逆向数学（五）

可以在WKL0中开发的数学是广泛的，而Prima则可以为辛普森的立场提供很多实质。但是，这种观点吸引了其批评。请注意，正如Detlefsen（1990）所做的那样，首先，人们可能会完全拒绝保守性约束。我们将忽略对这种批评，因为谈论它们将使我们太远。 Sieg（1990）所构成的第二种批评将辛普森（Simpson）带到任务不足以忠于历史希尔伯特（Hilbert）计划。给出这一要求的关注，与第一种异议相似，需要比该条目更详细的研究，但是读者可以针对希尔伯特计划的入门介绍，以调查此问题的起点。第三类的批评者指出，尽管WKL0的强度，但数学的大部分部分（即使我们限制自己限于所谓的“普通数学”），因此可以提出更强的公理，因为第4.2 – 24.4节中的结果证明了这一点。当然，这是对辛普森（Simpson）有限的还原主义中可以恢复的数学程度的公平批评，但从某种意义上说，这也是如此放置，因为正如辛普森（Simpson）强调的那样，他的计划仅是对希尔伯特（Hilbert）的部分认识的旨在的一部分。不是一个完整的。此外，正如辛普森（Simpson）指出的那样，有资源的还原主义不限于WKL0，因为严格的WKL0延伸仍然是PRA上的π02保守性，包括Brown＆Simpson（1993）引入的系统WKL+0，甚至WKL0++0++0 RT22（Patey＆Yokoyama 2018）。

更敏锐和微妙的论点源于保守性定理本身的地位。仅WKL0是π02-对PRA保守的事实不足以建立真正有限的减少，因为为了提出呼吁，必须从限制角度来证明保守性结果。可以通过吸引Sieg（1985）定理的原始递归证明转换来部分反驳这种异议，该定理会将任何π02句子的任何wkl0证据转换为同一句子的PRA证明。如果我们接受泰特的论文，那么正如希尔伯特（Hilbert，1928）所期望的那样，证明转型是一种从无限制的证据中产生限制性证明的限制程序。

但是，最初的异议可以以更具破坏性的方式阐明，这是根据Tait（1981）已经提出的观点，即他的论文提供了对有限主义的外部分析，而不是从限制的角度来看的内部分析。在这种情况下，义工无法评估Tait的论文，因为它们的特征涉及无限概念，例如任意功能f：n→n，而f：n→n既不理解也不接受。伯吉斯（Burgess，2010年）认为，因此，义大人无法理解西格的保守性证明，因为它给出了一种将正式系统中的证据转换为理想数学，wkl0的证据，成为内容式限制系统中的证明。取而代之的是，他们只能将其理解为将一个正式系统中的证据转换为另一个形式的证明的机制。然后，他们可以努力地验证是否通过应用证明转换获得的每个PRA证明确实是一个限制证明。但是，他们不能接受一般的说法，即所有此类证据都是有条理的证据，因为这构成了PRA的反思原则，这意味着PRA的一致性，这是Tait的第二个论文和Gödel的第二个不完整定理的陈述，是在有限上是不可证明的（Giaquinto 1983； Dean 2015）。

5.4算术确定性和预定性

自Hermann Weyl的专着Das Kontinuum（Weyl 1918）以来，算术确定性已与数学基础的谓词方法联系起来（Weyl 1918）。韦尔认为，实数的当代固定理论结构和相关的分析理论是“在大量基于沙子上建造的房屋”（Weyl 1994：1）。他为自己设定的任务是开发一种基于罗素悖论的分析理论，这比罗素的类型理论体现了数学上更自然的方法。正如Weyl本人所指出的那样，Das Kontinuum的思想与Russell和Poincaré的方法有很多共同点。他们同意拒绝不可思议的理解，韦尔的层面系统与罗素的类型理论相对应（Russell 1908； Whitehead＆Russell 1910）。因此，Weyl的观点被称为谓词。尽管有这些共同点，但Weyl对他认为的庞加莱说法的不精确是批评，他强烈不同意罗素的几个支柱。特别是，他拒绝了罗素逻辑主义的一些简化主义方面，这些方面通过等价阶级定义了自然数，而韦尔将其视为基本。 Weyl还拒绝了Russell的可降低性公理，并将其立场“由名副其实的深渊分开”（Weyl 1994：47）。

在开发他的系统时，Weyl的指导下有两个关键观点。首先，他同意庞加莱的观点，即关于迭代思想的数学思想的基础，这是由自然数的无限顺序体现的。其次，他不仅拒绝幼稚的理解，而且每个概念（无论明确定义）都有相关的扩展。取而代之的是，他提出了公理或定义原则，只有我们现在将其视为一阶可定义属性的公理可以在其上毫无疑问地具有扩展。 Weyl接受了他的系统的使用将导致丢失在Cantor和Dedekind的固定理论正统观念下接受的一些数学原则。这样的伤亡是最小的上限公理，这一原理是，每一个有限的实数都具有最小的上限。然而，在魏尔系统中仍然存在的最小上限公理的许多重要后果，例如单调收敛定理和Heine -borelem定理的顺序形式。

