留规律性，但以均匀分布为代价 - 例如，

1

2

到票1，

1

4

, 到票 2,

1

8

到票 3，依此类推。可以证明，如果 F 不可数，则柯尔莫哥洛夫（实值）概率分布必定违反正则性。 （参见 Hájek 2003b。）这导致了家庭手工业的出现，探索是否可以通过允许概率函数的范围比实数更丰富的域来保留规律性。例如，Bernstein 和 Wattenberg (1969) 表明，对于我们之前想象的 [0, 1] 处的飞镖投掷，存在一个规则的超实值概率函数。每个着陆点都有无穷小的概率。 Williamson (2007) 认为，无限序列的公平硬币抛掷，所有正面落地的概率都必须为 0，而不是某个无穷小的概率； Howson（2019）对这一论点提出了质疑。支持和反对保留规律性的争论仍在继续，Easwaran (2014) 和 Pruss (2012, 2013b, 2014) 反对 Benci、Horsten 和 Wenmackers (2012, 2016)——提供 NAP 作为这样做的一种方式，再次分配无穷小的概率其中柯尔莫哥洛夫理论将分配 0。

对于涉及无限空间中概率的其他几个难题，请参阅 Arntzenius、Elga 和 Hawthorne (2004) 以及 Bartha 和 Hitchcock (1999)。有关哲学应用中的无穷小概率的更多信息，请参阅 Benci、Horsten 和 Wenmackers (2012, 2018)、Easwaran (2014)、Halpern (2010)、Hofweber (2014a, 2014b)、Howson (2018)、Kremer (2014)、Lauvers ( 2017)、Pruss (2012、2013、2014、2018a、2018b)、van Fraassen (1976)、Wenmackers 和 Horsten (2013)。

博弈论中也诉诸无穷小概率。例如，颤手完美均衡的概念假设游戏中的每个玩家都可能犯错误，概率为正但可以忽略不计，可以被视为无穷小——参见 Halpern 和 Moses (2017)。我们将看到无穷小概率在决策理论中的进一步应用，我们现在转向决策理论。

7. 决定

当你做出决定时，你的选择和世界的发展方式共同决定了一个结果，你为这个结果分配一个效用来衡量它对你来说有多理想。在确定性决策中，您可能执行的每项行动都有一个可能的结果。在这种情况下，您似乎应该简单地执行具有最大效用的操作。 （但是，请继续阅读！）在面临风险的决策中，您将概率分配给世界可能出现的各种方式 - 可能的状态。假设您可以执行多种操作 Ai，以及您为其分配概率 pj 的各种状态 Sj。它们共同决定了您向其分配实用程序 uij 的结果。经典决策理论认为，你应该最大化预期效用：你应该执行一个行动，最大化与该行动相关的效用的加权平均值，即你的概率给出的权重。正式地，你应该最大化

欧盟(艾)=

Σ

j

普胡伊杰

（我们忽略这里不相关的复杂性和变化——请参阅理性选择规范理论的条目：预期效用和决策理论。）

在标准情况下，假设

有有限多种可能的行动，

世界上有限多个国家，

还有那个

效用是有限的。

然而，我们可能会放弃这些假设中的每一个，从而在决策问题中产生三种不同的无限源。因此，我们将提出一些众所周知的问题，这些问题是在违反这些假设中的一个或多个时出现的。我们首先在确定的情况下做出决定。

7.1 无限多种可能的行动：更好的葡萄酒

波洛克（1983）提出了以下难题。你有一瓶Ever-better葡萄酒，它会随着陈年而不断改进：你打开得越晚，它就越好。你应该什么时候打开它？有一个很好的感觉，任何时间都太早了：稍微晚一点打开会更好。但最糟糕的选择是永远不打开它，为了避免这种情况，必须在某个时候打开它。这个决策问题有无数种可能的动作，但是我们可以通过添加瓶子只能在离散时间打开来轻松地使它们可数化——例如整点。你很乐意执行一个具有最大效用的动作，但这里没有这样的动作！这个问题展示了一个有趣的特征，Bartha、Barker 和 Hájek (2013) 称之为无穷大不连续性：“无限的选择序列，每个选择显然都受到看似合理的原则的认可，收敛......到一个‘极限选择’，其效用不同于并且典型远低于序列中选择的效用所接近的极限”（630）。他们的论文讨论了此功能的其他决策问题。有关此类现象的更多讨论，请参阅 Chow、Robbins 和 Siegmund (1971) 以及 Seidenfeld (1981)。

7.2 无限多个状态：圣彼得堡悖论

一枚公平的硬币被抛掷。如果正面朝上，您将获得 2 美元。如果出现反面，则进行第二次抛掷。如果出现正面，您将获得 4 美元。如果出现反面，则进行第三次抛硬币。如果出现正面，您将获得 8 美元。如果反面朝上，则进行第四次抛硬币。如此反复，直到硬币正面朝上。如果这需要 n 次抛掷，那么您将赢得 2n 美元。

