无限（五）

重要的是，由于其构建中使用的逻辑技术，鲁滨逊的系统的行为与在加法和乘法的代数语言中表达的任何句子的标准有限实数完全相同。因此，除0以外的每个数字都具有乘法逆，如果x＞y，则具有1/y＞1/x。特别是，这意味着如果ϵ是一个无限的数字，那么1/ϵ是无限的数字！与第3.3节中的cantorian无限计数不同，这些无限数量受到减法和划分以及加法和乘法的约束，与第3.2节扩展的实线的无限率不同，它们的行为与有限数量一样，相对于有限的数字，他们。例如，诸如标准实数之类的陈述以及新的无限小且无限的陈述：

x+y = y+x（加法的交换性）;

x·y = y·x（乘法的交换性）;

x（y+z）= xy+xz（乘法的乘法分布率）。

实际上，鲁滨逊的超核心满足“转移原理” - 如果陈述完全是在真实的一阶语言中表达的，那么当且仅当它们对超级现实而言是正确的情况下，它们才是正确的。因此，一个系统中这种定理的任何证明都可以转移到另一个系统中。有时，这大大简化了定理的计算和证明。

将数量的限制（（（x+h）3 − x3）/h当h接近0。在标准元中，以表明这是3x2，我们需要证明每一个to to to to to to to for Avery. h的任何值小于δ，此函数的相应值远小于3x2。在这种情况下，事实证明，当x足够大时，选择Δ＜ϵ/4x可以工作，并且当x足够小时，选择Δ＜ϵ工作起作用，但是弄清楚这些选择很困难。

但是，对于超大型人来说，只要H是无限的，就足以证明该值在无限的接近3x2上。

（X+H）3 -X3

小时

=

X3+3x2H+3xH2+H3 -X3

小时

= 3x2+3xH+H2，

对于任何实际x，每当h无限时，3xH+h2都是无限的。这种真实的ϵ有一些实际δ可以工作，我们不再需要担心如何找到它的细节。因此，我们可以验证牛顿和莱布尼兹的推理，从而使他们可以将无限量视为非零的计算，直到我们达到最终结果，然后在最后将它们视为零。它们的工作真的就像伯克利讽刺的“已故数量的鬼魂”！ （鲁滨逊的系统对莱布尼兹和牛顿的辩护的程度是鲁滨逊和其他人在文章中进行扩展讨论的主题。有关这场辩论的经典来源，请参见Bos（1974）。）

为了用一阶逻辑语言说明的结果，超大和标准真实的转移原理满足了。但是对于集合的结果，它们的行为有所不同。每一组有界的标准实数都具有最小的上限。但是，例如，一组无穷小的超旧建筑有限（每个成员都小于.00001，除其他范围），但不太重要的是上限（没有无限的小节是所有其他人的上限，并且每个有限大的大型大小上限可以减少一些无限量，从而给出一个较小的量）。爱德华·尼尔森（Edward Nelson，1977）开创了一种替代方法 - 内部集合理论 - 数学的基本语言得到丰富，以便我们区分标准和非标准的实数以及“内部”和“外部”和“外部”集合。在尼尔森的方法上，无限量的无标准实数，绝对值的绝对值小于任何积极的标准实数。 “内部集合”是可以用基本语言定义的那些，并且它们的行为与标准真实的标准集相同，例如，有限的内部集合总是具有最小的上限。但是，与所有标准实数的集合一样，所有无限量的集合都是该理论的“外部集合”，无法在语言中定义，因此不一定具有最少的上限。

鲁滨逊和尼尔森开创的方法不允许我们证明使用标准实际分析无法证明的标准实数结果。但是，这些方法确实提供了许多标准真实分析定理的更简单，并且从某种意义上说，更直观。 （关于非标准分析的教学益处，请参见Keisler（1976））。并且有一些实际分析结果的情况首先是使用非标准的真实分析证明的（例如，参见Bernstein和Robinson（1966）。）此外，这些方法清楚地表明我们不需要采用ϵ-δ限制概念的形式化，以便能够完全严格的真实分析的发展。

关于非标准分析的文献非常丰富。有关罗宾逊的传记，请参见Dauben（1995），其中特别强调了非标准分析。另请参见Goldblatt（1998），有关最近的数学发展，有关最近的正式介绍和Cutland，Di Nasso和Ross（2006）。读者被称为这些卷中包含的广泛书目，以供进一步参考。

