无限（六）

这样的结果表明，即使是诸如PA之类的算术理论也可以表达数学意义的陈述（与为逻辑目的炮制的陈述相反），即使可以纯粹地划出算术，也需要在无限的情况下进行一些绕道。与算术相反，Gödel和Cohen表明了集合理论的数学不完整性，例如选择的公理，连续假设等。理论探讨了无限在证明有限的结果中的神秘作用。可以说，固定理论家主要关注理解Zermelo-Fraenkel的可证明的数学不完整性（有选择，即ZFC）设定理论，这是Gödeland Cohen结果的结果，可以通过找到新的原理来解决新的原理，这些原则可以解决。将允许我们解决与实际数字结构有关的一些最紧迫的问题。换句话说，由于ZFC不能被视为无限数学的充分基础，许多当代集合理论试图通过找到新的原则来解决问题，而新原则通常采用假设存在非常大的红衣主教的形式（请参阅参见进入独立和大型红衣主教）。希望这项工作将导致解决有关集合的连续性假设和其他主要问题（关于射影集，请参见集合理论的条目）。

递归理论家还试图了解无限原则或紧凑性论证在我们确定有限结果中所发挥的作用。和证明理论家想知道何时可以通过限制手段证明某些无限理论是合理的。显然，对这些发展的更精确的描述远远超出了我们在这里可以前提的技术知识。

大多数工作的数学家不必担心无限大型集和其他物体的存在。关于特定的无限集，与选择的公理有关，还有一些本体论的担忧，以及上面关于Cantor的部分中提到的一些较大的红衣主教。但是，在是否存在身体无限的背景下，出现了更大的担忧。

有关经典基础立场的来源的收集（有限主义，直觉主义，预性主义），请参见Van Heijenoort（1967），Ewald（1996）和Mancosu（1998）。关于有限主义和直觉主义，请参见希尔伯特（Hilbert）在数学中的计划和直觉主义。关于预期性，请参见Feferman（2005）。关于巴黎 - 哈灵顿，请参见Katz and Reimann 2018；在Goodstein的定理上，请参阅Stillwell（2010）中的友好演讲。

Stillwell (2010) 也有一章讨论大红衣主教；有关最新方向，请参阅 Woodin (2011) 和 Steel (2015)。关于递归理论中有限和无限之间的相互作用，请参见 Hirschfeldt (2015)。

5.失去天堂？ 涉及无数的悖论和谜题

本文的后半部分将探讨无穷大数学概念在概率、决策和时空理论中的选定应用，以及一些相关的悖论。在我们转向这些理论之前，我们先了解一些将数学、形而上学可能性和物理可能性联系起来的悖论和谜题。我们可能在本节中包含了许多不同的悖论和谜题。我们考虑了一小部分悖论和谜题，例如： Pruss (2018a)——认为可能会促使人们回归亚里士多德关于实际无限不可能性的观点。

在

对安扎里反对意见的补充，

我们讨论由安扎里造成的一个具有历史意义的谜题。有关更多信息，请参阅例如 Rucker (1982)、Moore (1990/2019)、Oppy (2006) 和 Huemer (2016)。

5.1 希尔伯特酒店

希尔伯特酒店有无数个房间，标记为 1、2、3……，每个房间当前都住着一位客人。尽管酒店已经住满了，但接待处出现的新客人很容易被容纳：对于每个 n，房间 n 的客人被转移到房间 n+1，而新客人被安置在房间 1。 ，尽管酒店已经住满了，但它可以容纳无限多的新客人：对于每n个房间，n号房间的客人被移到2n号房间，新客人被安置在奇数号房间。当然，如果奇数房间的无限多人退房，希尔伯特酒店就剩下无限多人；但如果有无限多的人从除了前三个房间之外的所有房间退房，那么就只剩下三个人了。

一些哲学家认为希尔伯特旅馆支持了反对物理上实现的无穷大的可能性的论点：

如果物理上可以实现无限，那么就可能有一家拥有无限多个房间的酒店。

但如果有一家拥有无限多个房间的旅馆，那么上一段描述的事件就可能发生。

但假设上一段描述的事件可能发生是荒谬的。

因此，不可能存在物理上实现的无穷大。 （参见克雷格（Craig，1979）。）

这一论点面临着各种挑战，具体取决于人们对物理可能性的看法。第一个前提可能会受到挑战：也许某些类型的物理无限可以实现，尽管其他类型的物理无限不能实现：例如，尽管不可能有一个拥有无限多个房间的酒店，但也许可以有无限多个星星。第二个前提也可能受到挑战：即使有一家拥有无限多个房间的酒店，也许故事中描述的事件也不会发生——故事是在高度抽象的基础上讲述的，细节可能很重要。第三个前提也值得怀疑：假设可能有一个无限的酒店，客人以所描述的方式来来去去，这显然并不荒谬。

