无限（二）

2.2 不可分与无穷远点理论

早期现代数学家对欧几里得和阿基米德的严谨性印象深刻，但人们普遍怀疑（1906 年得到证实）阿基米德一定采用了一种不太严格的启发式方法来发现他令人惊讶的结果。

17 世纪，几何中的无限考虑为求积和立方的新几何技术开辟了道路，即分别确定平面图形的面积和立体图形的体积。我们归功于卡瓦列里和托里拆利的不可分几何理论，后来沃利斯（1656）将其纳入算术代数背景中。卡瓦列里最初的想法（1635）是，两个平面图形的面积之间的关系可以通过系统比较他所说的图形的不可分割性来获得。不可分的图形是比图形本身维度更低的几何实体。不可分割的线是点；平面图形不可分割的是线段；不可分割的固体是平面图形。考虑一个具有顶边 AB 和底边 CD 的正方形。不可分的正方形是任意与AB 长度相同的线段，可以通过让AB 平行于自身移动直到到达CD 来获得。请参阅

关于用穷举法和不可分法求圆的求积的补充

解释如何用不可分方法给出圆的正交，以及这如何吸引无限的集合。

卡瓦列里对不可分理论的应用仅限于有限数字，因此没有超出希腊数学典型的几何边界。然而，托里拆利通过测定无限长（infinite longum）固体的体积而开辟了新天地（Torricelli 1644）。到那时，所有关于通过不可分获得的有限数字的结果都可以很容易地通过有限阿基米德技术并避免提及无穷大来证明——就像在

关于用穷举法和不可分法求圆的补充。

然而，在托里拆利的结果中，无穷大明确地表明无限长的固体（图中的 FOBMDC）具有有限的体积（图中圆柱体 ACIH 的体积）。



这是西方数学中的第一个无限结果，因为使用某种替代的限制技术无法消除无限，而是作为必须测量的物体的特征而出现的。 Torricelli的无限结果对无限的经验主义观念施加了巨大的压力。独立主义方法的启发式富有成果，还伴随着威胁其基础的悖论。其中包括塔克克特（Tacquet）的证明，没有任何三角形都有相同的区域。独立主义者能够以各种方式处理此类悖论，但是系统的基础仍然摇摇欲坠（有关不可分割理论的基础以及与Torricelli结果相关的数学和哲学问题的详细讨论Jullien（2015））。

无限在17世纪几何形状出现的另一个领域是Desargues的作品（见Sakarovitch and Dhombres 1994和Desargues 1636）。尽管在欧几里得几何形状平行线上没有相遇，但desargues却娱乐了在Infinity的某个点相遇的平行线的想法。这是一个非常富有成果的想法，导致了投射几何形状的发展。

2.3微积分

在17世纪使用无穷大数学中，最富有成果的发展是微积分。

从几何学的角度来看，微积分提供了在曲线任意点绘制切线并测量曲线部分下面积的技术。差分计算将第一个问题和积分计算第二个问题。微积分的基本定理指出，这些问题是彼此的逆。该微积分是由牛顿和莱布尼兹独立开发的，但其传播尤其归功于在欧洲的许多数学家。鉴别演算的第一本教科书于1696年由侯爵夫人（Marquis del'Hôpital）于1696年出版（1696年；参见Bradley等人，2015年，有关翻译，我们在下面进行了评论）。值得考虑其公理化结构，因为它将帮助我们立即看到新学科向国际社会展示自己的无限基础。我们首先有两个定义：

定义I.这些数量被称为变量，它不断增加或减少，而不是恒定数量，而恒定数量在变化的情况下变化。

定义II。可变数量不断增加或减少的无限小部分称为差分。

这两个假设如下。

假设I。我们认为，通过无限量不同的数量可以互换使用，或者（与同一事物相同的量），一个数量增加或减少的数量是由另一个数量无限小的数量，可能是被认为保持不变。

假设II。我们认为弯曲线可以被视为无限多个直线的组合，每条线条无限小，或者（与同一事物相同的东西）与具有无限数量的侧面的多边形，每一个都无限地小，确定线的曲率以自己形成的角度形成。

我们在上面看到的是对新微积分中吸引的一些基本实体的明确无限表征。两种假设都需要希腊人偷偷避免的东西，即考虑无限量的数量以及将曲线减少到不利的多边形。尽管L'Hôpital和许多法国数学家对“无限制”充满热情，但莱布尼兹本人对无限量的呼吁提出了一个虚构主义的说法（在他的Quadratura早期已经被揭露了，直到1993年才看到他的光明。参见Leibniz（1993））。还要注意几何和运动学的使用（即基于运动，如持续增加或减少的概念所暗示的）概念所暗示的。 19世纪的大部分关于微积分的工作都致力于从该学科的基础上消除几何和运动学观念。