非标准分析的一种有趣的替代方法，它允许开发数学的实质性部分，以（平滑）无限分析的名称。这与普通分析和非标准分析不同，通过允许nilpotent InfiniteSimals，即“ Linelets” DX，因此DX≠0，但DX·DX = 0。这种理论的一致性是使用类别理论中的posise证明的。该主题的最佳论述是Bell（1998b）（另见Bell 1988a，2019年）； Hellman and Shapiro（2018）讨论了该理论的哲学方面。 Arthur（2013）讨论了与Leibniz相关的无限分析，并提出了与Bos（1974）在Leibniz和非标准分析上相似的观点。 Salanskis（1999）在非标准分析中进行了建设性解释，其中包括讨论纳尔逊的方法以及法国非标准分析学院（Reeb，Harthong）。有关无限量的进一步讨论，请参见Davis（1977），Thomason（1982），Bell（2005）以及有关连续性和无限量的条目。

3.4.3超现实数字

Dedekind展示了如何填补理性数字之间的空白；康托尔（Cantor）展示了如何将（序数和基数）数字扩展到现有有限数字之外。约翰·康威（John Conway）（1976）整合了这两个想法。他开发了一个截然不同的系统，该系统概括了冯·诺伊曼（Von Neumann）对康托尔（Cantor）的序言的代表以及Dedekind对实数的代表，以产生一个更大的领域，该领域已被称为“超现实数字”。它包含每个序数和基本数字的副本，同时定义工作的操作，例如加法，减法，乘法，除法，指数，并且根部在标准实数上进行。特别是，即使是无限和无限的超现实数字也适合这些操作。因此，除了熟悉的数字外，我们现在有诸如

√

ω

，ω/2，−Ω，1/ω，−ωΩ，依此类推。确实，正如Ehrlich（2001，2012）所观察到的那样，超现实数字可能被认为包括“所有数字和小数字”！显然可以在没有直接使用超旧现象的方式的情况下使用超现实数字，例如在第7.3节中讨论的帕斯卡尔的下注，请参见Hájek（2003a）。

由于超现实数字的字段包含所有序数的副本，因此它太大而无法形成集合。但是，由于操作的行为就像对标准真实的操作一样，因此这些序列的这些副本并不代表计数。

关于建造超现实数字的补充

有关Conway建设的摘要。 Knuth（1974）和Gonshor（1986）在更多的介绍性文本中进行了相同结构的其他结构。

3.5 总结

让我们盘点。为了应对数学无限态的担忧是可疑的（第2节），已经开发了严格的无限数学理论（本节）。但是，人们可能会担心，即使我们可以与数学上的严格讨论无限，它们也不对应或适用于现实世界中的任何事物（正如我们认为有限的数量所做的那样，但是它们确实如此）。无限可能只是天空中的城堡。此外，人们可能会怀疑，通过进一步的数学发展，我们可以删除任何实际重要数学中对无限态度的任何参考。以下一节将这种辩证法置于有关数学本体论的一般问题的背景下，从而消除了一些重要的历史尝试，以消除数学中的无限。然后，它解释了任何此类尝试面临的非常困难的（也许是无法克服的）。

4.数学本体

关于本体论的理论过程中，关于无限的各种问题自然出现。如果存在数学对象，是否存在无限的对象？除了无限的单个有限数字外，是否存在如上所述的单个无限对象？本文将不会直接讨论是否存在数学对象的问题以及在什么意义上。相反，我们将重点介绍上述讨论是否与有限整数相同的问题。有关数学存在的一般问题的更多信息，请参见有关：逻辑和本体论，数学哲学，数学哲学哲学，数学哲学中的柏拉图主义，数学哲学中的名义主义，数学哲学中的虚构主义，自然主义哲学的哲学， ，以及逻辑和新学。

数学哲学中的大多数观点都接受了迄今为止提到的所有有限和无限对象的存在，就像他们接受有限整数的存在一样。 （柏拉图主义者可能会接受这是字面上的存在，而虚构主义者则认为这是某种虚构的存在，而其他人可能对这意味着什么有不同的想法。）标准设定理论可以证明所有这些对象的存在，对于大多数数学家而言，和哲学家，这就是所需要的。关于数学的逻辑学家和新学家的描述可能会通过明确的假定（如Whitehead和Russell的Principia Mathematica中的Infinity和Russel的原理）（例如Hume的原则原理）（例如Hume的原理关于苏格兰新学，参见Hale and Wright 2001，Heck 1997，2011）。尽管无穷大的公理很容易说明和理解，但休ume的原理具有奇特的形式，因为它假定了一个函数＃的存在，该函数＃在概念之间将概念发送到对象的同时尊重等价关系≈≈。正式说明如下：

