无限（四）

我们可以对整数重新排序，在正负之间交替：0、-1、1、-2、2、-3、3、...。该排序与自然数具有相同的排序类型，因此能够实现自然数和整数之间的一一对应。康托尔最引人注目的早期观察之一是，对于正有理数来说，同样的情况也是可能的。每个正有理数都可以用最低项唯一地写成某个分数 p/q，其中 p 和 q 是没有公因数的正整数。然后，我们可以通过首先比较分子和分母的和 p+q 来对这些分数进行排序，然后如果两个分数的和相等，则将分子 p 较小的放在第一位。此顺序从 1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 1/5, 5, 1/6, 2/5, 3/4, 4 开始/3、5/2、6、……。 （请注意，此列表中缺少像 2/2、2/4、3/3、4/2 这样的分数，因为它们不是用最简形式写的。）每个正有理数都必须出现在此列表中（因为它可以可以用分子和分母的某些特定有限和用最低项写成），并且只有有限多个前驱（因为最多有 n+1 个分子和分母之和为 n 的分数）。

顺序：1、1/2、2、1/3、3、1/4、2/3、3/2，...。每个有理数最终都被包含在内。

然而，康托尔还观察到，相同无限集的不同良序会产生不同的序类型。例如，我们可以定义整数的排序，其中每个非负整数都位于每个负整数之前，任何两个相同符号的整数按其绝对值排序。为了近似地表示这个顺序，我们可以将其写为 0,1,2,3,…,−1,−2,−3,…。在此排序中，每个非空子集仍然具有第一个元素（如果包含任何非负元素，则为绝对值最低的非负元素；如果仅包含负元素，则为绝对值最低的负元素）。如果我们将此排序的第一个元素与自然数标准排序的第一个元素配对，第二个元素与第二个元素配对，第三个元素与第三个元素配对，依此类推，那么负整数将不会与任何自然数。但是我们可以将自然数放入相同的排序类型中，方法是将奇数声明在偶数之前，并在这两个集合中按大小对它们进行排序：1,3,5,…,0,2,4,…。单个无限集可以给出许多不同订单类型的排序，也可以给出相同订单类型的不同排序（例如，如果我们将偶数放在第一位，将奇数放在第二位）。

康托尔指出，对于任何两个良序集，一个排序中的初始位置（第一、第二、第三等）对应于另一个排序中的初始位置，就像有限集的情况一样。事实上，他证明了一种良序的所有位置都必须与另一种良序的初始位置相对应。 （如果这不是真的，那么一个集合中与另一个集合中的位置不对应的位置集合对于每个集合来说将是非空的，并且这些集合的第一个元素将对应，这与以下主张相矛盾：这些位置不对应。）因此，在有序集合中存在一个包含所有可能位置的列表，从第一、第二、第三等开始，这些位置称为序数。一个良序集合可以说有它自己的序数，它是第一个不对应于该集合中的位置的序数。

基数（如“一”、“二”、“三”）——也称为基数——表示一个集合有多少个元素。如果可以在一个集合的成员与另一个集合的成员之间找到任何对应关系，则两个集合具有相同的基数，即使这种对应关系未能遵守集合的排序或任何其他结构。两个有限集具有相同的基数当且仅当它们具有相同的序数。对于无限集合，如果它们是良序的并且具有相同的序数，则它们具有相同的基数（因为具有相同顺序类型的两个良序集合在排序的相应位置的元素之间具有唯一的对应关系）。但它们可能具有相同的基数，但没有相同的序数：我们已经看到，一个基数的集合可以用许多不同的顺序类型来表示。

康托尔用小写希腊字母表示无限序数，其中 ω 表示自然数标准排序的序型。序数的加法对应于先进行第一种类型的排序，然后进行第二种类型的排序所产生的订单类型。因此， ω+ω 表示整数先非负数后负数的序型，而 ω+1 表示自然数最后只放一个元素的序型。注意，1+ω是单个元素的序型，后面跟着自然数的一个副本，其实和自然数的序型是一样的！因此，1+ω=ω，不等于ω+1。所以序数加法是不可交换的。

冯·诺依曼（Von Neumann，1923）利用序数本身是良序的这一事实，定义了序数的规范表示。每个序数由所有较小序数组成的集合表示。因此，0 由空集 ∅ 表示，1 由包含空集 {∅} 的集合表示，2 由包含这两个 {∅,{∅}} 的集合表示，依此类推。 ω 是包含所有这些有限序数 {∅,{∅},{∅,{∅}},…} 的集合，ω+1 是包含它的集合 {∅,{∅},{∅,{ ∅}}，…，ω}，等等。

