笛卡尔的数学（三）

3.1一书第一：笛卡尔的几何分析

一本书的一本书是LaGéométrie的题为“仅需要直线和圆圈的构造问题”，正是在这本开头的书中，笛卡尔详细介绍了他的几何分析，并描述了如何将几何问题阐述为代数。在这方面，我们在第一本书中发现的是类似于维特（Viète）在1594年的几何补充中对几何问题的代数阐述，因为他解释了训ege的阶段。也就是说，笛卡尔的分析方法取决于符号和形式主义的创新以及几何和算术的合并，这使他超越了维特的分析，对笛卡尔对梅森的评论充满了信任，他在lagéométrie中为他的梅尔森（LaGéométrie）提供了一些信任。几何开始是从Viète停止的地方开始的（1637年12月，在I，479； CSMK 77-79; CSMK 77-79;参见Macbeth 2004，以讨论Viète的“分析艺术”与Descartes在几何学中使用分析的关系之间的关系）。

一本书是从代数操作的几何解释开始的，我们在上面看到的是，笛卡尔已经在他的数学研究的早期已经探索过。但是，正如Guicciardini恰当地描述的那样，我们在1637年提出的是“巨大的创新”。一方面，笛卡尔提供了对根提取的几何解释，因此可以处理五个算术操作（与在他的早期工作中进行的加法，减法，乘法和分裂的四个操作相反）。另一方面，更重要的是，他的待遇依赖于对算术操作的解释，根据这些解释，这些操作被认为是在线细分市场上的封闭操作。传统上，例如，两个片段A×B×�的产物被解释为矩形，但对于笛卡尔来说，该产品被解释为一个段。这使笛卡尔可以将几何问题转化为方程（包括诸如a×b）`××�）的方程式，并将方程式的每个项视为类似的等式。最后，笛卡尔使用了新的指数符号，因为他在第一本书中列出了多个术语的方程式，而这种符号取代了传统的现代现代代数的传统cossic符号，使笛卡尔可以拧紧代数和几何形状，更具体地，更具体地，更具体地说。通过几何分类的方程式的代数表示曲线的代数表示和所述问题的几何解（正如我们将在第3.2节中更清楚地看到）。

笛卡尔通过对五个基本算术操作的新几何解释进行了描述，他描述了如何在几何分析的阶段如何给出对几何问题的代数解释：

然后，如果我们希望解决任何问题，我们首先假设解决方案已经实现了，并为所有对其构建需求的行命名，即那些未知的人以及已知的人的名字。然后，不区分未知线和未知线，我们必须以任何自然地显示这些线之间关系的难度来揭示困难，直到我们发现有可能以两种方式表达单个数量。这将构成一个方程式，因为这两个表达式之一的术语共同等于另一个条款（g，6-9）。

我们注意到，笛卡尔分析的关键是在问题中没有区分已知数量和未知数：两种数量均已授予变量（通常，a，b，c…� 和x，y，z…� 或者，正如笛卡尔所说的那样，我们“假设解决方案已经影响”。然后，任务是将问题减少到一个方程式（以当代的术语，两个未知数中的多项式方程），该方程以已知数量表示未知数量或数量。例如，采取以下问题：[5]

给定一个包含点C的线段AB（请参见图6），问题是产生AB到D，以使乘积AD××DB等于CD的平方。令AC = A = A = A = B = b =�，Bd = X =�，它得出AD = A+B+X =+++++y+y++y+cd = b+x = r.-+y。因此，找到BD的问题使AD××DB =（cd）22在代数上等同于找到X�，因此：（a+b+x）××（x）=（b+x）2（b+x）2（++r. +�）×（�）=（++�）2。或者，解决X�的问题是找到X。，以便给定A和B，x = b2/（a。



图 6.