∀B∀C＃b =＃c iffb≈c

其中B≈C对于表达等效关系的纯二阶逻辑的许多等效公式之一是短手，“落在B之下的对象与落在C下的对象之间存在一对一相关”。在非正式的情况下，可以看出，当且仅当属于B和属于C下的物体中的对象中，B和C具有相同的“数字”。等价关系的函数称为抽象原理。通过以将概念发送到对象的函数的存在为前提，休ume的原理利用了无限地定义许多概念的可能性，这些概念不属于其右侧在其右侧提到的等效关系，以产生无限的自然数量。还有其他新的新学品种在一开始没有假设休ume的原理或无限的公理，但通过其他逻辑原理无限地产生许多自然数量（例如，见Linsky and Zalta 2006）。此外，所有这些新学品种至少产生一个无限的基本数字，而这里的哲学相关性是他们用来建立这些结果的不同资源。

顺便说一句，弗雷格的逻辑和新学家计划也对“概念”的状态身份标准一对一来对应，即使无限许多对象都属于概念。有关将数字分配给无限概念的替代标准，请参见Mancosu（2015）和（2016年）。

鉴于早期的悖论（拉塞尔的悖论，布拉利 - 福利悖论等），一些数学家和哲学家担心标准集理论也可能不一致。关于数学的另一种观点是直觉主义，它仅接受数学对象的存在，这些对象的结构可以由人类思想在某种意义上进行。直觉主义需要修改逻辑，因为这种限制使排除中间的法律无效 - 在某些情况下，我们可以证明某种类型的对象的不存在会导致矛盾，但没有任何方法构建这样的对象，以便可能存在真相值差距。直觉主义者经常接受亚里士多德的限制，而不是“潜在的无限”，而不是“实际的无限”，但是关于可能存在哪种类型的无限实体，也存在复杂的直觉推理。 （有关更多信息，请参阅数学哲学中有关直觉主义逻辑和直觉主义的条目。）

与大卫·希尔伯特（David Hilbert）相关的另一个观点称为有限主义（参见Hilbert 1926）。大多数依据者都接受经典逻辑，但担心无限对象的理论的一致性。希尔伯特（Hilbert）对一致性的担忧是由新的无限仪式理论数学引起的悖论引起的（康托尔（Cantor）的不一致套装； Burali-forti Paradox； Russell的悖论等），希尔伯特（Hilbert）坚信，希尔伯特（Hilbert）坚信，这种无限量的量化是由这种无限的量化的根源。麻烦。有限的对象，例如与自然数相对应的笔触的配置，以及正式语言的有限句子，被希尔伯特·杰作（Hilbertian Fitarist）视为没有问题，因为在某种意义上可以单独掌握这些对象，从而以其（潜在的）总体掌握。但是，无限的物体被认为是有问题的：这包括康托尔的较高序言和红衣主教，以及在20世纪初数学家开始开发详细理论的所有几何，代数和拓扑对象。

希尔伯特的拟议项目（有时被视为数学哲学中形式主义的起点）是用谈论我们通常将其解释为有关实体的有限漫长的句子来代替这些无限实体的话题。他的目标是将这些无限对象的理论进行公理化，然后使用对语言的句法推理的方式证明这些理论是一致的。尽管这个想法并不能否认无限对象的存在，但它暗示了一种方法论方法，仅从字面上接受朝鲜对象，无论是代表整数还是句子。 （请参阅希尔伯特计划的条目。）

一些数学家和哲学家不仅采用了有限主义作为方法论角度，而且还采用了形而上学的观点。有限对象（例如数字和句子）存在（无论是数学上的对象而言），但是无限的对象（例如所有自然数的完整集，甚至是由Dedekind Cuts代表的任意非理性数字）却没有。这种观点的版本通常归因于19世纪的数字理论家和代数主义者利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker），他被引用说：“亲爱的上帝创造了全部数字；其他一切都是人的工作。”克罗内克（Kronecker）批评康托克（Cantor）的作品是神学而不是数学。希尔伯特（Hilbert）在克罗内克（Kronecker）的盟友可以接受的框架内辩护时捍卫坎托（Cantor），开始了他的计划。但是，当库尔特·戈德尔（KurtGödel）证明算术和语法的不定理论甚至可以证明自己的一致性，更不用说证明了更强大的理论谈论完成无限的一致性时，希尔伯特（Hilbert）的计划被认为失败了。 Gödel的不完整定理最明显地适用于Peano算术。 peano算术的语言由{0，'，'，+，×}给出，其中'是后继函数（为每个数字添加1个）。其中，人们可以表达普通的算术主张，例如加法的通勤和质数的无限。 Peano算术的公理告诉我们，该功能是一对一的； 0不是任何数字的继任者； +和×满足通常的递归定义；最后，我们对语言中的每个公式A（x）都有一个诱导模式）。