伽莫夫（Gamow，1946）首次公开讨论希尔伯特旅馆，他引用了希尔伯特和库朗早期未发表的讲座。伽莫夫对阿莱夫数的讨论（见第 3.3 节）错误地假设连续统假说已经成立。有关希尔伯特旅馆的进一步讨论，请参阅 Huby (1971)、Rucker (1982)、Moore (1990/2019)、Oppy (2006)、Kragh (2014)、Huemer (2016) 以及有关超级任务、宇宙学和神学的条目。

5.2 汤姆逊灯

假设我们有一盏灯和一种关闭和打开灯的方法。假设灯最初是关闭的。在第一分钟，我们将灯的状态从关闭更改为打开。在接下来的半分钟内，我们将灯的状态从打开更改为关闭。 …在接下来的 1/2n 分钟内，我们将灯的状态更改为其他状态…。请我们回答的问题是：第二分钟结束时灯的状​​态是什么？

该场景描述不足。我们可以想象，关闭和打开灯的方法需要一个时空位置，在该时空位置上至少有一个物理量是无限的。如果是这样，那么可以说这种情况是不可能的：不可能有这样的灯，因此没有问题需要回答。例如，假设有一个开关来回移动相同的距离来打开和关闭灯。考虑第二分钟结束时开关尖端移动的速度。

我们还可以想象，关灯和开灯的方式并不涉及任何时空位置，在该时空位置上至少有一个物理量是无限的； Grünbaum (1968) 描述了一个符合此规范的场景。在这种情况下，关灯和开灯的手段在两分钟结束时收敛到指定状态，并且存在位于指定状态的细节中的问题的答案。但这个答案并没有被我们最初给出的简短描述所确定，正如 Benacerraf (1962) 所说：我们可以在两分钟结束时打开灯，也可以在两分钟结束时关闭灯，具体取决于细节Grünbaum 提案的实施情况。 Huemer (2016: 198–201) 指出，如果我们保持足够固定的物理学，那么，在两分钟结束之前，该机制的激活将停止改变灯的状态。因此，根据您对可能性范围的看法，即使不存在至少一个物理量为无限的时空位置，您也可能认为这是不可能的。

汤姆森的灯是超级任务的一个例子（汤姆森创造了这个术语）：一个涉及在有限时间内完成无限多个步骤的过程。诀窍在于，这些步骤是在越来越短的时间内完成的，对应于一个收敛级数。灯是许多作者认为自相矛盾的超级任务的例子之一，而其他作者则没有那么烦恼。请参阅有关超级任务的条目。

有关汤姆逊灯的进一步讨论，请参阅：Thomson (1954, 1967)、Benacerraf (1962)、Chihara (1965)、Grünbaum (1968, 1973)、Craig (1979)、Berresford (1981)、Moore (1990/2019)、 Earman 和 Norton (1996)、McLaughlin (1998)、Oppy (2006)、Huemer (2016) 和 Pruss (2018a)。

5.3 瘫痪

假设阿喀琉斯想从 A 跑到 B，但有无数个神，彼此之间和阿喀琉斯都不知道，每个神都有理由阻止他到达 B。神 1 决定，如果阿喀琉斯跑到一半，他就会立即瘫痪A 和 B 之间。上帝 2 决定，当阿基里斯到达从 A 到 B 的四分之一路程时，立即使他瘫痪。……上帝 n 决定，当他到达从 A 到 B 的路程 1/2n 时，立即使阿基里斯瘫痪……既然众神都能够按照自己的决心行事，阿喀琉斯就无法动弹：因为如果他动了，他就会违背无数神祇的意图。但是，在他行动之前，诸神都不会按照自己的意图行事。那么到底是什么阻止了他前进呢？假设某人可以通过一系列嵌套的条件意图而无人行动，这不是很荒谬吗？

相反，假设每个神都建立了一个力场，以与前一个情况平行的方式放置，阿喀琉斯不可能穿越。然后阿喀琉斯就完全动弹不得了。假设无数的神有可能以所描述的方式共同创造这样一个力场，那么阿喀琉斯无法移动就有一个简单的解释。当然，考虑到这一假设，没有哪个上帝的力场能够使阿喀琉斯动弹不得。事实上，不存在有限的众神集合，其集体力场可以做到这一点；确实，根本没有任何力场触及他。这可能吗？ 对于有条件意图的情况，想必人们应该得出与本案相同的结论。