该领域的文献是巨大的，我们指的是Goldenbaum和Jesseph（2008），目的是最近收集了有关莱布尼兹无限量的论文。关于演算基础的辩论导致了一些生动的贡献，例如伯克利的《分析师》（1734年）和更多的数学工作。但是，即使在19世纪的凯奇，博尔扎诺，德德凯德和韦尔斯特拉斯的合并作品中，无限量也从微积分中消除了，它们也被广泛从事几何形状。此外，当代的分析理论（非标准分析，无限分析等）导致了严格的理论，这些理论可以看作是在17世纪的某些直觉中辩护。我们将在下面回到这些发展。

2.4计算无限收藏

17世纪无限讨论的最后一个方面与以后的考虑有关：将计数从有限的概念扩展到无限的问题。这个问题与是否只有一个无穷大或是否存在不同大小的无穷大有关。正如我们已经提到的，Philoponus认为，世界的永恒导致了矛盾。他认为，如果世界过去没有开始，那么苏格拉底的个人人数将是无限的。但是，通过将苏格拉底的个人数量添加到现在，就会获得比前一个人更大的无限，这是“最不可能的事情之一”（参见Sorabji 1983）。希腊人被认为拒绝可能存在不同大小的无穷大的想法是典型的。

伊斯兰数学家伊本·古拉（Ibn Qurrah）（公元9世纪）采取了一种绝对的无限态度，并反对亚里士多德评论员，认为无穷大的尺寸可能会有不同的尺寸（参见Rashed 2009）。例如，他声称奇数和偶数的大小相同，但三个的倍数是自然数总数的1/3。与文献中所主张的内容相反，他的直觉并不是说偶数数字和奇数的大小相同，因为它们之间有一对一的对应关系。相反，我们有一个“频繁的”直觉：每个偶数都有一个奇数。每三个数字等三个数字出现的倍数。我们在格罗塞斯特的论文中发现了类似的立场（有关历史发展和进一步参考的概述，请参见Mancosu 2009，2016）。

伽利略·盖利里（Galileo Galilei）代表了我们试图从有限的无限计数概括计数时遇到的悖论情况。在两项新科学（1638; Galilei 1974）中，他提出了无限的悖论。一方面，直觉的是，平方数的数量少于自然数，因为第二个集合在第二个集合中正确包含（前者有一些但不是所有后者的成员）。另一方面，有一个直觉是有相同数量的正方形和自然数，因为在自然数及其正方形之间存在一对一的对应关系（两次射击）。伽利略（Galileo）自己的结论是，在14世纪讨论了类似问题的萨克森（Saxony）的俄勒冈州和阿尔伯特（Albert）之后，声称一个人不能运用平等关系，而不是比无限收藏更大，而且要小。随后的关于无穷大的理论可以被视为尊重一个直觉，而牺牲了另一个直觉。

如果一组是另一个组的适当子集，那么前者比后者小，请追溯到欧几里得，这是整个零件的直觉。 Bolzano（1851）对此表示同情，他试图开发一种保留它的无限集理论。他没有成功，但他警告读者不要将一个无限套装的一个属性混为一谈 - 可以将其与适当的子集中置于一对一的信件中，并以“大小”为标准（他所说的标准集合的“多重性”）。相反理论。因此，他的直觉是，如果两组之间存在两组，则它们的大小相同，可以将其添加到本文直觉上。对于有限集，直觉显然是正确的。例如，正常人手上的一组手指可以与正常人脚上的一组脚趾配对，反之亦然：这两组之间有两组。当然，这两套的大小相同（五）。一个核心问题是直觉是否也适合无限集。我们将讨论Cantor的理论，相比之下，一些最新的计数实施（称为数字理论）也保留了无限集的部分直觉 - 请参阅

补充数字理论。

总之，17世纪和18世纪初的“无限革命”给哲学和数学留下了重要的遗产。不可分割的理论引入了新的幅度，这些幅度是无限的（人物的所有不可分割的收集），而新的无限几何对象则扩展了经典的几何宇宙。此外，关于微积分的辩论集中在无限小和无限大的性质上。最后，伽利略悖论出现的问题是将计数从有限收藏扩展到无限收藏的问题的序幕。

