数学不一致（一）

1. 数学基础

2. 算术

三、分析

4. 几何不一致

5. 块和渗透

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1. 数学基础

从历史上看，不一致的数学是从基础考虑开始的。弗雷格和罗素提议将他们的数学建立在集合论的朴素原理上：每个谓词都是一个集合。但朴素原理很快就证明了罗素集的存在，罗素集是所有不属于其自身成员的集合的集合，它既是又不是其自身的成员。罗素和其他人指出的这一悖论以及其他集合论悖论导致人们尝试产生一致的集合论作为数学的基础。其中最著名的也许是 Zermelo-Fraenkel 集合论 ZF。但 ZF 和其他公司（例如 NBG 等）在各种方面都是临时的，必须包含多个独立原理，而不是单个简单的理解公理。因此，包括 da Costa (1974)、Brady (1971, 1989)、Priest、Routley 和 Norman (1989, pp. 152, 498) 在内的许多人认为最好保留自然理解原理的全部力量，并容忍集合论中一定程度的不一致。尤其是 Brady，在他的书（2006）中扩展、简化和简化了朴素集合论的这些结果。欲了解清楚的说明，另请参阅 Restall 的评论 (2007)。

当然，这些构造要求人们至少放弃布尔逻辑“ex矛盾”（ECQ）的原则（每个命题都可以从矛盾中推导出来，也称为爆炸）。顺便说一句，C.I.Lewis 证明 ECQ 遵循选言三段论原理 (DS) 的简单论证（从 A 或 B 和非 A 推导出 B）。所以DS也必须下架。显然，ECQ 轻视了任何不一致的理论（琐碎=每个句子都是可证明的）。非平凡性应该被视为对有趣理论的约束：平凡的理论对于数学计算来说是无用的，因为平凡的理论不区分理论中的原理及其否定。同样，相当多的争论（Burgess 1981，Mortensen 1983）清楚地表明，放弃 DS 并不是那么违反直觉，特别是当出现了一个关于 DS 继续存在的特殊条件的可信故事时。

还应该指出的是，布雷迪对不一致朴素集合论的构建为弗雷格-罗素逻辑主义的复兴打开了大门（简而言之，数学简化为逻辑）。逻辑主义被广泛认为，甚至弗雷格本人也认为，逻辑主义受到了严重损害。罗素悖论。如果罗素矛盾没有传播，那么就没有明显的理由不能认为朴素集合论为数学提供了充分的基础，并且朴素集合论可以通过朴素理解图式从逻辑中演绎出来。唯一需要的改变是转向容错逻辑。更激进的是，韦伯在相关论文（2010）、（2012）、（2013）中将这种不一致视为一种积极的美德，因为它使我们能够解决康托留下的几个问题，即良序定理和选择公理是可证明的，并且连续统假设是错误的 (2012, 284)。其中一些被证明既正确又错误；其中韦伯关心的是推进经典重获的证明，这是一个表明传统结果仍然是可证明的项目（2010，72）。这是令人振奋的新天地。韦伯还展示了该项目的一些重要内容，即康托尔定理继续成立；也就是说，它不依赖于副一致性论者所质疑的过于强大的逻辑原则。在韦伯看来，保留康托定理很重要，因为在不一致的集合论中仍然可以使用不同的无穷大阶。

此外，数学包含元语言的机制，即用于谈论数学本身。这包括以下概念：（i）数学陈述和语法其他部分的名称，（ii）自引用，（iii）证明和（iv）真理。哥德尔对数学哲学的贡献是表明，前三种哲学可以用算术理论严格地表达，尽管这些理论要么不一致，要么不完整。这两种选择中的前一种的结构良好的例子的可能性，即不一致，没有被认真对待，同样是因为对 ECQ 的信仰。然而，此外自然语言似乎还有自己的真值谓词。与自我参照相结合，这就产生了说谎者悖论，“这句话是假的”，一种不一致。 Priest (1987) 以及 Priest, Routley 和 Norman (1989, p. 154) 认为，说谎者必须被视为既真又假的陈述，一个真正的矛盾。这代表了研究不一致理论的另一个论点，即声称某些矛盾是真实的，也称为辩证论。 Kripke（1975）建议在一致的不完整理论中以不同的方式对真值谓词进行建模。我们从下面看到，不完整性和不一致是密切相关的。