在达斯·康蒂尼姆（Das Kontinuum）发表之后，韦尔（Weyl）从分析的理论观点中迈出了更加激进的一步，并接受了布鲁维尔（Brouwer）的直觉主义。直到1950年代，Grzegorczyk（1955）使用新的可计算性和可确定性理论的新工具重新审视了Weyl的思想时，鉴定分析的主题才再次进行。 Grzegorczyk用他所说的分析确定了Weyl的分析，与当时的许多分析相同，这意味着每个实际数字都必须由小学（即一阶）定义给出。这相当于研究分析，这些分析限制为ACA0的最小ω模型，该类别的算术集算术集。 Kondô（1958）和Mostowski（1959）采用了类似的方法进行基础或算术分析。这三个都受层次理论的发展及其与描述性集合理论的关系的影响，该理论从描述性的复杂性方面对实数进行了分类。尤其是康多似乎受到法国分析师和“半智慧主义者” Borel，Baire和Lebesgue的影响，后者最初开发了我们现在称为20世纪初期的描述性套装理论。他们使用Cantorian集合理论的工具来定义集合和功能的层次结构，从其构造的复杂性（Kanamori 1995），但对Cantorian图片的许多方面持怀疑态度，包括选择的公理（Moore 1982）。

Grzegorczyk和Mostowski均提供与ACA0密切相关的算术分析方法的公理。 Grzegorczyk的公理（Grzegorczyk 1955：337–338）是Peano Arithmetic的公理，以简单的类型理论提出，但理解仅限于公式，其中唯一的量化器是最低类型的量化器。因此，这种限制的理解原则是算术理解的一种形式，尽管适用于更高类型和一组自然数。另一方面，Mostowski提供了源自Gödel -Bernays Set理论GB的公理化（Mostowski 1959：184-185）。 GB是一种两组理论，其中第一种变量范围范围超过了集合，而第二种变量是类别。在莫斯托夫斯基的系统中，第一种变量范围范围超过自然数，而第二种变量范围比自然数组的集合。这会产生一个接近ACA0的公理系统，其最小ω模型是Arith。

正如Feferman（1988）所探讨的那样，ACA0并不完全与Weyl的系统相对应。首先，尚不清楚Weyl是否会接受完整的诱导方案（π1∞-IND），还是仅仅是诱导公理（IND）。 ACA0仅具有后者，并添加前者会产生更强大的系统ACA。 Weyl还承认迭代原则（原理8）并非一阶定义，尽管他的方法中的这种差异是他不知道的（Feferman 1998：265）。然而，ACA0的公理可以是基于Das Kontinuum给出的谓词理由的，其实质性的数学强度表明Weyl认为只有一阶理解的系统对于许多应用来说是足够的。有关预期性及其历史发展的进一步阅读，请参见Feferman（2005）。 Dean＆Walsh（2017）的§2.2提供了更完整的说明Grzegorczyk，Kondô和Mostowski的算术分析的开发。

5.5算术托管递归和预期性的极限

在发现可计算性理论层次结构（第5.4节）之后，对谓语数学的重新兴趣，导致了一系列概念和技术发展，从而扩展了和完善了谓词的确定性和谓语可促进性，并提出了谓词。根据计算性理论和证明理论对这些概念进行了复杂的分析。在Grzegorczyk，Mostowski和Kondô对Weyl的预性论的算术分析（第5.4节）之后，Kreisel（1960）建议，如果它们出现在高氧化层次中，则一组自然数是谓词。在证明理论方面，这导致鉴定Δ11-CA0和σ11-AC0等系统为谓词（Kreisel 1962），因为高氧化剂集的类别是两个系统的ω模型。

然而，克雷塞尔的提议似乎仍然包含不可思议的组成部分。作为自然数的一个子集，任何高氧化良好的顺序都是可以定义的，因为根据Spector（1955）的结果，这种井井有条的顺序实际上是可以计算的。但是，实际上订购的事实实际上并不是一个可以确定的井井有条的事实：作为一个良好的顺序是π11属性，因为它涉及在订购中量化的所有可能的无限下降序列，或等效地，在订购的所有子集上。实际上，所有可计算顺序的代码集合Kleene的O的集合是π11结合的，因此是典型的不可用的对象（Kleene 1955：207）。克雷塞尔（Kreisel，1960：27）已经指出了这种担忧，并研究了哪些可计算线性订购的想法可以被证明是良好的井井有条，这导致了1960年代的一系列进步。