序数的乘法对应于用第一类型的整个排序替换第二排序的每个元素。 ω·ω 表示 ω 序列的 ω 序列的序类型，我们可以通过取正有理数并首先按分母排序，然后按分子排序来获得：1, 2, 3, … 1/2， 3/2、5/2、…、1/3、2/3、4/3、5/3、…、1/4、3/4、5/4、…。请注意，ω⋅2 是 ω 的 2 个副本，而 2⋅ω 是 2 的 ω 副本。因此 ω⋅2 是 ω+ω，而 2⋅ω 是 2+2+2+…，即 ω。 （这是顺序 1, 2, 3, …, −1, −2, −3, … 和 1, −1, 2, −2, 3, −3, … 之间的差异。）同样，序数乘法是不可交换的。



但对于任何序数，可以通过在末尾添加一个元素来生成另一个序数。对于任何递增的序数序列，该序列都有一个限制。康托还定义了序数求幂的概念，这给出了许多不同的序数：0, 1, 2, 3, … ,ω, ω+1, ω+2, …, ω+ω(=ω⋅2), ω⋅2+1、ω⋅2+2、…、ω⋅3、ω⋅4、…、ω⋅ω(=ω2)、…、ω3、…、ω4、…、ωω、ωω+1、ωω+ 2, …, ωω⋅ω=ωω2, …, ωω3, …, ωωω, ϵ0 （定义为序列 ω, ωω, ωωω, … 的极限序数）。但这些序数都对应同一个基数，即自然数的基数。





在这一点上，人们可能会认为不存在比自然数更大的基数，就像不存在大于+∞的扩展实数一样。然而，康托尔的第二个惊人结果是，正实数的基数实际上大于正整数的基数，他的第三个惊人结果是，对于每个集合，其所有子集的集合（其幂集）有甚至更大的基数。尽管许多不同阶类型的不同无限集都可以彼此一一对应，但也有一些无限集不能。基数等于自然数的集合（如整数和有理数）被称为可数无限或可数，而不可数的无限集合（如实数和自然数的幂集）被称为是不可数的。参见结果证明

定理证明的补充。

因此，正如康托尔用小写希腊字母表示的无限序数的无限层次结构一样，康托尔用希伯来字母，特别是“aleph”“ℵ”表示的无限基数数字的无限层次结构。有限基数为 0, 1, 2, 3, …。第一个无限基数，即自然数（以及所有可数集合）的基数，是 ℵ0。康托尔的“良序原则”指出每个集合都可以放入某种良序形式（相当于选择公理），这意味着每个基数都可以用序数表示，而序数的定义确保对于任何非空序数集总是有第一个。所以枢机主教实际上必须是井然有序的。因此，康托尔使用序数来指定每个红衣主教在排序中的位置。 ℵ1 是ℵ0 之外的第一个基数，ℵ2 是ℵ3、ℵ4 等之后的下一个基数，最终达到ℵω、ℵω+1、ℵω+2 等，每个序数有一个基数。

因为我们在基数和序数之间有这种一一对应的关系，所以人们可能会想说基数集合和序数集合具有相同的序类型，然后问这个序类型的序数是什么（及其基数）是。然而，如果存在这样一个序数词，就会出现一个悖论——它必须包含并因此大于所有序数词，包括它自己！这就是布拉里-福蒂悖论（参见条目悖论和当代逻辑）。

相关地，由于每个集合的基数都小于其幂集的基数，因此不可能存在包含所有内容的集合（因为这样的集合已经包含其所有子集，因此至少与其幂集一样大）。这两个结果意味着不可能存在所有序数的集合或所有集合的集合。以类似的方式，人们认为不可能存在一组所有基数。由上述结果我们也可以回答我们一开始提出的一些问题：基数有无穷多个，序数有无穷多个。然而，既不存在所有基数的集合，也不存在所有序数的集合。因此，基数和序数的无穷大不能用基数或序数来测量，否则就会出现悖论。 （另请参阅有关罗素悖论的条目。）

尽管康托花了几十年的时间才找到一套避免这些悖论的集合论公理系统（参见关于集合论和集合论的早期发展的条目），但康托已经看到，在所有序数的总体性的这种不可到达性中或基数，“绝对无限”的概念。尽管在他的系统中，有许多在许多不同层次上易于处理和掌握的无限集合，从自然数开始（亚里士多德认为这只是潜在的而不是实际的），但他发现了一个更大的亚里士多德潜在无穷大。这导致了“集合”和“真类”之间的区别，“集合”是可以在相关意义上把握的总体，而“真类”即使对于包含康托的许多无穷大的系统来说也太大了。

