无限（一）

1. 哲学中的无限：一些历史评论

2. 数学中的无穷大：历史简要概述

2.1 穷举法

2.2 不可分与无穷远点理论

2.3 微积分

2.4 计算无限集合

3. 数学：数字系统、康托尔天堂及其他

3.1 一些数字系统

3.2 极限、无限和以及扩展实数； + 和 - ∞

3.3 计数的无穷大

3.4 无穷小和超实数

3.5 总结

4.数学本体

5.失去天堂？涉及无穷的悖论和谜题

5.1 希尔伯特酒店

5.2 汤姆逊灯

5.3 瘫痪

6. 概率

6.1 概率数学中的无穷性：基础知识

6.2 概率解释的无限性

6.3 概率数学中的无限性：更高级的问题

7. 决定

7.1 无限多种可能的行动：更好的葡萄酒

7.2 无限多个状态：圣彼得堡悖论

7.3 无限效用：帕斯卡赌注

7.4 无限的效用流

8. 空间和时间

8.1 空间和时间的二律背反

8.2 非欧几何、相对论时空和宇宙拓扑

9. 结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 哲学中的无限：一些历史评论

在希腊语中，“to apeiron”的意思是“无限”：“a”表示匮乏，“peras”表示“限制”或“束缚”的概念。从词源学来看，英语单词“infinite”来自拉丁语“infinitas”：“in”=“not”，“finis”=“end”、“boundary”、“limit”、“termination”或“决定因素” 。在当代英语中，“无限”一词有多种用法：

在宽松或双曲的意义上，“无限”意味着“无限或极其巨大”、“超出测量或计算”、“巨大”或“广阔”。

在反映其词源历史的严格但非数学的意义上，“无限”意味着“没有限制或结束”、“无限”、“无限”、“无尽”、“在范围（或持续时间，或其他某种意义上）不可估量的巨大”。尊重）'。这种严格的、非数学的意义通常应用于上帝和神圣属性，以及空间、时间和宇宙。

还有一种严格的数学意义，根据这种意义，“无限”数量或大小是那些可测量但没有有限测量的数量或大小； “无限”线、面或体积是没有有限测量值的可测量线、面或体积。

与意义（2）和（3）之间的区别相关的是无穷大的形而上学意义和数学意义之间的区别。这已被有效地应用于一些对无穷大最全面的解释中，例如 Moore（1990/2019；有关最近的另一种包括对无穷大历史的广泛讨论的治疗方法，请参见 Zellini（2005））。摩尔认为形而上学的概念与“整体性”、“绝对性”和“完美性”的概念密切相关。虽然我们的条目重点关注严格的数学意义上的“无穷大”，但人们无法清楚地区分该学科历史发展中的各种含义，尤其是在第一阶段。此外，从一开始就将无限视为神学的“完美”，并不能反映历史发展的复杂性；例如，我们在 13 世纪发现了一些思想家的痕迹，他们将有限性归因于上帝，或者在任何情况下都否认上帝的无限性，即使没有明确说明上帝的有限性（见 Coté 2002, 127-144）。

自第一个前苏格拉底片段以来，无限一直是西方思想的核心关注点。它涉及哲学家阿那克西曼德（Anaximander，他在公元前 6 世纪鼎盛），他将存在事物的原理和起源视为 apeiron。在阿那克西曼德那里，这一原则既有本体论的意义，也有伦理的意义。毕达哥拉斯学派（公元前六世纪）消极地看待无限，并强调与之相关的不确定性的缺乏。他们还赋予了它空间内涵。事实上，在公元前 5 世纪，塔伦图姆的毕达哥拉斯阿基塔斯（参见 Huffman 2005, 540-550）基于假定宇宙边界似乎必然带来的矛盾，给出了关于宇宙空间无限性的以下论证。如果宇宙是有边界的，那么人们可以将手或一根棍子伸出其边界之外，以找到真空或物质。这将是世界的一部分，因此不能因为矛盾的痛苦而受到限制。所以世界是无边无际的。阿基塔斯认为世界是无限的。康德同样在他的宇宙学矛盾中确定了无界和无限。在第 8 节中，我们将看到这些概念应该加以区分，但从数学上精确地阐明这种区别必须等到 19 世纪新的空间概念的发展。

埃利亚学派（巴门尼德和梅利苏斯，公元前五世纪）持有一元论的现实概念，即“一”，梅利苏斯宣称它是无限的。这种一元论的现实观将变化（或生成）视为表象，而芝诺著名的无穷悖论（参见芝诺悖论的条目）就出现在这种背景下。这里只需说芝诺的悖论（阿喀琉斯、箭等）涉及无限小，旨在支持巴门尼德的一元论。德谟克利特在公元前 5 世纪和 4 世纪工作，捍卫了一种无限虚空和无限多原子的原子论。此时，无限已经显示出它的一些主要方面，被某些人视为实体，而另一些人则将其视为复数（原子、时间、几何点等）。

