无限（三）

不难检查以这种方式构建的实际数字是序列的限制。要查看在特定情况下的工作原理，我们可以考虑序列1/2,3/4,7/8，…，1-1/2n，…此序列正在增加，因为每个序列都大于一个术语来了，它是有限的，因为2是一个严格比顺序中每个术语大的数字。如上所述构造的dedekind切割将对应于数字1。要查看这一点，请注意，对于任何有理数Q小于1，我们可以让ϵ = 1-q。然后有一些n使得1/2n＜ϵ。然后，序列中的第n项将大于Q，因此Q将在其左组中，因此在我们上方构造的左图中。但是1本身，并且每个理性数字都比它大，都在上面构建的正确集合中。该推理还表明，根据极限的定义，序列会收敛至1。对于任何ϵ和n，使得1/2n＜ϵ ϵ，序列中的第n项在1的范围内，序列的所有后期术语都大于第n个项，但仍然小于1，因此它们必须也都在1之内。

关于有限，增加序列的这个事实也构成了实数的无限十进制符号的使用。当我们说数字π= 3.1415926…时，我们只是指π是序列3,3.1,3.14,3.141的限制。关于这一符号的一个事实是，许多人感到惊讶表示一个“无限接近”的数字，但不等于它。在第3.4节中，我们将能够理解这样的想法，但事实证明，小数点符号不是这样做的方法。有关这一点的有用演示，请参见VI Hart的视频9.999 ...原因是.999 ... = 1。

许多没有增加的序列也具有限制。例如，序列1，-1/2,1/3，-1/4，…，（ - 1）n/n，…即使它没有增加，也可以看见会收敛到值0。但是，如果一个序列没有界限，例如序列1,2,3，…，它没有限制 - 如果有限制，则必须有一些值l，ϵ和n，以便所有的值在第一个n之外的序列中的术语在l的ϵ范围内。但是，任何比序列的前N项大的数字，也大于L+ϵ，将是序列的绑定。而且某些没有增加的序列也无法具有限制，例如，序列1,0,1,0,1,0，…没有限制，因为没有值最终在该值的1/3之内。

3.2.2无限和产品

通过序列限制的定义，我们现在也可以通常定义加法和乘法操作的无限版本。对于有限数量的术语，我们定义“部分总和” ∑

n

我=1

AI = A1+⋯+AN和“部分产品” ∏

n

我=1

ai = a1·⋯电。对于无限的数字序列，它们的无限总和或产品（定义时）是部分总和或产品的限制：

无穷大

Σ

我=1

ai =

林

n→∞

n

Σ

我=1

人工智能

和

无穷大

∏

我=1

ai =

林

n→∞

n

∏

我=1

人工智能。

因此，∑

无穷大

我=1

1

2i

= limn→∞进

n

我=1

1

2i

= limn→∞（1-

1

2n

）= 1。我们可以证明，如果无限的术语顺序具有收敛的总和，那么术语本身必须收敛到0。这是因为术语∑

n

我=1

AI必须融合，因此对于任何ϵ

n

我=1

每当n＞n时，AI就在限制的ϵ内。因此，每个这样的一个必须具有小于2ϵ的绝对值，因此两个连续的部分总和都可以在此限制的范围内。 （对于无限产品也有类似的条件，但是从现在开始，我们将仅关注无限的总和。）

但是，仅将术语收敛到0不足以使总和收敛。关于无限总和的一个深刻而重要的事实是∑

无穷大

我=1

1

我

无法收敛，因为部分总和最终超过了任何有限的界限。要看这一点，请注意，第一学期大于1/2，接下来的两个术语都大于1/4，接下来的四个术语都大于1/8，总的来说，有2n -1个术语每个大于1/2n。因此，要获得大于n的部分款项，就足以添加前22N项。

但是，如果术语收敛到0，并且每个术语的绝对值较小，并且具有相反的符号，则无限总和必须收敛。如果序列中的第一个项为正，则是因为均匀编号的部分总和形成一个有界的，增加序列，奇数的部分总和形成一个有界的，减小的序列，而这两个序列的连续项之间的差异是一个原始序列的项，因此收敛到0。因此，总和∑