您应该准备花多少钱来玩这个游戏？您有 1/2 的机会赢得 2 美元；以及 1/4 的机会赢得 4 美元；以及 1/8 的机会赢得 8 美元； ……；和 1/2n 的机会赢得 2n 美元；和 ... 。因此，玩圣彼得堡游戏的预期收益是无限的：

（

1

2

×2) +(

1

4

×4)+(

1

8

×8)+⋯+(

1

2n

×2n)+⋯

=1+1+1+⋯

如果我们确定通过公用事业赢得的美元，那么该游戏具有无限的预期效用。

决策理论似乎表明，你应该准备好支付任何有限的金额来玩这个游戏。但大多数人认为这很疯狂；事实上，大多数人只愿意花几美元来玩（Neugebauer 2010）。决策理论似乎表明，您应该准备好为任何有限彩票中的彩票支付任何有限的金额，其收益是该游戏的单次投注。这看起来可能真的很疯狂。

你可能会反对说，随着你获得的货币越多，货币的效用就会降低：如果这种下降的速度足够大，那么玩游戏的预期价值就是有限的。丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）认为，效用取决于货币数量的对数，实际上，用对数代替美元数量会产生有限的预期效用。然而，我们可以从公用事业本身的角度重述这个故事。我们可以通过收益价值的超指数增长来重述它：取对数然后给我们准确的原始预期效用。 （参见Menger 1967/1934。）事实上，只要效用是无限的，我们就可以设计出具有无限预期效用的游戏版本。

因此，您可能会反对实用程序是有限的。 （参见例如 Hardin 1982。）然而，无限量比比皆是——长度、体积、质量、曲率、温度等等。为什么实用性在这方面与它们不同？此外，人们可能会想象一个情况下，公用事业与另一个数量密切相关的情况（例如，您远离某个不良位置，越好，越好 - 越好 - 无限制的功能可能会链接它们。此外，正如我们已经指出的那样，概率理论已经以无限的程度进行了。我们需要一个有原则的理由，为什么应该避开这种无限。 （有关进一步的讨论，请参见Nover和Hájek2004。）也许无限地重视圣彼得堡比赛并不疯狂。毕竟，它主导了游戏的每个截断，如果在n次试验后没有出现头部（对于每个N）：圣彼得堡游戏的结果在有限的许多州中同样好，并且在无限的许多州中都更好。因此，通常，它应该优于游戏的所有这些截断（Hájekand Nover 2006，2008） - 对于每个n，它的需求大于n。

有关圣彼得堡游戏的进一步讨论，请参见：例如：萨缪尔森（1977），杰弗里（1983），威利希（1984），Cowen and High（1988），Jordan（1994），Chalmers，Chalmers（2002），Peters（Peters），Peters（2011年）（2011年） ）和圣彼得堡悖论的入口。

帕萨迪纳游戏（Pasadena Game）出现了相关但不同的问题，这是一款类似于圣彼得堡的游戏，预期的回报显然是不确定的（而不是无限）。然后，看来决策理论对游戏的价值保持沉默。然而，关于游戏的各种选择似乎是理性的，例如。更喜欢游戏加上$ 1的游戏本身。有关进一步的讨论，请参见例如Nover andHájek（2004），Hájek和Nover（2006，2008），Hájek（2014），Easwaran（2008），Bartha（2016）以及Colyvan和Colyvan和Hájek（2016）。

7.3无限效用：帕斯卡赌注

在圣彼得堡比赛中，每个可能的回报都是有限的。这是预期效用公式将它们平均的方式产生了无限。现在，我们转向一个经典的决策问题，其中可能的回报本身是无限的。

帕斯卡（Pascal）坚持认为，我们不知道上帝是否存在，但他认为我们可以解决是否要“为上帝下注”的决策问题 - 一定要培养对上帝的信仰。有两种可用的行动路线：为上帝赌博，或者不为上帝赌。世界上有两个相关的可能状态：上帝存在，否则上帝不存在。上帝存在的可能性是p，而上帝不存在的可能性是1 -p。如果上帝的存在 - 永远存在 - 为上帝的效用是无限的。所有其他公用事业（在某些有限持续时间的尘世生活中）都是有限的。我们可以按照以下方式制定由此产生的决策表：