在此示例中，我们正在处理一个确定的问题，即存在有限数量的解决方案的问题，因此我们可以将问题减少到单个方程式，该方程以已知数量表示未知数量。但是，正如笛卡尔指出的那样，还有一些不确定的问题，涉及无限数量的解决方案。 （诸如Pappus问题之类的基因座问题是这样的，因为该解决方案包括沿曲线的无限多点。）笛卡尔指示我们指示“我们可以任意选择已知长度行对于没有方程式的每个未知线”（g，9），即，我们将未知线设置为具有陈述值的斜坐标。然后，我们生成几个方程，以一个或多个已知数量来表达未知数量，并同时求解方程。这正是笛卡尔在第一本书中对待Pappus问题时采取的方法。



图7.第一本书中的四行Pappus问题（G，27）

笛卡尔从考虑到三或四行时考虑了问题，从Guicciardini（2009）借用，可以说如下（见图7）：

在适当的位置给出了三到四行，需要找到点C的轨迹，从中绘制三到四行的三或四行，并与给定的每一条线与给定的一条线保持以下条件，以下条件保持：绘制的三条线中的两条矩形[或乘积]应具有与第三平方的给定比率（如果只有三个）或其他两条的矩形[或乘积]（如果有四个）（Guicciardini 2009，54;基于G，22）。

在第一本书中，笛卡尔将他的几何分析应用于Pappus问题的四线案例。他首先指定两个给定的线段（未知长度）AB和BC分别为倾斜坐标X和Y。，以使解决问题所需的所有其他线路将以X和Y的方式表示。 6] 然后，通过考虑问题中给出的角度和类似三角形的特性，他根据两个未知数x and y。以及已知的数量z。问题中给出的比例）（G，29-30）。

重要的是，笛卡尔在四行情况中使用的分析方法被推广到Pappus问题的一般n``线版本。也就是说，笛卡尔的主张是，无论问题中给出了多少行和角度，都有可能通过他的分析方法，以两个未知数量（以当代的术语，以当代的方式，为了将问题减少到两个未知数中的多项式方程）（G，33）。结果，对于Pappus问题的任何n`线版本，我们都可以通过将不同的值分配给x and y。来生成C的值并以刻度的方式构建所遇到的Pappus曲线。正如笛卡尔所说的那样

此外，要确定点C，但是需要一个条件，即，一定数量的线的乘积应等于或（非常简单），应具有给定比率与某些其他的产品的比例线。由于该条件可以用两个未知数量的单一方程式表示，因此我们可以将我们所要的任何值提供给x或y。并从此方程中找到另一个值的值。显然，当给出不超过五行的情况下，数量x�不用于表达第一线的数量永远不会高于第二行。

为y分配一个值，我们可以通过已经解释的方法（用于构造根部）的方法，使x2 =±ax±b2 =±b2 =±。如果这样，我们应该连续使用该线y的无限数量的不同值，我们应该获得线X的无限数量值，因此，通过所需的方式，X级的无穷大（例如C），例如C等。曲线可以绘制（G，34）。

如上所述所示，笛卡尔分析的结果是，包含所追求点C的曲线可以通过使用标尺和指南针求解为两个未知数中的二级方程的根来构建。然后，他概括了这一结果，并声称可以将可以简化为二级方程的任何问题的解决方案可以由统治者和指南针构建。相反，如果问题降低到三级或四度的方程式，则通过锥形构建点，如果问题降低到第五或第六度的方程高于圆锥形部分”（G，37）。换句话说，笛卡尔的主张是，如果一个问题可以简化为一个不高于六的程度的单一方程，其中未知数量或数量以已知数量表示，那么方程的根可以是由直齿和圆形，或圆锥形或不高于四个的更复杂的曲线构建。基于此结果，笛卡尔建议一种方法来进一步概括并解决N-line pappus问题，因为无论Pappus问题开始有多少个给定的行和角度，都可以将问题减少到方程式中，并且然后点置构建方程的根，即问题的点C所追求的点C（G，37）。