无穷大

我=1

（-1）i+1

我

收敛（尤其是自然对数为2）。但是一个有些令人惊讶的事实（称为Riemann重排定理）指出，如果序列的正项没有有限的总和，而序列的负项没有有限的总和，那么单个术语本身会收敛到0，那么任何实际数字x，序列的术语都可以放在某个顺序中，以便x是该顺序中的序列的总和！为了证明这一点，只需通过足够的正面术语来重新安排术语，以将部分款项带到x上方，然后将零部分的额度带到x以下，然后将部分款项带到x下方，将部分款项再次带到x上方，等等。必须能够执行此过程，因为正项的部分总和最终超过了任何有限的绑定，并且与负术语的部分总和类似。由于序列的各个术语最终都在0之内，因此这些部分总和最终必须与x差异不超过ϵ，因此该术语的本排列的总和必须融合到x。

因此，无限求和与有限求和具有一些重要的特征。对于任何有限的实数，这些数字的总和是明确定义的，并且不取决于您添加它们的顺序。但是，有了无限的实数序列，可能没有数字是该顺序的该序列的总和。即使存在，也可以重新排列序列的术语，以便它们汇总到另一个值。

但是在某些情况下，可以知道总和可以表现得很好。如果顺序中的所有术语都是正的，并且它们的总和会收敛，则其总和必须按任何顺序收敛到此值。这是因为部分总和构成了一个越来越多的顺序，对于条款的任何两个顺序，以及其中一个订单的任何部分总和，必须有其他订单的部分总和，其中包含该部分总和中的所有条款，反之亦然。同样，如果所有条款为负，则总和的值不取决于总和的顺序。而且，如果正项具有收敛性，并且串联的负项也可以，那么按任何顺序采取的串联的总和必须等于这两个总和的总和。这样的序列被认为是绝对收敛的，因为术语的绝对值总和是收敛的。

3.2.3功能的限制和扩展的实数±∞

无限序列和总和并不是数学中限制出现的唯一方法。实际值的功能也可以具有限制。实际值x的函数的限制x进入无穷大，以与自然数索引的序列的极限相似。说

林

x→+∞

f（x）= l

就是说，对于每个ϵ，都有一个n，以便每当x＞n，f（x）在l的ϵ ϵ in ϵ ϵ例如，Limx→+∞E -x = 0，因为可以通过选择足够大x来使E-x像一个人一样小。 （请注意，函数的输入可以是正面的或负的，因此我们需要指定X接近正无穷大，以将其与轴另一端的极限区分开。）

但是，能够在某些特定有限的实价输入下定义函数的限制通常也很有用。例如，我们可能对函数f（x）=感兴趣

x2-9

x -3

随着X接近3。（正如我们将在第3.4节中看到的那样，这种计算在定义函数的“导数”概念，在某个时刻给出连续曲线的斜率。）此特定函数已定义对于除3以外的所有实际数字，并且在任何此类输入x上都采用值x+3。我们想能够说，作为x接近3的功能的极限是6。我们确切地说的方式是说

林

x→a

f（x）= l

当且仅当

对于每个实际数字ϵ＞0，都存在一个δ，因此，对于每个x，具有0＜| x -a | ＜δ，| f（x）-L |＜ϵ。

也就是说，对于我们想要的极限的任何程度近似，输入的近似程度有足够的近似值，足以保证该函数是接近的。

在 x 趋向 + 无穷大时极限的初始定义中，我们要求 x 足够大来“近似”+无穷大，但现在我们要求它与 a 的差异足够小来近似 a，就像序列或函数的值接近极限 l。

我们也可以进行相反的操作，将 ∞ 放在极限的右侧。也就是说，我们说

林

x→a

f(x)=+无穷大

当且仅当

对于每个 M，都存在一个 δ，这样对于每个 0＜|x−a|<δ 的 x，f(x)＞M，

和类似地

林

x→+∞

f(x)=+无穷大

当且仅当

对于每个 M，都存在一个 N，因此对于每个 x＞N，f(x)＞M。

由于 Infinity（或者更准确地说“+Infinity”——类似的方法适用于“−Infty”）可以出现在这个极限表示法中实数可以出现的每个地方，所以很自然地看看我们是否可以扩展实数的定义以便将其包含在内。

事实上，如果我们采用戴德金割的定义，并放宽左集和右集非空的要求，我们会得到两个新元素——右集为空的元素大于每个有理数，并且称为“+无穷大”，而左集为空的数小于所有有理数，称为“−无穷大”。在这些“扩展实数”中，不仅每个有界递增序列都有极限，而且每个递增序列也都有极限。