我们可以将基数的加法定义为一个集合的基数，该集合是这些基数的两个不相交集合的并集。我们可以将一对基数的乘法定义为所有有序对的集合的基数，这些有序对的第一个元素是从第一基数的集合中提取的，并且其第二个元素是从第二基数的集合中提取的。但事实证明，一旦我们超出了有限基数，这些运算就相对微不足道了——正如我们看到两个可数序数的和或乘积仍然是可数的一样，两个无限基数的和或乘积等于两个中的任何一个更大了！ （至少这个运算是可交换的。）因此，我们无法通过加法或乘法从 ℵ0 得到 ℵ1 （正如我们在考虑通过加法和乘法实现的订单类型时所看到的那样）。

然而，基数幂运算的威力更大。事实证明，将 2κ 定义为基数为 κ 的集合的幂集的基数是很自然的。 （希腊字母 κ 和 λ 传统上用作变量来表示无限基数，字母 α 和 β 用作序数。）事实证明，实数集的基数（也称为“连续统”，因为它在表示连续空间）与自然数的幂集 2ℵ0 相同，康托证明 2ℵ0>ℵ0。康托尔猜想 2ℵ0 实际上等于 ℵ1，这个猜想被称为“连续统假设”。 （有关该猜想的更多信息以及该猜想尚未得到解决的原因，请参阅连续统假设的条目。）

正如 ℵ1 是一个基数，即使在极限情况下，也无法通过序数加法、乘法或指数运算来达到，人们可能会推测，即使在达到坎托尔绝对无穷大之前，仍然存在进一步的基数在某种意义上掌握了，但即使通过更强的基数幂运算也无法达到，即使在极限内。事实证明，这样的猜想对于集合论和数理逻辑的研究来说取得了令人惊讶的成果。 （请参阅有关大基数和确定性的条目。）

尽管我们已经为序数词和基数词定义了加法和乘法，但它们的特征使得减法或除法很难理解。首先，序数运算的不可交换性和基数运算的琐碎性使得很难定义这些运算的有意义的逆。 （如果有可能找到一个序数或基数，可以将其与第一个数相加或相乘，得到第二个数，那么通常也可以找到无数个这样的数数。）但更重要的是，计数的概念思想（无论是通过顺序类型或双射）实际上不允许负数或分数，而测量和几何的概念思想则这样做（在 3.2 节中考虑）。计数涉及将每个元素视为离散且唯一的，并且多个元素组合起来无法产生任何结果（如减法所需）或产生一个单位（如除法那样）。然而，测量（例如距离）涉及被测量事物的某种结构，因此某些测量可以是其他测量的分数，或者可以指向相反的方向，这产生了有意义的除法和减法概念。

本节只是介绍了序数和基数的数学——它被称为康托尔的天堂。但我们已经看到了这些无穷大概念的许多特征，这些特征与上一节讨论的那些特征截然不同。正如自然数和实数之间的差异表明了计算集合元素以及测量长度、面积等之间的差异一样，康托基数和扩展实数之间的差异进一步表明了计数和测量之间的差异。

有关本节中介绍的材料类型的进一步讨论，请参阅 SEP 条目：集合论、集合论的早期发展和选择公理。 Enderton (1977) 是对基本集合论的精彩介绍； Sheppard (2014) 有一个非正式但仍然严格的介绍；更高级的文本包括 Devlin (1993)、Kunen (1983) 和 Jech (2006)。对于更高的范围，我们将在第 4 节中回顾，请参见 Kanamori (2003)。

集合论提供了一种基数理论，它实现了“大小相同”支持双射直觉的思想。相比之下，Benci、Di Nasso 和 Forti 提出的最新数值理论则坚持部分整体直觉。请参阅

数论补充。

3.4 无穷小和超实数

我们已经讨论了+∞和−∞的概念，旨在为实值函数提供值以作为特殊点的极限。但对极限本身的理解最初被认为需要“无限小”距离的概念。虽然几个世纪以来这些量都被认为是有问题的，但近几十年来，一些数学实体及其属性得到​​了严格的研究。

3.4.1 牛顿和莱布尼茨

无穷小是绝对量小于任何正有限数但不为零的数。无穷小有着一段曲折的历史。正如我们在介绍 L’Hôpital 1696 年论文的结构时所看到的那样，早期的微积分工作主要基于对无穷小的几何或运动学（即基于运动）的理解。在这里，我们以算术方式处理无穷小，即在实数系统的背景下，同时传达早期分析师如何使用它们的关键特征。为了精确地计算出函数 f(x)=x2 在某一点的斜率，我们考虑“无穷小数” ϵ 并考虑通过 f(x) 和 f(x+ϵ) 的直线的斜率。



