笛卡尔的数学（二）

尽管维埃特的程序非常强大，但对于实践数学家来说仍然存在问题。我们是否应该像 Viète 所敦促的那样，接受纽西斯公设“并不困难”，从而将其作为几何学的基本构造原则？我们是否应该跟随 Viète 的说法，声称其他在几何中具有显着解决问题能力的曲线（例如螺旋线和四边形）不是合法的几何曲线，因为它们无法通过 neusis 构造？此外，维埃特在代数和几何之间建立的联系也存在疑问。特别是对于笛卡尔来说，存在这样的问题：用方程表达的代数问题的解和需要构造曲线的几何问题的解之间是否可以建立更深层次、更基本的联系。然而，笛卡尔在研究几何和代数问题十多年后，直到 1630 年代初才完全解决这些问题。

2.笛卡尔的早期数学研究（约1616-1629）

2.1 文本和来源

根据《方法论》（1637）第一部分中包含的自传叙述，笛卡尔在其中描述了他在“欧洲最著名的学校之一”时学到的东西（AT VI，5；CSM I，113），人们普遍认为，笛卡尔最初的数学研究是在他还是拉弗莱什学院的学生时开始的。他在《Discourse》中报告说，当我们他年轻的时候，他的数学研究包括一些几何分析和代数（AT VI，17；CSM I，119），他还提到他“喜欢数学，因为数学的确定性和准确性”其推理不证自明”（AT VI，7；CSM I，114）。然而，1637 年的自传素描中没有提及具体的文本或数学问题。因此，我们依靠信件中的评论来了解笛卡尔在拉弗莱什数学研究的更具体细节，这些评论强烈表明克拉维乌斯是笛卡尔最早（也许甚至是最初）数学研究的关键人物。例如，在 1646 年 3 月约翰·佩尔 (John Pell) 写给查尔斯·卡文迪什 (Charles Cavendish) 的一封信中，我们有充分的理由相信，大约1616 年，当笛卡尔在拉弗莱什 (La Fleche) 读书时，他阅读了克拉维斯 (Clavius) 的《代数》(1608)。佩尔在报道同年早些时候在阿姆斯特丹与笛卡尔的会面时特别写道，“[笛卡尔]说，除了 30 多年前阅读的克拉维代数之外，他没有其他代数老师”（引自 Sasaki 2003, 47；参见AT IV, 729–730 和 Sasaki 2003, 45–47 了解该信的其他相关部分）。此外，在 1629 年 11 月 13 日写给梅森的信中，笛卡尔提到了克拉维乌斯注释版《欧几里得几何原理》的第二版（1589 年），其中，如上所述，克拉维乌斯提出了他的四边形的逐点构造，并使用曲线来求解化圆为方的问题（AT I，70-71；信中提到克拉维乌斯的部分在 Sasaki (2003), 47 中翻译）。根据 Sasaki（2003），可以合理地得出结论，笛卡尔至少知道克拉维乌斯的教科书《几何实践》（1604），该教科书被纳入拉弗莱什数学课程的一部分。 （参见 Sasaki 2003，第二章，关于克拉维乌斯对 1600 年代初耶稣会学校数学课程的影响和纳入。）

尽管我们对笛卡尔在拉弗莱什学习的数学的证据还很粗略，但我们相当肯定，当笛卡尔于 1618 年在荷兰布雷达遇见艾萨克·贝克曼时，他正式开始进入早期现代数学的辩论。笛卡尔探索了将数学应用于自然哲学的成果，并讨论了与物理数学有关的问题。正是在这一时期，笛卡尔为贝克曼创作了他的《音乐纲要》，其中他讨论了数学在音乐中的应用，并且还讨论了自由落体定律。 （比较 Koyré 1939, 99–128 和 Schuster 2013，第 3.5 章关于笛卡尔在早期文本中对自由落体的处理。有关笛卡尔在此期间光学物理数学研究中对因果知识的追求的讨论，请参见 Schuster 2013 ，第 3.6 章。）

除了对应用数学有共同兴趣之外，贝克曼和笛卡尔还讨论了几何和代数方面的纯数学问题，笛卡尔对此类问题的兴趣一直延续到 1628 年至 1629 年，当时他旅行结束后回到荷兰与贝克曼会面。途经德国、法国和意大利。我们对笛卡尔在这十一年期间在纯数学方面取得的成就的理解依赖于以下来源：

1619 年写给贝克曼的五封信，贝克曼将其抄录在他的日记中。贝克曼的日记于 1905 年被找回，并在大约 35 年后由德瓦尔德出版，分为 4 卷，以下简称贝克曼（1604-1634 年）。这些与笛卡尔数学相关的信件的摘录包含在 AT X 中。（有关我们如何获得这些信件的更多详细信息，请参阅 Sasaki 2003, 95–96。）