在固定理论和其他基础领域进行的详细基础工作在许多方面消除了对即将到来的厄运的恐惧，这些厄运是二十世纪初对悖论的反应的特征。结果，当今大多数数学家都很高兴能够与完整的无限态度合作。但是仍然有一些针对性的人和直觉主义者。

一个中间位置是由庞加莱和韦尔等经典的“预生命主义者”捍卫。该理论以一种令人满意的逻辑方式提出的理论和其他人接受了自然数的中等程度（因此，可以说是承诺存在自然数的存在，并且在任何情况下都可以接受自然数量的双重性），但不接受自然数的功率集的存在。根据序言主义（参见Feferman 2005），仅在以某种非圆形语言方式定义的情况下才存在集合。在接受自然数的中间和集合的存在取决于我们的定义能力时，该位置是经典和建设性观点之间的一种妥协。 1918年，Hermann Weyl（Weyl 1918；参见Kaufmann 1930有关相关计划）在此框架内提出了分析的基础，并表明可以通过更换任意实数的讨论来在框架内进行经典分析的很大一部分带有实数的算术序列。 Feferman 1988对理论进行了详细的正式介绍，并证明，在一定的重建中，该理论是Peano算术的保守延伸。此外，他还利用该理论来陈述有关物理学需要多少数学的重要猜想。在1984年和1987年的Feferman，他提出，物理理论中使用的所有数学都可以在谓语分析系统中重新捕获。利用上述保守性的元评估结果，他还利用了这一论点，声称Quine和Putnam的不可或缺的论点（请参阅数学哲学哲学中的不可或缺的论点的条目），最能使我们对Peano Arithmetic的承诺致力于我们。

与消除无限的可能性相反，刚刚描述的结果表明，只能通过无限考虑来证明某些限制性陈述。这些结果最初是出于戈德尔的不完整定理而出现的（Gödel1931），但最近通过显示数学兴趣的陈述来完善（而Gödel的陈述具有内属性兴趣，但没有明显的数学兴趣）。为了理解所需的概念区别，让我们授予大多数逻辑学家 - 所有有资料的推理方式都包含在一阶Peano算术中（因此，PA）。

戈德尔（Gödel）不完整定理的结果是，在PA是一致的假设下，人们可以找到一个有限的陈述，以至于它既不是Peano Arithmetic都无法证明其的。戈德尔通过用算术语言对学概念的微妙编码进行了表明，如何用算术语言表达公式g的语言，即“说”它本身是无法证明的。还可以确定该公式在自然数上是正确的。由于假定所有的统治推理都包含在PA中，因此建立了Gödel判决的真相和新的不完整结果的真相，就需要对某些“无限”原则上诉（当Gödel句子的真相通过对声明上诉建立时，在表达PA的一致性时，它建立了后者需要一部分无限推理，例如诱导至无限的序数为ε0）。

表达PA的一致性的声明con（PA）的情况是相同的。戈德尔的第二个不完整定理表明，它既不能从PA中证明其否定，但对某些无限推理的吸引力表明它具有自然数量。虽然对逻辑学家的需求和对希尔伯特计划的评估的核心非常好，但戈德尔的句子从实践数学家的角度看上去是炮制的。在希尔伯特（Hilbert）的PA表达式语句中，无量词或一串通用量化器，然后是非定量公式，将其视为有限陈述。上面提到的语句G和Con（PA）也属于此类。具有明显数学相关性的有限陈述包括基本属性，例如加法的通勤性以及Fermat的最后一个定理的陈述（其证明是使用较高的数学建立的，但逻辑学家坚信它也可以在PA中进行）。逻辑学家无法找到具有明显的数学意义的有限陈述，需要绕过无限的绕道，但他们能够做下一个最好的事情。他们找到了具有（∀x）（∃Y）A（x，y）形式的语句，该语句表达数字之间的一定功能连接，并且表明该语句虽然是正确的，却不能仅使用PA的资源来证明该语句。在最著名的结果中，是对巴黎和哈灵顿（1977）提供的拉姆齐有限定理的修改，以及古德斯坦（1944年）的定理证明无法在PA中证明（Kirby and Paris 1982）。在反向数学的背景下研究的更强大的结果与更强大的系统无关（例如，克鲁斯卡尔的定理独立于谓语分析，请参见Simpson 1985，2002）。

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