笛卡尔在这里通过他的几何分析所取得的成就无疑是重要的。他概述了一种解决任何数量给定线路的Pappus问题的方法。但是，关于解决Pappus问题解决的问题仍然持续到第一本书的结尾。如维特（Viète）的分析中，笛卡尔（Descartes）表明，对一般问题的解决方案存在，但是对问题的代数阐述本身并不能说明我们如何几何地构建解决问题的曲线。特别注意，在第一本书中，根部（即，沿着被追踪的曲线点）由直边，指南针，圆锥和高阶曲线构造，以便将包含根的pappus曲线置于点上。但这给我们留下了一个问题：一本书的pappus曲线是合法的几何曲线吗？也就是说，可以通过合法的几何方法来构建Pappus问题的N线版本的曲线？这是第二本书中提出的一个问题，其主要重点是如何制定几何问题的综合或构造。

3.2第二本书：曲线和几何综合的分类

LaGéométrie的第二本书题为“关于弯曲线的性质”，并以笛卡尔在“几何”和“机械”曲线之间著名的区别开始。鉴于其对理解LaGéométrie计划的重要性以及这种区别引起了评论员的关注，因此值得仔细研究第二本书的开篇页面中提出的建议。

笛卡尔首先要参考古老的问题分类，并提供了他对古老数学家如何区分曲线的解释，这些曲线可用于解决几何问题的解决方案与无法：无法：

古人熟悉几何问题可以分为三类，即平面，固体和线性问题。这相当于说某些问题仅需要圆形和直线才能进行构造，而另一些则需要一个圆锥部分，而另一些则需要更复杂的曲线。但是，我感到惊讶的是，它们没有走得更远，并区分了这些更复杂的曲线的不同程度，也不知道为什么它们称为后一种机械，而不是几何。如果我们说它们被称为机械，因为必须使用某种仪器来描述它们，那么我们必须保持一致，拒绝圆圈和直线，因为如果不使用指南针和统治者，就无法在纸上描述这些圈子和直线，也可以称为工具。因此，这不是因为其他乐器比统治者和指南针更为复杂，因此不太准确，因为如果这是这样必须将它们排除在机械上，那么构造的准确性比几何学更重要。在后者中，仅寻求精确性的推理，这肯定可以与更简单的行（G，40-44）一样彻底。

笛卡尔暗示术语“机械”和“非几何”在古代数学中是同义词，尽管尚不清楚这是否是术语“机械”的预期含义。也就是说，鉴于现有的文本证据，尚不清楚将曲线分类为“几何”和“机械”是否旨在作为有关曲线在几何问题解决中使用的合法性的规范性主张。它可以很容易地被理解为一个描述性的绰号，它捕捉了构建曲线的不同方式（参见 Molland 1976 关于这个问题的内容；参见上面第 2.2 节，了解笛卡尔在他的 1619 年提案中将描述性和规范性相结合的“几何学的新科学）。

撇开笛卡尔对古人的解读不谈，对于理解他自己对几何曲线的独特解释来说，重要的是他对曲线的“构造的准确性”和“推理的准确性”之间的区别，他将曲线提出为力学的一个问题。他认为这是接受曲线为合法几何曲线的唯一要求。在提出这一主张时，笛卡尔为他的几何曲线概念开辟了一个独特的位置：他放弃了克拉维乌斯在其早期作品中采用的“构造准确性”标准，以使曲线在几何问题解决中可以接受，并且也转发了主张Viète 指出，仪器构造的曲线不应被视为几何曲线（参见上文第 1.1 节）。正如笛卡尔的演讲所暗示的那样，这两种标准都将力学问题与几何学唯一关心的“推理的准确性”混淆了。因此，在第二本书的继续中，笛卡尔重申，要确定曲线的几何状态，我们必须将重点放在精确和清晰的推理问题上，特别是曲线是否可以通过精确和清晰的运动来构造的问题上。在提出“两条或多条线可以一条一条地移动，通过它们的交点确定其他曲线”的假设后，笛卡尔解释道，

确实，圆锥曲线从来没有被自由地纳入古代几何学中，而且我不愿意承担更改已被使用的名称；尽管如此，我似乎很清楚，如果我们做出通常的假设：几何是精确的，而力学则不是；如果我们将几何学视为提供所有物体测量的一般知识的科学，那么我们就没有权利排除更复杂的曲线而不是更简单的曲线，只要它们可以被认为是由连续运动所描述的或通过多项连续动议，每项动议完全由之前的动议决定；因为通过这种方式，总是可以获得每个的大小的准确知识（G，43）。