为了简化动机，数学像许多其他科学一样，遇到异常、困惑和悖论。悖论通常以矛盾的形式出现，有理由接受矛盾的不相容的方面。数学的进步至少部分是通过消除异常以支持一致的重建来实现的。这通常是解决异常的方法，并且通过注意到数学基础中出现的矛盾而得到促进。但在二十世纪后期人们注意到还有另一种方式，即接受矛盾并发展包含矛盾双方的数学理论。如果矛盾理论建立在包含布尔原理 Ex Contradictione Quodlibet ECQ 的逻辑基础上，则这是不可能的，一切都从矛盾开始。因此 ECQ 必须被放弃，但幸运的是，这被证明是可能的，而且在数学上确实很简单。剩下的就是一个丰富的领域，其新颖的数学应用本身就很有趣，它们通过在数论或分析等远离基础的数学领域中发展矛盾，回避了采用哪些基本原理的棘手问题。这是数学上的矛盾。

2. 算术

但这些言论都是关于基础的，而数学并不是它的基础。因此，还有一个进一步的独立动机，即看看在放松一致性约束的情况下仍然存在什么数学结构。但如果将此视为对经典数学研究结构的否定，那就是错误的：不一致的结构代表了对已知结构的补充。

罗伯特·K·迈耶（Robert K. Meyer，1976）似乎是第一个想到不一致算术理论的人。此时，他对一致理论的命运更感兴趣，即他的相关算术 R#。这相当于皮亚诺算术的公理，以量化的相关逻辑 RQ 为基础，迈耶希望相关逻辑的较弱基础将允许更多的模型。他是对的。事实证明，存在着一整套不一致的算术理论。例如，参见 Meyer 和 Mortensen (1984)。与上述关于恢复逻辑主义的言论并行，迈耶认为这些算术理论为复兴的希尔伯特纲领提供了基础。希尔伯特的计划是严格形式化数学并通过简单的有限/归纳程序证明其一致性的项目。人们普遍认为它受到了哥德尔第二不完备定理的严重损害，根据该定理，算术的一致性在算术本身内是无法证明的。但迈耶构造的一个结果是，在他的算术 R# 中，可以通过有限手段证明，无论可能发生什么矛盾，它们都不会对任何数值计算产生不利影响。因此，只要使用不一致性容忍逻辑，希尔伯特最终证明数学是无故障的目标就基本上可以实现。

迈耶和莫滕森使用的算术模型后来被证明允许真值谓词的不一致表示。它们还允许表示自然数算术之外的结构，例如环和域，包括它们的顺序属性。还提供了公理化。最近，有限不一致算术崩溃模型（比 Meyer 和 Mortensen 研究的模型严格更大的类别）已被 Graham Priest 完全表征。折叠模型是通过将域折叠到由各种同余关系生成的同余类而从经典模型获得的。当同一同余类的成员被识别时，产生的理论是不一致的。例如，Meyer 的初始构造将同余模 2 下的整数折叠起来。这将 0 和 2 放在同一个同余类中，因此在合适的三值逻辑中，0=2 和非（0=2）都成立。 Priest 表明这些模型采用某种通用形式，参见 Priest (1997) 和 (2000)。严格来说，Priest 在加入“派系模型”方面有点太过分了。 Paris 和 Pathmanathan (2006) 纠正了这一点，并由 Paris 和 Sirokfskich (2008) 扩展到无限。最近，Tedder (2015) 获得了具有不同背景逻辑（Avron 的 A3）的有限塌陷模型类的公理化。

三、分析

人们很难忽视分析的例子及其特例——微积分。有关这些问题的模型理论方法，请参见 Mortensen (1990, 1995)。

现在，迈耶处理自然数的原始方法（即 R#）是公理化的，而不是模型论的。 McKubre-Jordens 和 Weber (2012) 的分析也采用了公理化方法。在以次一致逻辑为基础的公理化分析中，他们的论文进一步推动了 Meyer 通过 R# 进行算术的方法。这些作者（2017）重写了阿基米德手中的积分理论，该理论采用了穷举法，并使用了次一致推理。这给出了“高达不一致”的结果，这意味着能够证明“经典结果或矛盾”。然后可以看出经典结果可以通过应用于经典错误（不一致）第二个析取的经典移动析取三段论来重新获得。