上帝存在不存在

概率：p 1 -p

为上帝∞f1的赌注

对上帝F2 F3的下注

现在，我们可以进行预期的公用事业计算：

为上帝投注的预期效用是

p·∞+（1 -p）芭来=∞。

未能为上帝下注的预期效用是

p·f2+（1 -p）芭来=有限值。

为了最大程度地提高预期效用，应该为上帝赌。

在帕斯卡尔（Pascal）的下注中已经提出的众多异议中，有几个重点是“∞”在论证中扮演的角色。公用事业可以是无限的吗？有大量文献认为我们的决策规则可能会扩展，并可能修改决策问题的框架。但是，迄今为止，没有广泛接受的帕斯卡（Pascal）下注的替代表述，可以避免所有这些困难，这些困难集中在“∞”中所起的作用。而且，一旦无限公用事业计数，似乎我们也应该对无限概率开放。但是，有一个前景是，当预期的公式中，无限的实用程序和无限概率乘以时，该产品可能是有限的数字。为上帝的下注仍会最大化预期的效用吗？这些问题以及更多的问题在帕斯卡尔的下注中进行了讨论。

有关Pascal赌注中无限疗法的进一步讨论，请参见：Duff（1986），Oppy（1991，2018），Hájek（2003a，2018），Bartha（2007，2018），Bartha和Pasternack（2018），2018年），，，2018年，，，2018年，，PASTERNACK（2018），，，蒙顿（2011）和温马克（2018）。

7.4无限的效用流

到目前为止，我们一直在考虑一个人的回报，即一次“命中”：奖励（或惩罚）一次。但是，我们还可以考虑在不同的无限效用流中进行选择的案例，例如，在无限的未来中积累的有限每日公用事业流。有一个明显的候选人可以评估有限流的实用程序：沿流沿流程添加实用程序。但是，当我们有无限的流时，这种方法不可用。我们需要其他原则来帮助我们评估此类流，而且这些原则应该是什么。

假设在天堂度过的一天有公用事业1，而在地狱中度过的一天有-1。进一步假设，在天堂的所有n，n天都有实用性n，而在地狱中的n天有效用-n。最后，假设，对于所有的M和N，天堂和n天的M天组合都有效用M -N。

以下是一些候选原则，用于比较未来的替代实用程序：

人们应该更喜欢可能的未来实用程序，具有最大的总实用程序（如果有）。

如果将来有多个可能的公用事业流具有不同的效用，即这样一来，随着天数的增加，流的总实用性会收敛的有限值 - 一个人应该更喜欢偏置的局部总和占主导地位（如果有一个）的发散效用流。这意味着，在某些日子里，到那天的实用性总和比其他任何流都要大，而且在没有日子里，到那天的实用性之和比其他一些流的总和要小。

如果未来的实用流有不同的效用，则应该在彼此排列的不同未来效用流之间无动于衷。

考虑以下两个无限实用流之间的选择：

天堂的无限天数。

在天堂中，无限的天数在地狱中有有限的天数。

原理2正确地说，我们应该更喜欢（a）而不是（b）。

但是，考虑以下两个选项之间的选择：

无限的交替日子，首先在天堂，然后是地狱。

无限的交替日子，首先在地狱，然后在天堂。

原理2说，大概是错误的，我们应该更喜欢（c）而不是（d）。

现在考虑以下两个选项之间的选择：

无限的交替日子，首先在天堂，然后是地狱。

无限的交替日子，第一个在天堂，一个在地狱中，然后在天堂，一个在地狱中，然后在天上三个，一个在地狱中，依此类推。

虽然原理3说（也许）正确地说我们应该在（c）和（d）之间漠不关心，但（肯定）不正确地说，我们应该在（e）和（f）之间无动于衷。

面对这些困难，您可能会考虑削弱原则：

如果将来有多个可能的公用事业流具有不同的效用，则希望逐步主导的不同可能的未来实用程序（如果有）。

如果将来有多个可能的实用程序具有不同的效用，请保持彼此有限排列的不同未来效用流之间的漠不关心（即，可以通过在相邻步骤上有限的许多交流来互相衍生而来）。

但是，在（e）和（f）的情况下，这对原理没有任何判决，因此不会产生一套完整的原则。

更一般而言，很难在无限实用流中进行选择规则。确实，经济学文献中存在一些不可能的结果，这表明没有完全令人满意的理论来占其。

有关无限效用流的进一步讨论，请参见：例如：Segerberg（1976），Jeffrey（1983），Nelson（1991），Vallentyne（1993，1994，1995），Cain（1995），NG（1995），NG（1995），van Liedekerke（van Liedekerke（ 1995年），劳威斯（1997a，1997b，1997c，1997d），Vallentyne和Kagan（1997），Basu和Mitra（2003），Crespo，Nuñez和Rincou-Zapatero（2009），Bartha，Bartha，Barker和Barker和Hájek（2014）（2014）（2014）（2014）（2014） Jonsson和Voorneveld（2015）。

这些决定中的每一个问题都在其袖子上磨损其无限的范围：很明显，有许多可能的动作，无限的许多状态，无限的效用或无限的实用性流。但是，在某些问题中，这种无限的速度并没有预见，但是它仍然存在。两层悖论就是一个问题。

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