我们从这些评论中看到，几何的精度和精确性与几何学家对可精确追踪的运动的考虑密切相关。也就是说，几何学家使用简单曲线和更复杂的曲线都是合理的，只要这些曲线的构造是通过“精确且准确”的运动进行的。笛卡尔通过展示他在 1619 年首次开发的中索拉贝罗盘，阐明了如何将复杂曲线“想象为由连续运动或多个连续运动所描述的，每个运动完全由之前的运动决定”：

考虑线 AB、AD、AF 等，我们可以假设通过仪器 YZ 来描述它们 [图 8]。该仪器由几把铰接在一起的尺子组成，YZ 沿着线 AN 放置，角度 XYZ 的大小可以增大或减小，当其侧面在一起时，点 B、C、D、E、F、 G、H，均与A重合；但随着角度的增大，在 B 点与 XY 成直角固定的标尺 BC 会向 Z 方向推动始终以直角沿 YZ 滑动的标尺 CD。同理，CD推动DE，DE沿YX滑动，始终平行于BC； DE 推 EF； EF推FG； FG推GH，以此类推。因此，我们可以想象有无数个标尺，每个标尺都推动另一个标尺，其中一半与 YX 形成相等的角度，其余的与 YZ 形成相等的角度。

现在，随着角度 XYZ 的增加，B 点描绘出曲线 AB，该曲线是一个圆；而其他标尺的交点，即点D、F、H则描述了其他曲线AD、AF、AH，其中后者比第一条更复杂，而这条比圆更复杂。尽管如此，我看不出为什么对第一个圆的描述不能像对圆的描述那样清晰明确地构思，或者至少像对圆锥曲线的描述一样清晰。或者为什么第二个、第三个或任何其他可以这样描述的东西不能像第一个那样清楚地被理解：因此我看不出为什么它们不应该以同样的方式用于解决几何问题（G，44-47）。[7]



图 8. Mesolabe

有几点值得强调。首先，笛卡尔展示了由他的指南针生成的更复杂的曲线，这些曲线是通过运动来描述的，这些曲线可以像构造更简单的圆所需的运动一样“清晰明确地构思”。由于其构造所需的清晰且独特的运动，这些曲线是合法的几何曲线。也就是说，与笛卡尔构造几何曲线的一般准则一致，这些复杂的曲线可以用于解决几何问题。其次，我们看到，尽管笛卡尔注意区分几何学和力学的关注点，但他并没有回避通过仪器来构造曲线。尽管仪器结构是机械结构，但它们仍然可以产生几何曲线，正是因为仪器的运动是“清晰明确”的。运动是由仪器产生的，并不会使所得曲线成为非几何曲线。 （有关《La Géométrie》中仪器使用的更多信息，请参阅 Bos 1981。）

同样，按照笛卡尔的标准，非几何曲线是需要更复杂、不太清晰和独特的运动来构造的曲线。他解释说：

古代几何学家拒绝接受比圆锥曲线更复杂的曲线的真正解释可能在于，他们最先注意到的曲线恰好是螺旋线、四边形和类似的曲线，它们确实属于这些曲线。仅适用于力学，并且不属于我认为应该包含在此处的曲线，因为它们必须被设想为由两个单独的运动所描述，而这两个运动的关系不允许精确确定（G，44）。

笛卡尔明确地将螺旋线和四边形命名为那些曲线，其构造“必须被设想为由两个独立的运动所描述，而这两个运动的关系不允许精确确定”。后来在第二卷中，他澄清了为什么这些描述未能被清晰明确地构思：

几何学不应该包括像弦一样的线，因为它们有时是直的，有时是弯曲的，因为直线和曲线之间的比率是未知的，我相信人类无法发现，因此没有基于这些比率的结论可以被认为是严格和精确的（G，91）。

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