追求这个方向当然是重要和值得的，但这里需要注意一点：公理化的项目与不一致的数学有点不同。如前所述，迈耶在这个阶段是一致主义者——他寻求一种具有不一致容忍逻辑的一致理论。出于类似的动机，他还致力于尝试解决他所谓的“伽玛问题”，这本质上是公理理论 R# 是否可以被证明包含经典皮亚诺算术作为子理论的问题。如果是这样，那么他对 R# 的非平凡性证明将立即产生经典皮亚诺算术否定一致性的新证明！请注意，这不会违反哥德尔第二定理，因为伽马结果的证明可能不会局限于有限技术。 （就迈耶的理论而言，事实证明并非如此。）

事实证明，在整个分析过程中，有很多地方存在明显不一致的见解。本节其余部分的示例取自 Mortensen (1995)。例如：（1）Robinson（1974）的非标准分析基于无穷小，即小于任何实数的数量，以及它们的倒数，即无限数。它有一个不一致的版本，对于计算来说有一些优势，能够丢弃高阶无穷小。有趣的是，微分理论被证明具有这些优点，而积分理论却没有。 Da Costa (2000) 使用不同的背景逻辑得到了类似的结果。 (2) 在分析中发现不一致应用的另一个地方是拓扑学，人们很容易观察到剪切和粘贴空间的做法被描述为一个边界与另一个边界的“识别”。人们可以证明，这可以用一种不一致的理论来描述，其中两个边界既相同又不相同，并且可以进一步论证这是对实践的最自然的描述。 (3) 另一个应用是不一致连续函数类。并非所有经典不连续的函数都适合不一致的处理；但有些是，例如，对于所有 x＜0，f(x)=0；对于所有 x≥0，f(x)=1。不一致的扩展将第一个 ＜ 替换为 ≤，并且具有独特的结构特性。这些不一致的函数很可能在存在不连续跳跃的动态系统中具有一定的应用，例如量子测量系统。对这些函数进行微分就产生了 δ 函数，狄拉克将其应用于量子测量的研究。 (4) 接下来，有众所周知的不一致线性方程组的情况，例如系统 (i) x+y=1，加上 (ii) x+y=2。此类系统可能会在自动化控制的背景下出现。解决此类系统的经典工作很少，但可以证明，在不一致的向量空间内存在表现良好的解决方案。 (5) 最后，我们可以注意到在拓扑和动力学中的进一步应用。给定一个似乎可以想象的假设，即无论发生什么或为真，都在一组开放的（时空）点上发生或为真，人们认为动态可能路径的逻辑是开放集逻辑，也就是说直觉主义逻辑逻辑，它完美地支持不完整的理论。这是因为在这样一个空间中命题的否定的自然解释表明，它在原始命题所成立的点集的布尔补中包含的最大开集上成立，该开集通常小于布尔补集补充。然而，通过闭集指定拓扑空间与通过开集指定拓扑空间一样合理。然而，已知闭集的逻辑是次一致的，即。支持不一致的重要理论；例如，参见 Goodman (1981)。因此，考虑到似乎也是可以想象的（另一种）假设，即在一组封闭的点上任何真实的东西都是真实的，人们认为不一致的理论很可能成立。这是因为命题的否定的自然解释，即它在包含命题的布尔否定的最小闭集上成立，意味着在重叠边界上命题及其否定都成立。因此，动力理论决定了它们自己的可能命题的逻辑，以及可能不一致的相应理论，但肯定与它们的不完整对应物一样自然。

关于闭集逻辑和边界作为矛盾理论的自然环境，请参见 Mortensen (2003, 2010)。 Weber 和 Cotnoir (2015) 还探讨了边界的不一致，这是由于三个原则的不相容而引起的：(i) 存在边界，(ii) 空间是拓扑连接的，(iii) 离散实体可以接触（即，没有边界）它们之间的空间）。这是一个非常有趣的问题，因为这三个问题都是合理的。尤其是我们的世界似乎确实存在边界。这个帐户的一个最初令人惊讶的特征是，边界显示为“空”；毕竟，空实体违背了分体论的精神。但这并不那么令人震惊，因为事实证明它们只是空的，因为它们的成员不一致。