根据您对可能性范围的看法，这个故事中有很多内容您可能认为是不可能的。你可能认为不可能有神能按要求行事，那是不可能的。例如，根据您对众神的概念及其行为，您可能会认为这个故事需要远距离的瞬时动作。你可能会认为力场不可能以无限的精确度定位。等等。但是，如果设置中没有任何东西让你犹豫，并且如果设置的进一步细化没有引入任何奇点，那么看来你应该平静地接受结论：阿喀琉斯因没有人采取行动的有条件意图，或者由他没有直接接触的一组力场而变得一动不动。离奇的反事实情况会产生离奇的后果。

有关此案例的进一步讨论，请参阅：Benardete (1964，介绍了它)、Moore (1990/2019)、Priest (1999)、Hawthorne (2000)、Perez-Laraudogoitia (2000、2003)、Yablo (2000)、Oppy (2006)、昆斯 (2014) 和休默 (2016)、凯伊 (2018)。

我们开始发现，无穷大似乎既是朋友又是敌人——它不仅体现在强大的数学中，也体现在一些令人烦恼的难题中。我们将在下面有关概率、决策论以及空间和时间的章节中更多地看到它的摩尼教本质。我们还将看到如何开发复杂的回收方法。

6. 概率

概率论在有限领域中运行得相对顺利，但当无限领域出现时，难题就会出现。无限性有多种来源，既出现在数学中，也出现在概率的解释中。我们将首先更非正式地讨论这些来源，然后再讨论更高级的问题。

6.1 概率数学中的无穷性：基础知识

让我们从数学开始。概率论假设我们有一组“可能性”或“结果”，称为样本空间，被视为世界可能的方式，或随机实验的可能结果。出于许多目的，假设有一个无限集。例如，我们可能会反复抛一枚硬币，并对需要抛多少次才能看到第一个正面感兴趣。该数字可以是 1、或 2、或 3、或……这里，样本空间是可数的。或者我们可以考虑从实线的 [0, 1] 区间中随机选取一个点，例如，我们可以想象向该区间的表示扔一个理想化的飞镖，并考虑它落在的点。这里，样本空间是不可数的，因为它是无限可分的并且有序列的限制，但是有界。或者我们可能会考虑对受正态分布控制的数量进行采样，即用于对现实世界中的各种数量进行建模的钟形分布。在这里，无穷大进入了两次：样本空间既不可数又无界，是整条实数线。

正统概率论将 0 到 1（含）之间的实数分配给样本空间的子集，我们再次遇到无穷大：有无数可能的概率值。我们很快就会看到我们如何以这些值相加的方式再次遇到它。

6.2 概率解释的无限性

无限的考虑也进入了对概率的某些解释——试图解释什么是概率以及概率陈述的含义。 （有关以下内容的更多详细信息，请参阅概率解释条目。）假设频率论将概率视为假设无限试验序列中的限制相对频率。例如，我们可能会反复抛硬币，产生一系列结果——例如

头，尾，头，头，尾，尾，尾，头，……

我们可以在每次尝试后跟踪迄今为止正面朝上的相对频率：正面朝上的次数与抛掷总数的比率。在我们的例子中，相对频率的序列是

1

1

,

1

2

,

2

3

,

3

4

,

3

5

,

3

6

,

3

7

,

4

8

,…

然后我们可以想象这个序列无限延伸，并用这个序列的极限来确定正面的概率。然而，如果存在无限多个头和无限多个尾，则可以以一种或另一种方式对完全相同的结果进行重新排序，以生成 [0, 1] 中的任何限制相对频率。无限在这里露出了丑陋的头——对于有限序列，重新排序对其结果的相对频率没有影响。

根据波普尔的倾向解释，某种类型结果的概率 p 是可重复实验以有限的相对频率 p 产生该类型结果的倾向。同样，无限性是这种解释的核心，它丑陋的头颅抬起来，就像假设的频率论一样。如果宇宙中存在无限多个特定类型的事件（例如，无限多次抛硬币），与 Lewis（1994）和其他人相关的概率的最佳系统解释也会出现问题。正如埃尔加（Elga，2004）所表明的那样，这种解释的中心概念“拟合”受到了损害。甚至理想化理性主体的主观概率也有隐含的无限假设——例如，主体在逻辑上是无所不知的，他们的概率分配是无限尖锐的（单个实数）。这些假设也被认为是有问题的，尤其是在对与我们类似的代理人进行建模时。

6.3 概率数学中的无限：更高级的问题

为了阐明概率数学产生的一些棘手难题，我们需要更正式的表述。柯尔莫哥洛夫 (Kolmogorov) (1933/1950) 的公理化始于有限集 Ω 和 Ω 子集的代数 F：在补集和并集下闭合的集合。 Ω 的成员称为状态，而 F 的成员称为事件。概率函数是从 F 到实数的函数。它是非负的，将 1 分配给 Ω，并且它是（有限）相加的 — 两个互斥事件之一发生的概率是它们各自概率的总和：