正如实数自然地成为测量有限量的工具，作为有理近似的极限，扩展实数自然地成为测量可以用有限量近似的潜在无限量的工具。 +∞ 可以被视为无限区域的面积、无限直线的长度、当 x 趋向 0 时 1/x2 的极限等等。尽管我们习惯于将长度和面积视为正数，但当我们关心它们指向的方向时，有时将它们视为负数也是有用的，并且在这种情况下 -∞ 也很有用。正如加法、乘法、减法和除法的实数运算对应于对其测量的量的某些运算一样，只要我们注意某些情况，这些运算通常可以扩展到这些扩展的实数。

从无限区域中添加或减去有限区域会使其成为无限区域。将具有无限面积的形状添加到相同无限面积的另一个形状中，总面积保持不变，并且从正无限形状中减去负无限形状，反之亦然也是类似的。但 (+∞)+(−∞) 无法进行有意义的评估； (+无穷大)−(+无穷大)也不能。如果你取一个无限大的区域，并删除一个无限大的区域，你可能什么都没有留下，或者是一个正的区域​​，但你仍然可能留下一个无限大的区域；或者，如果减去的区域大于原始区域，则可能会留下一个负区域，甚至是无限的负区域。

这些限制也适用于使用这些扩展实数作为序列或函数的限制。每当两个序列或函数都有有限极限时，它们的和或差将有一个极限，即它们的极限的和或差。当一个有限，另一个无限时，它们的和或差将由无限的那个决定。但当两者都是无限时，就会出现问题。我们可以看到，1/x2、2+1/x2 和 1/x4 都是当 x 趋向 0 时趋向 +∞ 的函数。如果我们将这些函数中的任何一个与有限极限的函数相加或相减，则结果函数仍然有 +∞ 的极限。如果我们以任意组合将它们相加，结果仍然有极限+∞。但如果我们考虑它们的差异，我们会发现 1/x2−1/x2 以 0 为极限，1/x2−1/x4 以 −∞ 为极限，1/x2−(2+1/x2) 以 0 为极限，1/x2−(2+1/x2) 以−2 为其极限。因此“∞−∞”被称为“不确定形式”，无法求值。

将无限数乘以或除以有限正数使其保持不变，而乘以或除以有限负数则反转其符号。类似地，将无限数彼此相乘或彼此相乘。但无限数除以无限数，或无限数乘以 0，也是不定形式。当 x 接近 0 时，函数

1/x2

1/x2

有极限 1，而函数

1/x2

1/x4

有极限+∞。如果我们取极限为 +∞ 的函数 1/x2 并将其乘以极限为 0 的函数 x，我们就得到函数 1/x，当 x 接近 0 时，该函数没有极限（因为它同时具有大的正数和大的正数） 0 附近的任何小区间内的大负值 - 这就是为什么我们使用 1/x2 和 1/x4 作为极限 +∞ 函数的范式，而不是 1/x 或 1/x3）。出于类似的原因，这些扩展实数不提供除以 0 的方法。因此，尽管扩展实数具有一些很好的属性，并且可以在各种情况下用于测量，但涉及它们的算术不如标准好实数。

3.2.4 相关无穷大

戴德金割断构造是为了理解有理数的极限而进行的。这首先创建了实数，可以将其视为有界无限有理数序列的极限。然后，我们考虑了所有有意义的限制，包括接近实数线的末端，产生扩展实数，包括标准实数以及 + 无穷大和 - 无穷大。

这个过程的不同版本也可以用其他数学实体来执行。射影几何在欧几里得平面上添加了“无穷远”的附加点，每个平行线族都有一个点，以帮助解释视觉几何的特征，例如平行铁轨似乎在无限远的地平线上相交的方式。黎曼几何通过仅添加一个可以在复平面中“在所有方向上”同时接近的单个数字 来扩展复数。这些替代几何形状为第 2.2 节和第 8.2 节中讨论的材料提供了基础。其中一些在十九世纪几何学的条目中进行了讨论，其他一些在拓扑教科书的“紧化”主题下进行了讨论。

因为这些无穷大本质上被认为是有限近似的极限，所以一个无限元素不可能“超越”另一个——最多它可以位于“不同的方向”，就像不同族的收敛点一样平行线可以做到这一点，或者就像扩展实数中的+∞和−∞一样。

