数学不一致（二）

5. 块和渗透

最近，出现了一种普遍处理矛盾的替代技术。 Brown 和 Priest (2004) 提出了一种他们称之为“块和渗透”的技术，其中从不一致的前提进行推理，将假设分成一致的理论（块），推导出适当的结果，然后将这些结果传递（渗透）到不同的理论。块以得出进一步的结果。他们认为牛顿在微积分中求导的最初推理就是这种形式。这是一种有趣而新颖的方法，尽管它必须满足这样的反对意见：要相信在此基础上得出的结论，必须同等地相信所有前提；因此，最终应该会出现一种更常见的形式的论证，它诉诸所有前提而不将它们支离破碎。因此，反对意见是，块和渗透是发现背景的一部分，而不是论证背景的一部分。

后来，贝纳姆等人。等人。 (2014) 将这些方法扩展到狄拉克 δ 函数。这拓宽了应用类别，从而增强了该技术。然而，这里也很清楚，（一大类）Chunk 和 Permeate 应用程序与（一致的）非标准分析之间存在着密切的相似性：无论何时，Chunk 和 Permeate 通过将块转移到无穷小的位置来求导。零、非标准分析通过将导数定义为“仅标准部件”来获取导数。当然，这两种技术之间的等同性并不能表明哪一种技术的解释更深。值得关注的是事态的发展。

六、结论

总而言之：最近出现了相当多的哲学材料，这些材料都对数学不一致的原因表示同情。 Colyvan (2000) 解决了不一致的数学理论意味着不一致的数学对象作为其主题的问题。他还承担了一项重要任务，说明不一致的数学如何能够有一个分支——应用数学。 Priest (2013) 和 Colyvan 一样，指出不一致的数学加剧了柏拉图主义的混合。 Berto (2007) 有效地调查了悖论和基础问题，并列出了一些与不完备性定理等重要哲学问题有关的算术结果。 Van Bendegem (2014) 追求一个有趣的动机，即变化总是一种异常状态，因此总是变化意味着总是异常。示例包括无穷小、复数和无穷大。然而，应该谨慎地认为不一致总是反常的，即使只是因为它更适合数学研究。

应该再次强调的是，这些结构并不以任何方式挑战或否定现有的数学，而是扩展了我们对数学上可能的概念。这反过来又加剧了数学多元主义的问题。参见例如 Davies (2005)、Hellman 和 Bell (2006) 或 Priest (2013)。不同的作者对数学多元论有不同的版本，但总的来讲，不相容的数学理论可以同样正确。数学多元主义的理由基于这样的观察：存在着不同的数学“宇宙”，其中存在着不同的、甚至是不相容的数学定理或定律。众所周知的例子是经典数学和直觉主义数学之间的不相容性，以及分别有和没有选择公理的类 ZF 集合宇宙之间的不相容性。如果说有选择的 ZF 是真正的数学，而没有选择的 ZF 是假数学，这似乎是荒谬的，如果它们都是数学上表现良好的理论的合法例子。

数学哲学的首要问题无疑是数学是什么。像拓扑对偶或鲁特利*这样的对偶运算强化了这样的观点：不完全/不一致的对偶作为数学的例子同样合理。从这个角度来看，关于接受直觉主义数学、经典数学或不一致数学中的哪一个的争论似乎毫无意义。它们都是数学主题的一部分。夏皮罗 (Shapiro) 有效地阐述了这一点（2014 年，对比参见他的 2002 年）。夏皮罗的独特立场还有其他成分：作为结构科学的数学，以及隐含逻辑多元主义的数学多元主义（关于逻辑多元主义，另见 Beall 和 Restall 2006）；但我们不在这里讨论这些。

无论如何，本文作者认为，如果人们认为数学首先是关于允许不一致的数学理论，其次是关于这些理论内部的对象，那么数学多元主义的某种版本显然是正确的。当然，如果将其视为命题的结构，不相容的理论共存并不存在问题。理论的首要地位也符合数学认识论是演绎证明这一自然观察。只有当人们以数学对象作为理论真理制造者的首要地位作为出发点时，人们才必须担心它们的对象如何设法共存。

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