范畴论阐明了许多数学结构。它无疑被提议作为数学的替代基础。这种普遍性不可避免地会遇到类似于集合论中的理解问题。例如，参见 Hatcher 1982（第 255-260 页）。因此，不一致的解决方案也可能有相同的应用。还有一个重要的分类结构集合，即拓扑，它支持开放集逻辑，与集合支持布尔逻辑的方式完全并行。许多人认为这是对数学直觉主义基本观点的证明。然而，可以证明，拓扑支持闭集逻辑就像支持开集逻辑一样容易，迄今为止是次相容逻辑的唯一范畴论语义。然而，这不应被视为对直觉主义的反对，而是认为不一致的理论与数学研究项目同样合理。参见 Mortensen（1995 年第 11 章，合著者 Lavers）。这一立场现已被埃斯特拉达-冈萨雷斯 (Estrada-González) 占据、扩展和有力地捍卫（2010、2015a、2015b）。同一位作者（2016）致力于提供平凡理论的范畴论描述，目的是表明平凡对于数学理论来说并不是一个无趣的特征。目前的作者仍然不相信，因为琐碎的理论对于数学计算肯定是没有用的；但必须承认这些论点的独创性。

不完整性/直觉主义和不一致/准一致性之间的二元性至少有两个方面。首先存在上述拓扑（开/闭）二元性。其次是鲁特利*二元性。一组句子S 的Routley Star * 被定义为S* =df {A: ~A 不在S 中}。 * 运算由 Routleys (1972) 发现，作为相关逻辑的语义工具，它在德摩根逻辑的大型自然类的不一致和不完整理论之间进行了双重化。例如，皮亚诺主演的算术给出了包含所有 PA 的演绎闭合不一致的完整非平凡经典算术理论，这对哥德尔不完备性结果提出了有趣的挑战，参见 Mortensen (2013)。两种对偶性也相互作用，其中 * 给出了开集和闭集算术理论的独特对偶性和不变性定理。根据这些结果，可以公平地说，直觉主义和次相容这两种数学都是同样合理的。

4. 几何不一致

几何展开是解释图像不一致现象的应用。其中最著名的也许是 M.C.埃舍尔的杰作《丽城》、《瀑布》和《上升与下降》。事实上，这一传统可以追溯到几千年前的庞贝古城。埃舍尔的许多直觉似乎都来自瑞典艺术家奥斯卡·路透瓦德 (OscarReutersvärd)，后者于 1934 年开始了他不一致的工作。埃舍尔还积极与英国数学家罗杰·彭罗斯 (Roger Penrose) 合作。考恩（Cowan）、弗朗西斯（Francis）和彭罗斯（Penrose）等理论家曾多次尝试使用经典一致数学来描述不一致图片的数学结构。然而，正如 Mortensen (1997) 所指出的，没有一致的数学理论可以捕捉到人们正在看到一件不可能的事情的感觉。只有不一致的理论才能捕捉到这种感知的内容。这相当于诉诸准一致性的认知辩护。然后，人们可以继续展示不一致的理论，这些理论是这种不一致内容的候选者。在这一点上有一个与经典数学的类比：射影几何是一种经典的一致数学理论，它很有趣，因为我们是有眼睛的生物，因为它解释了为什么事物在透视中看起来是这样的。

Mortensen (2002a) 进一步发展了不一致的几何研究，其中应用范畴论来对各种理论及其一致的削减和不完全对偶之间的关系进行一般描述。有关强调视觉“悖论”与哲学上更常见的语言悖论（例如说谎者）之间差异的非正式说明，请参阅 Mortensen（2002b）。

最近，对几类不一致的图形获得了不一致的数学描述，例如埃舍尔的立方体（在他的印刷品贝尔维德尔中发现）、路透社瓦德-彭罗斯三角形等。参见莫滕森（2010）。

这提出了另一个有趣的问题。自欧几里得以来，反证法在几何证明中得到了充分利用（假设他与你想要证明的相反并推论出矛盾）。但这里我们有一个不同的技巧（使用矛盾来描述数据看起来如何不一致，以证明内容确实是矛盾的）。如果成功，这将证明人类的概念化超越了仅仅可能的（一致的）。

有关讨论，请参阅 Mortensen（2019、2022）。

还有一点：这些几何悖论是否支持完全的辩证论？答案是否定的。如果你能画出一幅矛盾的图画，那么就存在着不一致的东西。而且，明显不一致的数字意味着 ECQ 不允许的矛盾类型之间的区别。但这不应该被推得太远。没有什么可以说，因为图片有内容，所以该内容一定是真实的：许多图片的内容都是虚构的。有关此主题的更多信息，请参阅 Mortensen (2019a)。

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