在高氧化层次结构中体现的是分支的概念：将p（ω）中的集合分为通过跨足迭代建立的水平。罗素（Russell）试图克服固定理论悖论并以逻辑学家的基础找到了数学，这一想法已经以几种形式出现。在分析和自然数集的谓语理论的背景下，分析分析层次结构是一组自然数的延伸层次结构，由条件定义

r0 =∅，rα+1 =（rα）∗，rλ=⋃β<λrβ当λ为极限序数时，

其中d ∗是从d⊆p（ω）获得的集合，通过放置x∈D∗ iff iff有一个l2-formulaφ，使得所有n∈X，n∈X↔φ（n） φ中的量化仪仅限于D范围。与预期性的联系在于，仅当已经证明已经存在量化范围的范围，在层次结构的构建中，二阶定量才能接受。 Kleene（1959）表明了高氧化集集的正好是出现在阶段ωCK1之前的分析分析层次结构中的那些，即hyp =rΩck1。

一旦在图片中作为序列α的条件被认为是谓词的条件，就需要正式的系统，其中这种α控制了允许的谓词确定性的长度。这引起了正式分析系统的跨足过程的发展。与序数α相关的系统RAα具有变量Xβ1，Xβ2，…对于每个β≤α，并且公理主张所有β≤α都存在分析分析层次的β-The水平的集合。

然后，可以在此设置中定义谓词序列。如果α是谓语序数，则≺为（set编码a）线性排序，而β为≺的顺序类型，则如果raα⊢WO（≺），则β是谓词。这有时称为自主条件。因此，谓语序列是通过从0开始而产生的，并证明越来越强的正式系统Raα在某些较弱的SystemRAβ中对β＜α的较弱的SystemRAβ中的谓词是谓词。 Feferman（1964）和Schütte（1965b，1965a）独立证明，最不可思议的序数是γ0，现在被称为feferman -SchütteOrdinal或prepiation节制。因此，我们可以将特殊证明的语句表征为可以在α＜γ0的某些RAα中证明的语句。

ATR0的证明理论序数也是γ0，就像所有分析分析的谓语系统的结合ra ＜γ0=⋃α＜γ0RAα一样。此外，ATR0在ra＜γ0上是π11保守的，因此在Atr0中证明的任何π11句子φ也将在某些α＜γ0的raα中证明 - 在顺序的单词中，φ具有谓词证明。与证明理论中的还原计划一致，从理论上证明为α＜γ0的SystemRaα可降低的系统称为可观降低。 ATR0不能显着降低，因为从理论上证明它仅是降低​​的所有谓词子系统的分析，并且可以证明任何单个RAα对于α＜γ0的一致性。但是，由于上述保守性结果，ATR0被认为是局部降低的，因为在谓词分析的谓词子系统中，ATR0的任何π11结果都可以恢复。

该属性导致辛普森（Simpson，1985）提出，ATR0可以在类似于有资源还原主义计划的谓语还原主义计划中发挥重要作用（§5.3）。这样一个程序的价值将在于一个事实，即虽然算术传播递归等同于许多数学定理，这些定理在更明显的谓语ACA0中无法恢复，但在ACA0和ATR0之间的差距中很少有结果。克雷塞尔（Kreisel）在1960年代已经指出了这种情况，他指出

在工作数学家开发的分析部分中，定理是通过算术理解公理可以衍生的，或者根本不是谓词（当相对与高度功能相关时甚至不正确）。 （Kreisel 1962：316）

相比之下，ATR0在描述性集理论，代数和其他数学领域中证明了许多定理，这些定理在单个谓语系统中无法证明。谓语主义者可以用工具使用它来证明π11定理的想法，这些定理是由保守性定理被膏为合法的，是具有吸引力的一种想法。

然而，这种观点很容易受到伯吉斯（Burgess，2010年）对有限简化主义的相同批评的版本。尽管预性主义者将能够证明保守性定理，并发现任何π11定理都可以在某些raα中得到证明，但这本身并不能为他们提供该定理的谓语可供应性，因为鉴定具有预期性可预订性的性能是在ra＜γ0中是一种外部分析，基于γ0是一个明确定义的对象，这一事实是，如果feferman –Schütte分析是正确的，那么预性主义者就无法同意。相反，他们必须验证减少的证据确实可以接受，并且在过程中检查相关的α是谓语序列。因此，还必须在伯吉斯指出的那样，还必须躺在鉴定可预订性的捷径中，而是通过通过算术算术递归递归的公理方案获得的某种概念上的优势。此外，似乎使谓词还原主义成为有吸引力的前景的非常反向的数学结果也带来了各种问题。由于诸如完美集体定理之类的陈述不仅可以在ATR0中证明，而且实际上等同于其特征公理，因此它们本身就是严格来说是不可思议的。因此，只有他们的π11后果才能通过还原获得，而不是定理本身。

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