Cogiitationes privatae（私人反思），可追溯到约。 1619–1620 年，莱布尼茨于 1676 年复制。该文本包含在 AT X 中。（有关我们如何获得该文本的更多详细信息，请参阅 Bos 2001, 237, Note 17 和 Sasaki 2003, 109。）

progymnasmata de solidorum elementis是一种几何文本，其历史文本约为1623年左右，莱布尼兹（Leibniz）于1676年部分复制。它已由帕斯奎尔·约瑟夫·费德里科（Joseph Federico）（1982）和Pierre Costabel（1987）翻译成英文。

笛卡尔（Beeckman）于1628年回到荷兰后给贝克曼（Beeckman）送给贝克曼（Beeckman）的一个标本。

1629年初，贝克曼（Beeckman）在代数上的一些文本。这些文本由贝克曼（Beeckman）在1629年2月的日记中转录，可以在贝克曼（Beeckman）第四卷（1604– 1634年）中找到。

1630年代，笛卡尔写了几封信，其中笛卡尔指的是他在1618-1629期间完成的一些数学研究。

看一下这些数学作品中发现的一些问题和建议将有助于将笛卡尔置于他的早期现代数学背景下，还将有助于强调这一时期的结果，这些结果与与公开书中的开头书籍有着重要的联系。 1637年LaGéométrie。为了清楚这些联系，下面的简短叙述强调了1618-1629期间关于（1）几何曲线和合法几何结构的标准的提议，以及（2）代数和几何形状之间的关系。

2.2问题和建议

1619年写给贝克曼（Beeckman）的最著名信的历史可以追溯到当年3月26日。在这封信中，笛卡尔宣布了他的计划，阐述了“全新的科学[Scientia penitus nova]，通过该科学，可以解决所有可以提出的所有问题，通常可以解决任何数量，通常可以解决”（在X，156） 。当他详细阐述这项新科学的发展时，笛卡尔澄清说，他对离散和连续数量的问题（分别是算术和几何形状）的解决方案将取决于手头问题的性质。正如他所说的

[在这项新科学中]每个问题都将根据其本质的性质解决，例如，在算术中，有些问题是通过理性数字解决的，其他问题只能通过Surd [Indrational]数字解决，而其他问题最终可以想像但无法解决。因此，我也希望表明连续数量可以通过直线和圆圈解决一些问题。其他弯曲线只有其他曲线，但是，这是由单个运动引起的，因此可以用新型的指南针绘制，我认为，这与绘制圆圈的常见相比，这同样是确切的和几何的。最后，其他可以通过未从属于彼此的不同动作产生的曲线来解决的其他方法，曲线肯定只是想象中的，例如众所周知的Quadratrix。我无法想象至少可以通过这种行为无法解决的任何东西，尽管我希望能够以此或没有其他方式解决哪些问题可以解决哪些问题，因此几乎没有任何东西可以在几何形状中找到。当然，这是一项无限的任务，而不是一个人。令人难以置信的雄心勃勃；但是我已经通过科学的黑暗混乱看到了一些灯光，我认为所有最厚的黑暗都可以消除（在x，156-158； CSMK 2-3； Sasaki 2003，102）。

我们在笛卡尔关于几何形状的言论中注意到，他提出的“全新科学”将为解决问题提供详尽的分类，其中他的三个类别都由解决方案所需的曲线确定。这表明，笛卡尔的三类几何问题与帕普斯的三个类之间的重要重叠，回忆起解决方案所需的曲线类型分开：平面问题可以通过直edge和指南针解决，圆锥形和线路的实心问题可以解决。 - 像更复杂的曲线一样的问题，这些曲线具有“不稳定和可变的起源”。但是，就笛卡尔强烈表明，为其解决方案需要“假想”曲线的问题没有合法的几何解决方案，因此它们的分类之间也存在显着差异。也就是说，正如算术的某些问题“可以想像但无法解决”一样，在几何形状中也是如此，还有一类问题需要曲线“当然只有虚构”，即由“不同的动作”，“不同的动作”产生的曲线因此，从适当的意义上讲，这不是几何的。在这方面，笛卡尔正在从Pappus的描述性分类转变为将几何曲线与非地形曲线区分开的规范性分类，从而区分了具有合法几何解决方案的问题与没有的问题。同样重要的是，我们在笛卡尔的信中看到了他通过吸引构造曲线所需的动议来扩大合法几何结构范围的尝试。具体而言，正如我们在上面的段落中看到的那样，笛卡尔依赖于他的“新型指南针”的“单个动作”，[他所说]这是同样精确和几何的……比用于绘制圆圈的普通的指南针……标出具有合法几何解决方案的新的问题。