有限可加性

如果 A 和 B 是 F 中的不相交集合，则 P(A∪B)=P(A)+P(B)。

柯尔莫哥洛夫继续将其推广到无限 Ω 和 Ω 子集的西格玛代数 F：在补集和可数并集下封闭的集合。可加性得到加强，在无限情况下也成立：

可数可加性

如果 {Ai} 是（成对）不相交集合的可数无限集合，每个集合都在 F 中，则

P(

无穷大

⋃

n=1

安）=

无穷大

Σ

n=1

平底锅）

有些人认为将可加性限制为仅可数和是任意的，并且仅仅是 3.2 节中介绍的求和技术的产物。对无限组非负数求和的另一种技术利用了这样一个事实：前面定义的非负数之和不依赖于项的顺序。我们考虑该集合的任意有限子集的所有部分和的集合，并取该集合的最小上界来表示该集合作为整体的和。如果这个和是某个正的有限值 k，那么我们可以看到被求和的集合中最多 nk 个项可以大于 1/n。由于对于某个 n，每个正实数都大于 1/n，这意味着该集合的正元素集合是有限集合的可数并集，因此必须是可数的。也就是说，如果以这种方式求和的集合具有不可数个非零元素，则总和必定是无穷大。

因此，如果我们需要完全（无限制）可加性，而不仅仅是可数可加性，那么我们可以看到至多可数多个事件具有正概率，并且它们的概率总和为 1。具有这些特征的概率分布，其中概率为 0 的事件有被删除的分布称为离散分布（例如泊松分布、几何分布或负二项分布）。对于这样的分布，各个状态的概率通过使用可加性来确定所有事件的概率。

然而，概率的许多应用需要所谓的连续分布（例如均匀/矩形、正态和 beta 分布），因此需要对可数可加性的限制。在连续分布中，有无数个状态，通常用实数命名。每个单独状态的概率为 0，尽管包含无数个状态的事件通常具有非零概率。 （这违反了完全可加性。）但是，在常见的连续分布中，通常有一种方法来定义每个状态的概率密度，这样任何事件的概率都是组成它的状态的密度的积分。在有限和离散分布中，标准是将概率为 0 的事件视为不发生，而在连续分布中，总会有一些概率为 0 的事件发生。

对于有限和离散分布，条件概率的概念有一个简单的定义。对于任意两个事件 A 和 B，如果 B 的概率非零且未定义，则 A 以 B 为条件的概率记为 P(A∣B)，定义为 P(A&B)/P(B)对于任意固定的B，函数P(_∣B)是同一空间上的另一个概率函数。我们可以证明全概率定律。如果 B1,B2,B3,... 形成一个分区（即每个结果都恰好在 Bi 之一中），则：

P(A)=

Σ

我

P(Bi)P(A∣Bi)。

这告诉我们，无条件概率 P(A) 是条件概率 P(A∣Bi) 的加权平均值。

然而，对于不离散的分布，使得状态集在本质上是不可数的，并且概率为 0 的事件经常发生，我们不能使用条件概率的比率定义，因为它涉及除以 0。然而，柯尔莫哥洛夫指出（1933/1950，第 5 章），对于任何合适的划分，仍然可以根据该划分中的事件提出条件概率的定义，满足总概率定律的推广，将总和替换为积分：

P(A)=∫P(A∣B)dP(B)

（找到满足这个积分公式的条件概率的可能性被称为“可分解性”，它相当于一个被称为“聚合性”的原理。有关支持这一点的哲学论据，请参阅 Easwaran (2013b, 2019), Rescorla ( 2018）。）有关确定何时存在满足此规则的条件概率的更多信息，请参阅 Hoffmann-Jørgensen (1971)，有关如何使用概率密度来计算这些条件概率的更多信息，请参阅 Chang 和 Pollard (1997)。

然而，这种条件概率的解释存在一些困难。柯尔莫哥洛夫指出，如果原始概率空间是球面上点的均匀分布，并且如果 B 的范围在经度集（穿过极点的大圆）上，那么以经度线为条件的概率将不是均匀的，而是将集中在赤道附近。 （这一事实被称为“博雷尔悖论”，因为埃米尔·博雷尔甚至在柯尔莫哥洛夫的工作之前就对其进行了研究。）由于球体上的每个大圆都可以被视为具有适当选择的极点的一条经线，这使得概率成为条件对一个事件的评价不仅取决于选择了哪个事件，还取决于它与哪个替代方案系列进行对比。 （我们可以将每个大圆视为穿过多个不同极点的纵向线，每个极点对于赤道的位置都不一致。）

一些人发现这个结果非常令人不安，以至于他们支持条件概率的另一种解释，放弃总概率定律，转而坚持认为

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