但正如我们很快就会看到的，还有其他无穷大的概念，其中一个无穷大可以“超越”另一个无穷大。在3.3节中，我们将讨论通过推广使用自然数进行计数而不是推广使用实数进行测量而得到的无穷大的概念。在第 3.4 节中，我们将讨论另一种无穷大数学理论，该理论源自微积分的另一种表述，其中 ϵ 和 δ 被视为实际上无限小，而不仅仅是任意有限的小度量。

3.3 计数的无穷大

3.3.1 预备知识

如上所述，本节比前两节在数学上更加密集。然而，我们需要这种数学严谨性来发展康托尔的序数和基数理论，这些理论被广泛认为是我们理解无限过程中最重要的数学进步。

一个失眠症患者，数着想象中的羊试图入睡，永远不会用完自然数来完成这项工作：1、2、3……。自然数集没有界限。这是我们的第一个无限集。也许一种自然的想法是，只有一个无穷大来计算无限集，我们可以将其表示为“无穷大”。当我们将无限集定义为与它的真子集具有相同大小（在某种意义上很快就会变得精确）的集合时，这种想法可能看起来更自然。事实上，这种想法大错特错：正如我们很快就会看到的，根据数学正统理论——即当代集合论和随之而来的集合基数概念——存在无限多个无穷大。这引发了一系列问题：是否存在最小的？是的，正如我们将看到的。有最大的吗？不，正如我们将看到的。关于无穷大之间的间距以及无穷大延伸多远可以说些什么？好吧，我们拭目以待。我们还可以提出关于无限小的平行问题。

回想一下伽利略的无限悖论，它基于部分整体直觉和双射直觉的碰撞，以及他的结论，即人们不能将“小于”、“等于”和“大于”的关系应用于无限集合。体现在当代集合论中的现代数学正统观念拒绝伽利略的结论。这种正统观念以双射直觉为基础，遵循康托尔而不是欧几里得和博尔扎诺。当两个集合之间存在双射时，我们说它们具有相同的基数。基数的概念不尊重部分与整体的直觉。例如，自然数的平方是自然数的真子集，但它们具有相同的基数，因为它们可以一对一对应。

新逻辑主义等基础纲领也始于基于坎托尔双射直觉的“等数性”概念。直到 2000 年代初，一群从事非标准分析的数学家（Benci、di Nasso 和 Forti）才发展出一种“数值”理论，该理论在有限集上与坎托尔基数一致，但也支持部分与整体的关系无限集的直觉，因此与坎托基数不同。 （参见 Benci 和 Di Nasso 2003、2019；Benci、Di Nasso 和 Forti 2006、2007）。人们可以将数值视为坎托基数的一种改进。每两个具有相同数量的集合具有相同的基数，但反之则不成立。例如，在这种方法中，平方集的数量严格小于自然数集。请参见

数论补充。

3.3.2 集合论：ω 和 ℵ

哲学家最熟悉的无穷大是用于计数的无穷大。 1820 年代初期，博尔扎诺提出了这样的观点：无限集合是指该集合与其真子集之间存在双射的集合。 （回想一下伽利略的悖论。）Dedekind (1884) 将此作为无限的定义。很容易证明戴德金无限集合必须包含与自然数一样大的集合。请参见

定理证明的补充。

戴德金的定义只是他及其之后提出的无限集（以及相应的有限集）的几种替代定义之一。如果人们假设选择公理，那么这些替代定义结果是等效的。 （该公理表示，对于每个成对不相交非空集的集合 A，存在一个函数，该函数从 A 中的每个集合中精确选择一个元素。）但是如果没有选择公理，则可以证明定义不等价基本情况相当微妙，但很好理解（见 Moore 1982）。

现代计数无穷大理论源自 Cantor (1932)。他观察到，在有限集合之间建立双射的自然方法是对每个集合的元素进行排序，并将一个集合的第一个元素与另一个集合的第一个元素配对，一个集合的第二个元素与另一个集合的第二个元素配对，这有时适用于无限集 - 例如，它给出自然数和平方之间的一一对应关系（根据其标准排序考虑）。当两个集合之间存在一一对应关系，使得一个集合的每一对元素与另一个集合的对应元素对具有相同的排序时，这两个有序集合被称为具有相同的排序类型。

但对于某些无限集（特别是所有整数的集合，包括负数，以及有理数的集合），在其标准排序下没有第一个元素。在这种情况下，可以对集合的元素进行重新排序，以便每个非空子集都有第一个元素，从而使该过程有效。这种排序称为良序。 （正如 Zermelo 在 1904 年证明的那样，每个集合都可以是良序的，这相当于选择公理。）

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