如果说与无限有关的问题的紧迫性通过芝诺的悖论达到了希腊人的意识，那么最有影响力的讨论要归功于亚里士多德。为了正确地看待亚里士多德的讨论，我们需要列出数学无穷性不仅在哲学中出现的多种方式，正如我们所描述的，而且还在数学中出现。我们已经通过阿基塔斯看到了宇宙空间无限的概念。但在数论中，自然数被认为是无限的，至少从某种意义上说，给定任何自然数都可以找到更大的自然数。在几何学中，我们通过加法（任何线段都可以延长）和除法（任何线段都可以减半）来找到无限。因此，数学呈现出无限的迭代过程。处理平面和立体图形测量中的迭代过程的最复杂的技术是由 Eudoxus（公元前 4 世纪）开发的，我们将在 2.1 节中讨论它。

当亚里士多德（公元前 4 世纪）发展他对无限的讨论时，这个概念已经在哲学、数学和自然哲学（包括宇宙学、天文学和物理学）中感受到了它的存在。亚里士多德在无限历史中所扮演的角色怎么夸大都不为过。他阐明了一些重要的概念区别，这些区别影响了随后的所有讨论。他是一个有限主义者，因为在他的宇宙中，一切都是有限的。宇宙是有限的，物体是有限的，几何段是有限的，每个数字都是有限的，等等。然而，有些过程可以无限迭代，从而产生他所说的“潜在无限”。他事实上声称“在某种意义上[无限]存在，但在某种意义上又不是”。 （物理学 3.6，206a13-14）。

任何任意段的长度都可以延长（受到下面提到的宇宙学限制）或无限制地减半，但在每个阶段我们都保持在有限范围内。时间在两个方向上也可能是无限的，并且可以无限制地划分。

这一概念与“实际无限”的概念相对立，如果某些无限过程可以“同时”完成、执行，就会产生“实际无限”。如果实际的无限是真实的，那么我们就可以拥有无​​限长的物体、无限长或无限小的线段、自然数的整体、无限数、无限多个时间瞬间等。亚里士多德拒绝将无限作为一种原始实体的概念正如我们在阿那克西曼德那里遇到的那样，他对无限的大部分讨论都是在物理背景下进行的，即与现实的时空特征有关的背景。因此，亚里士多德对无限的讨论完全符合我们所描述的无限的“数学”概念，其中无限首先适用于量值（连续或离散）和可量化的东西（时间、广延、数字等）。 ）。他的《物理学》讨论了无限大的事物，因为世界是有限的，因此被排除在外；无限小被排除在外，因为物质的划分只能是潜在无限的，因此在每个阶段都是有限的，永远不会达到无穷小量——一个小于任何有限量的量，同时也是某种东西。排除无限大还导致亚里士多德不能以无条件的方式通过加法来允许潜在的无穷大（否则任何有限的扩展都可以与其自身相加足够多次，从而变得比世界的大小还要大）。那么，加法无穷大可以被概念化为除法无穷大的一种逆运算，它为我们提供了潜在无穷大存在的主要证据。这就是下面引文中对比“但是”的隐含力量。亚里士多德写道（我们的重点）：

那么，“存在”可能意味着“潜在地存在”或“实际上存在”。无限要么是加法，要么是除法。已经指出，在实际操作中，幅度并不是无限的；但它在分割上是无限的——不难反驳不可分割的线——因此它仍然是无限的潜在可能性。 （物理学 3.6，206a14–24）

亚里士多德对势无穷和实际无穷的区分一直到当代都产生了重大影响。 （有关亚里士多德关于无穷大的进一步讨论，请参阅 Hintikka (1966)、Lear (1980)、Kouremenos (1995)、Coope (2012)、Nawar (2015)、Cooper (2016)、Ugaglia (2018) 和 Hussey 对亚里士多德的评论 ( 1983）。）

亚里士多德的概念除了与物理连续体的构成有关的问题之外，还在宇宙学中产生了重要的影响。虽然他认为宇宙是有限的，但他认为天体的运动没有开始也没有结束（因此，正如我们所指出的，对他来说时间在两个方向上都可能是无限的）。 “世界的永恒”问题锻炼了亚里士多德之后一些最优秀的神学和哲学头脑，特别是在神学问题上。例如，约翰内斯·菲洛波努斯（Johannes Philoponus，公元 6 世纪；见 Philoponus 2004）主张世界的开始，声称相反的论点将导致无穷大悖论（我们在第 2.4 节中对此进行讨论）。