为了找到函数的斜率，我们需要考虑在两个“无限接近”的点处与函数相交的直线的斜率。

这个斜率等于

(x+ϵ)2−x2

ε

为了使这个分数有意义，ϵ 必须非零。但是，我们可以计算出这个值是

2xε+ε2

ε

，或 2x+ϵ。此时，我们不再需要 ϵ 非零，因此斜率可以说只是 2x。这些无穷小量在非零和零之间的这种滑动使得伯克利将它们称为“消失数量的幽灵”。然而，真正使用微积分的工程师、科学家和数学家却对微积分带来的好处感到满意。

在 19 世纪，柯西、博尔扎诺、魏尔斯特拉斯、戴德金和康托试图为实分析奠定基础，不考虑无穷小：在后来成为微积分、坎托集合论和概念的 ϵ-δ 形式化的规范解释中第 3.2 节中描述的限制允许对实际分析进行完全严格的开发。

我们不采用特定的无穷小值，而是对实值变量 ϵ 和 δ 的值进行量化。例如，声称在x为2x处的平方函数的斜率解释为说，对于任何所需的近似程度ϵ，有一些有限的δ，使得在x的Δ内部的任何x'，线的斜率，线的斜率，从（x，x2）到（x'，x'2）近似于2倍至ϵ内。单个无限量被涉及两个嵌套量词的关系所取代。从微积分中消除无限量的过程是一个被称为“分析算法”的较大过程的核心部分，该过程旨在从微积分中去除运动学和几何概念，而有利于纯粹的算术概念。 （这些被广泛地解释为包括对真实和复数的算术。对于最近对19世纪真实和复杂分析的历史的描述，​​也关注了基础问题，请参见Gray（2015）。

这个无限的无限计划成功地实现了其目标 - 其主要成就是对某个点的连续功能的严格定义，也是Riemann积分的定义。但是，应该记住，其他数学领域（例如几何形状）继续利用无限考虑并进行了广泛的非架构数字系统。阿基米德的公理说：

给定任意两个区域，或两个距离或任何两量相同的区域，例如A和B，可以将A添加到自身中，以便有限的次，以便获得的数量大于B。

非Archimedean系统是该公理不存在的系统。如果17世纪与Infinity的互动以及Cantor在固定理论中的工作可以看作是革命，那么在19世纪下半叶，对非Archimedean数学的研究可以比喻为无限制的起义。

在17世纪的微积分中考虑的许多数量，例如Leibnizian Infinitesimals，不遵守阿基米德公理。无限的次数可以添加到任何有限次数中，但是该过程的结果永远不会大于任何有限数量，多么小。普遍存在的史学传统认为，随着微积分无限量的消除，非一切雄少量的数量被降级为工程实践。根据标准说法，直到1960年代，当亚伯拉罕·鲁滨逊（Abraham Robinson）提出了他的非标准分析理论时，无限次数才回来了，该理论引起了哲学家和数学家的广泛关注（请参阅第3.4.2节）。鲁滨逊的理论在无限微积分的重建中为无限小而无限的数量提供了合理的数学地位，现在相应地开发了严格的模型理论技术。长期以来，鲁滨逊的作品被誉为开发非一切集数量系统的第一个成功的努力。但是菲利普·埃里希（Philip Ehrlich）在一系列基本论文中（包括1994年，2012年）认为，这种广泛的看法需要严重的质疑。的确，他令人信服地表明，对非Archimedean数学的兴趣在1870年代出现，并继续掌握在Veronese，Du Bois-Reymond，Levi-Civita，Hahn，Hahn，Stolz，Hardy等的数学家手中。

在本条目中，即使对上述发展进行了一些小调查，这将是不合适的。我们只是将读者参考Ehrlich（1994）和（2006）。与许多重要相关问题的互连，例如Conway的超现实数字（请参见第3.4.3节）和其他用于构建实数的替代方法，例如第3.4.2节末尾提到的平滑无限分析，无法正确解决。这里。参见Salanskis和Sinaceur（1992），Ehrlich（1994），Berger，Osswald和Schuster（2001）和Ehrlich（2012）。

3.4.2非标准分析和无限分析

由于上述演算中的严格定义，从19世纪中叶开始，大多数从事分析的数学家都放弃了无限量。但是，在20世纪中叶，罗宾逊（1966）表明，可以对无限量进行严格的定义，并且无限量可以用于实际分析的非标准发展（D. Laugwitz也做了类似的工作同时，鲁滨逊的系统进行了更广泛的讨论）。尽管他使用模型理论进行了非标准分析，但随后的发展也基于代数和拓扑。鲁滨逊的方法提供了一个扩展的数字系统（超现实数字系统），该系统包含标准的实际数字系统，以及进一步的“无限”数字，其绝对值大于0，但小于任何正面的标准实际数字。鲁滨逊的HyperReals的构造提供了与标准REAL相同的基数。对结构的简单修改可以创建一组较大的基质性。

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