这些问题在19世纪和20世纪逐渐解决，其中这些讨论中出现了不同的数学概念。我们将通过讨论当代无限数学中的某些地标，将与这些概念分阶段进行。

在数学中使用无穷大的众多一般治疗方法中，我们推荐Lévy（1987），Zellini（2005），Moore（1990/2019），Vilenkin（1995），Barrow（2006）。有关微积分历史的更详细说明，请参见Kline（1990），Boyer（1959），Edwards（1979）和Grattan-Guinness（1980）。关于不可分割的理论的最新奖学金是在Jullien（2015）中找到的。有关Leibnizian Infiticimals的最新收藏，请参见Goldenbaum和Jesseph（2008）和Goethe，Beeley和Rabouin（2015）。关于19世纪数学无限的概念，请参见König（1990）。

3。数学：数字系统，康托尔的天堂及以后

为了处理有关第2节中提出的无限的一些问题，数学家已经开发了各种不同的结构，这些结构明确包括无限态度。这些结构将不同的属性归因于适合不同应用的无限属性。在某些情况下，可以为应用程序开发多种结构。明确的伯爵夫人的无限态度为现代数学的发展提供了巨大的选择和可能性。

现在，我们在现代数学中非常快速地游览无限。第3.1节提醒读者了解几个熟悉的数字系统：自然数，整数，有理数和实数。第3.2节讨论了基于演算的极限和总和的无限操作，并引入了“扩展实数” +∞和-∞。这两个部分中的材料在大多数教科书中都涵盖了有关真实分析的大多数教科书，甚至许多微积分教科书，因此有些读者可能已经熟悉它，而另一些读者可能会从手头上有这样的教科书中受益，以扩展某些点。

第3.3和3.4节在数学上更为先进。第3.3节介绍了Cantor更加精致的“红衣主教和序言”，这可能是数学发展最大的发展，这些发展最大程度地消除了无限范围的许多概念上的困惑。在大多数有关集合理论的教科书中，该材料都详细介绍了，并且在许多逻辑教科书中也讨论了部分内容。它可以主要独立于其他部分读取。

第3.4节讨论了一个最新的数学理论，即无限且无限的数字，为微积分提供了替代设置。这种“非标准分析”理论并没有像真实分析和设定理论一样成为数学课程的中心。因此，大多数读者可能不熟悉，很难在其他地方找到可访问的介绍。尽管非标准的分析并不像红衣主教那样是数学中无穷大的文化理解的一部分，但我们包括在数学研究中越来越感兴趣的话题，并且因为它可以帮助对两者的数学上的认真意义关于无穷大的许多直观想法以及17世纪和18世纪的微积分的一些早期工作。

直到一点点，可以理解涉及无限的各种哲学应用和难题，而无需太多了解无限的数学。但是，数学有助于我们严格制定和解决它们。数学很糟糕的读者可以跳过我们的巡回演出的一部分（尤其是第3.4节），但仍然从后来的部分中受益，但我们鼓励他们努力并继续阅读。对无限的数学理解本身就是一个巨大的成就。

3.1一些数字系统

自然数构成最基本的数字系统。 （一些数学家也将0视为自然数字，但有些数字也不是。）1是自然数字。对于任何自然数字n，n+1（n的后继）也是自然数字。自然数为1,2,3，… - 在加法下关闭：如果N1和N2是自然数，那么N1+N2也是如此。它们在乘法下关闭：如果N1和N2是自然数，那么N1·N2也是如此。我们使用自然数来计算“有多少东西”，尽管当它们应用于无限集时，它们显然是失败的，例如，自然数或自然数本身的一组平方。这就是3.3节中的“无限计算”将扩展。

整数由自然数，它们的添加剂倒置（一个数字及其添加剂倒数为0）和0：0：

…，-3，-2，-1,0,1,2,3，…。

它们形成了在减法下也关闭的最基本数字系统：如果J1和J2是整数，那么J1 -J2也是如此。

有理数可以以J1/J2的形式表示，其中J1和J2是整数，J2≠0。它们构成了包括整数包含整数的最基本数字系统，除了0。如果Q1和Q2是有理数，则Q1/Q2也是有理数，如果Q2≠0。

有理数是密集的：对于任何两个有理数的Q1和Q2，因此Q1＜Q2，至少有一个有理数Q3，因此Q1＜Q3＜Q2，例如，Q1和Q2的算术平均值（Q1+）（Q1+） Q2）/2，它们之间。实际上，对于任何两个有理数的Q1和Q2，因此Q1严格小于Q2，对于任何自然数n，都有n个不同的理性数字在Q1和Q2之间。在整数在两个方向上无限地“向外”传播的地方，理性也无限地将“内向”分开。

但是，理性数字仍然具有“差距”。例如，如果我们考虑方程式，y = x3-2，我们可以验证x的值是y为负的，而x的值则是y为正的。但是，没有理性的数字x完全等于0。要填补这些空白，我们构造了“实数”。