菲洛波努斯提出了另一个关于无限时间的无限悖论，我们将在安萨里（公元 11 世纪）提出的版本中讨论这一悖论——参见

关于安扎里反对意见的补充

更紧迫的意义是放弃亚里士多德关于宇宙有限性的观点，以及科瓦雷（Koyré，1957；另见 Jammer 1993）所描述的文艺复兴时期从有限宇宙到无限宇宙的转变。虽然哥白尼（1473-1543）将太阳置于宇宙的中心，但他仍然使用有限的宇宙模型。在伊壁鸠鲁 (341-270)、哈斯代·克雷斯卡斯 (1340-1412) 和尼古拉斯·库萨努斯 (1401-1464) 的预示下，佐丹奴·布鲁诺 (1548-1600) 捍卫了无限多个世界的观念，每个世界都有无限的大小，同时存在。布鲁诺是一个很好的例子，说明了无限的数学和神学概念是如何在这个概念的历史中同时使用的。例如，在《论无限、宇宙和世界》（1584）中，他从上帝的无限力量到宇宙的无限进行论证。

相比之下，开普勒和伽利略并不认为世界大小是否无限的问题可以通过任何一种方式得到解决。开普勒认为无限宇宙的概念是一种形而上学的概念，并非建立在经验证据的基础上。伽利略在 1624 年写给弗朗切斯科·英戈利的一封著名信中声称，人类永远无法知道宇宙是有限的还是无限的。空间的渐进几何化（参见 De Risi 2015）催生了牛顿的引力理论，其中宇宙在空间和时间上无限延伸。物理空间与欧几里得几何学的空间等同起来，这样物理空间就被几何化了。

当牛顿将空间等同于“感觉中枢 Dei”（“上帝的感觉中枢”）时，神学元素仍然存在。在接下来的两个世纪里，宇宙学是根据牛顿理论发展起来的：一个无限的欧几里得空间，平坦且绝对，它为所有其关系由万有引力构成的物理对象提供了容器。

19世纪中叶的黎曼，以及相对论宇宙学，人们回到了有限的宇宙，但宇宙学家现在充分意识到，世界的有限性问题在很大程度上是一个悬而未决的问题，关键取决于曲率和空间拓扑（参见第 8.2 节）。

我们上面的讨论指出了无穷大概念的几个基本方面，这些方面在后面的讨论中将很有用。显然，更数学的无穷大概念和定性的无穷大概念之间存在许多接触和/或交叉领域。无穷大的定性概念不能轻易地直接表征，但一般来说，它们吸引似乎没有明确定量方面的特征。例如，上帝可能被定义为无限的，因为它没有有限生物的任何限制；在某些经院哲学中，这一属性被解释为上帝与有限的生物不同，是本质与存在一致的独特实体。通常与此相伴的是，上帝的无限性是不可理解的，这可能是一个很好的指标，表明我们无法对定性无限性做出积极的解释。同时，关于无限神力或善良的主张提供了与定量概念的可能联系，这解释了为什么定量概念和定性概念之间的界限不那么清晰。

事实上，根据一些作者的说法，定性和数学概念是密不可分的。例如，考虑一下帕斯卡在射影几何和他的《思想录》中对无限距离的使用，他在其中思考了有限的人类和无限的上帝之间的无限距离（和不成比例）（参见 Cortese 2015）。以下段落代表了诉诸有限性和无限性在帕斯卡护教学中所发挥的强大和启发性作用：

人性本质上到底是什么？虚无与无限相比，一切都与虚无相比，虚无与一切之间的中点，无限远离理解的极端；事物的终结和它们的开始[原理]对他来说都隐藏在一个难以理解的秘密中。 ⟨那么他能想象什么呢？他⟩同样无法看到他来自的地方的虚无，以及他被覆盖的无限[englouti]。 [...]（Pascal 2008：70；我们添加了法语原文，其中翻译似乎不太忠实）。

此外，帕斯卡的赌注也与无限奖励形式的无限概念密切相关。 （参见第 7.3 节关于帕斯卡的赌注）这些主题对于宗教哲学、决策理论和哲学人类学非常重要。

然而，本条目不涉及那些与无限神圣力量、无限模式相关的无穷概念，并且一般不涉及那些不属于数学类型的无穷概念。我们无意低估普罗提诺、库萨努斯、笛卡尔、帕斯卡、斯宾诺莎、费希特、黑格尔和克尔凯郭尔等巨人对无限历史的贡献的重要性。莱布尼茨和康德也属于这个名单，但我们稍后会详细介绍他们。但是，如果我们试图追求所有这些发展，即使是在肤浅的层面上，我们的条目也会失去焦点，而对定性无穷大的处理本身就值得一篇文章。因此，我们满足于一份参考文献列表，读者可以通过这些参考文献重建对该主题的贡献。