在1619年3月26日给贝克曼的信中，笛卡尔没有详细说明他所指的“新型指南针”。他只是在这封信的早期部分向贝克曼报告，在很短的时间内，他“在我的指南针的帮助下发现了四个引人注目的全新示威”（x，x，154）。幸运的是，有关这些指南针和笛卡尔的演示的更多细节包括在私人私人与私人反射中（约1619– 1620年），其中笛卡尔应用了三种不同的“新指南针”（通常由评论员称为“比例指南针” ”）：（1）将给定角度分为任何数量的相等部分，（2）构建三种类型的立方方程的根，以及（3）描述圆锥部分。在前两种情况下，由于笛卡尔对角度截面和平均比例问题进行处理，他所依赖的指南针被用于生成可以解决手头问题的曲线。



图 1.



图 2.

例如，为了解决角度的问题，笛卡尔首先提出一个包括四个统治者（OA，OB，OC，OD）的仪器，它们在O点O（图1）。然后，我们取四个杆（HJ，FJ，GI，EI），它们的长度相等，并将其连接到仪器的臂上J和I.离开OA静止，我们现在移动OD以改变角度DOA的度量，并遵循点J的路径，我们生成曲线KLM（图2）。正如笛卡尔所拥有的那样，我们可以通过上述仪器以任何给定的角度构建曲线klm，因为我们分配的角度在KLM的构造中没有作用。一旦构建了曲线KLM，就可以通过一些具有直线和圆圈的基本构造对给定的角度进行三化。在这方面，曲线klm是解决角度三化问题的手段，此外，他的待遇表明，构造可以进一步推广，以便通过他的“新指南”，也可以一个角度。分为4、5或更多相等的部分。 （我从Domski 2009，121借用了对这种结构的处理，这本身归功于BOS 2001，237-239的演讲。）



图3.中龙

当笛卡尔对待构建平均比例的问题时，他采取了类似的方法，在这种情况下，他呼吁他著名的Mesolabe Compass，这是一种在LaGéométrie的第三本书中使用的乐器来解决相同的问题。与1637年一样，该指南针用于构造曲线（图3中的虚线），使我们能够识别任何数量的给定线段之间的平均值。正如他之前的维特（Viète）一样，在私人反射中，笛卡尔使用这种平均比例的构造来识别标准形式的立方方程的根（请参阅BOS 2001，240-45）。

请注意，这些结构说明了笛卡尔在1619年3月26日给Beeckman的信中引用的“单运动”结构：他的新指南针通过指定指定的指定臂的单个运动产生曲线，因此，在其中产生的曲线产生了这种方式符合几何可理解性的标准，即区分几何曲线的标准，这些标准在笛卡尔设想的“全新科学”的简短概述中暗示了。这些动作是由工具完成的，不会威胁到构建曲线的几何状态。 （正如我们在上面看到的那样，维特（Viète 。这个主题将在LaGéométrie的第二本书中重新出现。

此外，我们在笛卡尔的早期工作中发现，对代数和几何形状之间的关系感兴趣，这对于LaGéométrie的第一本书中的几何分析计划至关重要同时代人正在探索几何形状在代数问题上的应用。例如，如上所述，笛卡尔使用平均比例的构造来求解私人反射中的代数方程，在同一文本中，他还对数字和算术操作的几何表示也表现出了兴趣。同样的兴趣再次出现在后来的progymnasmata de solidorum elementis excerpta excerpta excercripto cartesii（对从加利福尼亚州笛卡尔（Descartes）手稿中提取的固体元素进行初步练习，1623年。在五个基本算术操作中（他对待的四个操作是加法，减法，乘法和除法）。

尽管在评论员之间存在一些争议，但在这一1619年至1623年初，关于笛卡尔在代数方面的专业知识水平（比较BOS 2001，245与Sasaki 2003，2003，126），但1628 - 1629年的文本显示，探索了笛卡尔的文本少量时间。两种文本来源特别感兴趣：（1）贝克曼在笛卡尔返回荷兰时在1628年给予和转录的代数标本，以及（2）关于Cubic和Quartic equartic方程的根的构造的文本1629年初。[4] 在标本中，笛卡尔为代数提供了一个相当基本的解决问题的程序（或示意图），该程序依赖于二维数字（线和表面）。几个月后，笛卡尔在荷兰在荷兰时撰写的贝克曼（Beeckman）在标本中发现的案文表现出了很大的进步，因为在这些文本中，他呼吁在解决问题的政权中呼吁锥形部分（或固体）。例如，笛卡尔通过圆圈和抛物线的交点构建了两个平均比例（根据BOS 2001，255，他在1625年发现了这一方法。更令人印象深刻的是，在同一时期的不同文本中，笛卡尔提供了一种构建所有实体问题的方法，即解决所有三级和四度方程。