可以通过将每个实际数字定义为理性的削减来构建实际数字。理性的摘要是一对L和R，使得：

每个理性数字恰好属于L和R之一；

L的每个成员都小于R的每个成员；和

L没有最大的元素。

我们将l称为“切割的左图”和r，为“右图”。

对于任何有理数Q，都有一个与之相对应的Dedekind剪切，其中L严格小于Q组成，而R由Q和所有数字组成。但是，还有其他分区，其中r不含最小的元素。例如，我们可以让L包括所有立方体小于2的理性数字，而R包含所有立方体大于2的理性数字。由于没有理性数字的立方体完全等于2，所以这对集合形成一个分区，代表我们认为是2个立方根的实际数字。

如果x和y是两个实数，由左图XL和YL的Dedekind剪切表示，右图XR和YR，我们可以根据这些集合成员的操作来定义添加和实数的操作。 X+Y的左组是添加XL成员和YL成员所产生的所有理性数字集的集合，而右图是添加XR和成员成员的所有有理数集的集合一年（检查每个有理数的数字实际上是在这两组中的一组中需要的一点工作，但是作为Dedekind剪切的其他条件很容易检查。）如果x和y都是正面的，那么我们可以定义右组X·Y（X·）作为将XR成员乘以YR成员所产生的所有理性数字集的集合，左组定义为所有其他有理数的集合。 （如果x或y为负面，则需要对此定义进行一些修改。）然后可以将减法和除法定义为这些操作的倒置，就像理性一样。

实际数字在加法，减法，乘法和除法下按所有实数外关闭。除0外，它们的进一步特征没有“间隙”：对于任何有限的实数集，都有最少的上限，并且对于从实数到实数的任何连续函数，如果该功能在某个时刻为负，而另一点为正面，则必须在某些时候完全等于0。有关进一步的讨论，请参阅Dedekind对Dedekind的贡献的条目数学基础。

我们需要有几种没有空白的数字系统的用途，因此我们使用实数。如果您尝试通过计算特定数量的小杯子来测量大容器中的水量，则无法保证杯子数量将是整数。如果您尝试通过计算脚的长度来测量长距离，则无法保证脚数将是整数。我们可能知道，有4个以上的单元，少于5个。通过移动到这些单元的分数，我们可以更精确（4杯和5至6盎司，或4英尺和4英尺和5至6英寸）仍然不能保证特定的理性数字将提供精确的金额。但是，我们可以通过使用这些单元的越来越小的分数来生成一系列近似值，这些近似值越来越近。因此，在测量“多少”某物，或给出坐标以描述几何空间中一个点的位置时，我们使用实数，以确保我们在下一节中显示的那样，有一些精确的值近似序列收敛到。

3.2限制，无限总和和扩展的实数； +∞和-∞

“缺乏差距”的数学属性称为“完整性” - 正式的说法是，如果每个有限的，增加的元素顺序都具有“极限”，则有序集已完成。这些限制是我们在数字上定义的第一个无限操作。

3.2.1序列的限制

数字序列是数字的有序列表，我们可能会象征：

A1，A2，…

或者

⟨一个⟩。

序列的成员由自然数索引，n = 1,2，…。

限制的形式定义表明序列⟨an⟩会收敛到L，或者仅当序列的术语最终任意地接近l时，且仅在限制时具有限制。正式：

林

n→∞

一个= l

当且仅当

对于每个实际数字ϵ＞0，都存在一个自然的数字n，因此对于每个自然数字n＞n，| and -l | ＜ϵ。

我们会说更多有关以后定义中出现的符号“∞”的更多信息，但现在它只是指示了超出任何特定有限点的序列的行为。

正如我们不久将证明的那样，并非每个序列都有限制，但是我们可以定义重要的序列。如果序列中的每个项至少与上一项一样大，则序列正在增加。如果有一些实际数字大于序列中的每个项，则序列是有限的。事实证明，每个有限的，增加的序列都有一个限制。用较精细的测量单元对测量某些物理量的连续近似值将构成一个有界数的数字顺序，因此，限制的定义使我们能够给出任何物理数量的数值表示。

为了证明每个有界的，增加的序列都有一个限制，请考虑定义序列中各个实际数字的dedekind剪辑。让我们定义一个新的Dedekind，将其左组放在序列中至少一个术语中的左组中包含每个理性，并将其正确的设置包含在所有正确组中的所有理性集合条款。由于序列是有限的，我们知道正确的集合是非空的，并且dedekind剪切的其余属性不难检查。

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