有关无穷历史的概述，包括数学和形而上学方面，请参阅 Moore (1990/2019) 和 Zellini (2005)。有关亚里士多德关于无限的观点的进一步讨论，请参阅以下条目：亚里士多德；亚里士多德与数学；以及亚里士多德和形而上学。对于古代和中世纪的无穷概念，请参见 Sweeney (1972)、Sweeney (1992)、Kretzmann (1982)、Coté (2002)、Biard 和 Celeyrette (2005)、Duhem (1987)、Dewender (2002)、Davenport (1999)、默多克 (1982)、乌克尔曼 (2015)；对于近代早期，请参阅 Nachtomy 和 Winegar (2018)；对于康德和唯心主义时期的无限，请参见 Kreis (2015)； 《Monnoyeur》（1992）跨越了所有时期。

有关宗教哲学中的无限的更多信息，请参阅以下参考文献。

关于神圣无限：Koetsier 和 Bergmans (2005)、Göcke 和 Tapp (2018)、Heller 和 Woodin (2011) 最后部分的论文，以及各种条目，包括上帝和其他终极、本体论论证、Nicolaus Cusanus、Robert Grosseteste、约翰·邓斯·斯科特斯和伊本·阿拉比；

关于上帝创造中的无限性，除了我们随后讨论空间和时间是否无限之外：宇宙学和神学、宇宙论论证、微调、无限回归论证、充足理由原理以及现代物理学中的存在和生成的条目；和

关于“天堂无限”，除了我们随后对帕斯卡赌注的讨论：帕斯卡赌注的条目、生命的意义、宗教和道德。

值得注意的是，康托尔对集合论的发展受到了神学考虑的影响：例如，参见 Dauben (1990) 和 Tapp (2005)。

正如我们所说，我们大多将科学和社会科学中的无限主题排除在我们的视野之外，尽管看到

无限理想化的补充。

就我们在​​科学中讨论无穷大而言（特别是在第 8 节），我们的重点主要是所涉及的数学机制，它有着悠久的历史。这将我们带入下一节的主题。

2. 数学中的无穷大：历史简要概述

在本节中，我们将首先展示希腊数学如何通过使用穷举法（3.1）来刻意避免在表示其结果时使用无穷大。然后我们将看看 17 世纪数学中无限对象和过程的广泛使用（几何中的不可分理论和无穷大点（3.2），微积分中的无穷小（3.3））以及伽利略将计数扩展到无限集合的问题（ 3.4）。到 18 世纪初，数学经历了第一次“无限革命”（第二次革命与康托尔的名字有关，见第 3 节）。无穷大已经成为一个紧迫的基础问题，这将引导我们进入第三部分。

2.1 穷举法

我们已经提到，潜在的无穷大从一开始就出现在希腊数学中，最明显的是自然数列以及线段加法和除法的几何运算以及其他几何量。从欧多克索斯开始，希腊数学家开发了一种测量平面和立体图形的技术，即使在情况似乎迫使无限“极限”过程的情况下，也避免求助于无限。这种技术，今天被称为穷竭法（该表达是由圣文森特的格雷戈里在 17 世纪创造的），可以在欧几里得的《几何原本》第十二卷中找到，然后出现在阿基米德（公元前 3 世纪）的一些最壮观的结果中。 ）。这个想法是用双重归谬法代替无限近似。这意味着，通过注意到 C＜T，C＞T 或 C=T，然后表明假设 C＜T 和 C，可以显示两个图形（例如圆 C 和相关三角形 T）的面积或体积相等>两者都会导致矛盾。 （这里“C”和“T”指的是图形及其面积/体积，具有系统性模糊性。）进一步的讨论可以在

关于用穷举法和不可分法求圆的补充。

希腊数学通常避免求助于实际的无限，学者们谈到了希腊数学典型的“无限恐怖”。就数学结果在最终和公开演示中的呈现方式而言，这通常是正确的。然而，人们应该记住，当人们审视希腊数学家所追求的启发式策略时，并不会发现这种“无穷大的恐怖”。就阿基米德而言，这一点通过他的方法（发现于 1906 年；参见 Netz 和 Noel 2007）的幸运重新发现而得到证明，我们看到他使用无限和机械考虑作为他用来发现几何定理的工具（参见 Knorr 1982 年、1986 年和朱利安 2015 年）。例如，在描述求抛物线段面积与相关三角形面积之比的方法时，阿基米德认为几何图形（在本例中为抛物线段和相关三角形）是由无限多个组成的。一维分割，然后利用杠杆定律来确定相关区域之间的关系。在最近才可用的方法文本的一部分中（命题 XIV 的一部分，参见 Netz 和 Noel 2007），阿基米德明确地使用无限集合进行操作。

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