尽管此期间的某些结果与1637年LaGéométrie提出的解决问题的程序有关，但Rabouin（2010）指出，尚不清楚笛卡尔是否发现了使用1637年应用的技术发现了他的解决方案方法（Rabouin 2010，456）。因此，拉布因敦促我们抵制笛卡尔早期数学作品的某种标准阅读，从1619年的“全新科学”到LaGéométrie的突破性计划，有线性和目的论的进展，例如，在Sasaki 2003年，特别是156-176）。根据拉布因的说法，直到1630年代初期，笛卡尔就解决了Pappus问题 - Bos还考虑了笛卡尔成熟数学研究的“关键催化剂”（BOS 2001，283） - 制作一门新的几何科学，基于曲线和问题的新分类。在拉布因（Rabouin）之后，正是在他的数学职业生涯的这一点上，笛卡尔更清楚地看到代数方程式和几何形状的相互作用对于解决几何问题解决的一般计划可能是多么重要。

3.LaGéométrie（1637）

1631年下半年，荷兰数学家戈利斯（Golius）敦促笛卡尔考虑解决Pappus问题的解决方案。与占据了笛卡尔早期研究的几何问题不同，Pappus问题是一个基因座问题，即，根据BOS的术语，其解决方案需要构建曲线的解决方案“ Pappus Curve”，其中包括所有满足关系所指明的关系的观点在问题中。一般而言，Pappus问题始于给定数量的线，给定数量的角度，给定比率和给定段，任务是确定曲线，使得曲线上的所有点都满足了与指定的关系给定比率。例如，在最基本的两行Pappus问题（图4）中，我们得到了两条线（L1，L2）（�1，�2），两个角度（θ1，θ2）（θ1，θ2）（�1，2），和一个比率β。我们将D1.1指定为点p。和l1.1之间的斜距平面和l2.2使得P.使用L2.2创建θ2。问题是要找到所有点p。使得d1：d2 =β.1：�2=�。在这种情况下，所有寻求的点p'都将沿着两条直线，一条线位于l1.1的右侧，另一条线位于L1。1的左侧。 （有关BOS的一般问题的介绍，请参见图5。）



图4.两行Pappus问题

在该集合中，Pappus为问题的三行版本和四行版本提供了解决方案（即，我们以三个或四个给定的线和角度开始的问题的版本）以及Apollonius对六行情况的解决方案，这取决于他的锥形理论和构建点源的区域的转变（Pappus，118-123）。但是，Pappus并未处理一般（n（�-line）案例），这是笛卡尔在1632年实现的解决方案的进步，这是在LaGéométrie发表的解决方案，他声称与古代人不同，他发现了一个。成功地“确定，描述，[和]解释[Pappus问题]的问题所需的线的性质涉及更多的线条（G，22），并且随着笛卡尔在1632年向Mersenne报告。如果没有代数的帮助，就无法找到他的一般解决方案：

我必须承认，我花了五到六个星期才能找到解决方案（解决Pappus问题）；如果其他人发现它，我不会相信他对代数不了解（1632年4月5日到梅尔森；在I，244； CSMK，37）。



图5.一般的Pappus问题（来自BOS 2001，图19.1，273）

给定的：在平面中的一条线，n anglesθi。，一个比率β。对于平面中的点p，令d是p r.和li。的倾斜距离，以便用li�创建θi。

问题：找到点p的轨迹，以便以下比率等于给定比率β：�：：

对于3行：（d1）2（�1）2：d2d3.2.3 for 4行：d1d2.1。2：d3d4.3.4 for 5行：d1d2d2.1。2.2：ad4d5.4.4.5 for 6行：d1d2d3.1.2.3：d4d5d6.4.5.6

一般来说，

对于均匀的2k2。线数：D1…Dk。 1…+1：adk+2…d2k+1 r.2…+2…+1

根据BOS的说法，对普通帕普斯问题的考虑“提供了[笛卡尔]，在1632年，对几何境界有了新的有序构想，并塑造了他对结构和正确几何方法的信念”（Bos 2001，283） 。我们对问题对笛卡尔的几何方法的影响的最佳证据是LaGéométrie本身：在LaGéométrie中，Pappus问题对位置感到骄傲，因为Descartes详细介绍了他的“几何计算”，并展示解决几何问题。这是在第一本书中对待的，正如笛卡尔解释了他的几何分析的那样，然后在第二本书中再次提供了笛卡尔提供的综合，即几何演示，是他对n'n'pappus问题的解决方案的解决方案，依赖于证明在开始这部分作品的“几何”和“机械”曲线之间的著名区别上。

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