构造性数学（三）

当实际上在类型理论中进行建设性数学时，通常需要配备具有等效关系的完全呈现的集合（类型），该组合称为setoid。然后，映射是尊重那些等价关系的函数。这与主教介绍其非正式集合理论的方式非常吻合。 Martin-Löf的依赖类型对于构建子集很有用。例如，可以使用\ sigma-type构建实数（参见Martin-Löf[1984]）：

（\ sigma x \ in \ bn _+\ rightarrow \ bq）（\ pi m \ in \ bn _+）（\ pi n \ in \ bn _+） \ le \ left（\ frac {1} {m} + \ frac {1} {n} {n} \ right）\ right]，

因此，这种类型B的元素是由有理由的收敛序列\ bx和它是收敛的证明P组成的。 r上的合适的等价关系{\ sim}是通过将（x，p）\ sim（y，q）表示定义的

\ forall m \ in \ bn_+ \ left（\ abs {x_ {m} -y_ {m}}} \ le \ frac {2} {2} {m} {m} \ right）。

实数的结果setoid为\ br =（r，{\ sim}）。我们可以很容易地证明

\ forall x \ in \ br \，\ \存在n \ in z（n \ lt x \ lt n+2）

然后，使用选择的类型理论公理（请参见下面的第4节），找到一个函数f：\ br \ rightarrow \ bz，使得f（x）\ lt x \ lt f（x）+2。但是，没有理由相信函数F尊重等效关系，也就是说，如果x \ sim y，则f（x）= f（y）保持。

每个建设性的证明都体现了一种原则上可以提取并作为计算机程序重新铸造的算法；此外，建设性的证明本身就是算法正确的验证，即符合其规范。马丁·兰夫（Martin-Löf）正式建设性数学方法的主要优点是，它极大地促进了从证据中提取程序。这导致了在各个地方实施建设性数学的认真工作（参见Martin-Löf[1980]，Constable [1986]，Hayashi＆Nakano [1988]，Schwichtenberg [2009]）。用于证明提取的类型理论的一些最新实现是COQ和AGDA（请参阅其他Internet资源中的链接）。

4。选择的公理和连续假设

选择的完整公理可以说如下：

如果a，b是居住的集合，则是a \ times b的子集

\ forall x \在a \，\中存在y \ in B（（x，y）\ in S），

然后存在一个选择函数f：a \ rightarrow b，这样

\ forall x \ in（（x，f（x））\在s）中。

现在，如果要在建设性的解释下保持，那么对于A中的给定X \，选择函数的值F（x）不仅取决于X，而且还取决于数据证明X属于A。一般，我们不能指望产生这种选择功能。但是，公理中假设的BHK解释是有一种算法\ Mathcal {a}，该算法应用于A中的任何给定的X \，在B中产生一个元素y \，以至于（x，y）\ in s in s in s in s in s in s in s in s in s。 。选择功能。在Martin-Löf的类型理论中，每个集合都是完全呈现的，并且与BHK的解释保持一致，选择的公理是可衍生的。

另一方面，在主教式的数学中，完全呈现了 - 或在他的术语中，基本 - 套装很少见，一个例子是\ bn；因此，我们可能期望选择的公理将无法衍生。实际上，正如Diaconescu [1975]和Goodman＆Myhill [1978]所示，由Bishop本人预先在1967年Bishop第58页的问题2中预先建立，选择的公理意味着不包括中间的定律。显然，Dioconescu-Goodman-Myhill定理仅适用于并非每个集合都完全呈现的假设。

不在ML工作的建设性数学家通常会拒绝全部选择的公理，但要接受可数选择的公理，其中选择域是\ bn和依赖的选择。但是，有些人宁愿甚至不可数的选择工作，理由是说出无限的选择而没有给出规则的难度，这是无限的难度，无论无穷大是否可以贬低。有趣的是，勒贝格在给博雷尔的一封信中确切地提出了这一点（请参阅摩尔[2013]，第316页）：

我完全同意哈哈达姆（Hadamard）的说法，当时他说，不给出规则的无限选择，这是一个难度，无论无穷大是否可以贬低，这也一样。

放弃甚至可数选择的效果是排除许多定理，这些定理使用基于选择的基于选择的参数证明了这些定理。但是那些主张避免选择的人会认为避免选择会迫使您更好地制定事物。

感兴趣的一个特定情况是代数的基本定理：每个复杂多项式在复杂平面中至少具有一个根。 Richman [2000]表明，如果我们只能构造孤立的（可能是多个）根，但我们可以任意构建与根部的多键构建近似值。这种方法的重点是找到多项式的近似线性分解，而不是发现其每个根的单独近似值。

为了进一步分析集合理论和类型理论中选择的公理，请参见Martin-Löf[2006]，以及类别理论，类型理论和直觉类型理论的SEP条目。

现在，我们回想起经典集理论的功率集公理：如果x是一组，那么它的功率集\ textrm {sb}（x）= \ {s：s \ subset x \}。由于此定义是不可思议的，因此大多数建设性数学家都犹豫不决将\ textrm {sb}（x）视为一组。他们通常使用的东西，我们将采用，作为功率集公理的建设性替换是指数的公理：如果设置A和B，那么所有映射的集合也从A到B中。所有二进制序列的2^{\ bn}都是一组。

为了讨论连续性假设，我们需要A和B类比较规模的概念。我们说

A如果存在A到B上的射线图，则A与B相等，并且

如果A与B的子类相等。

在第一种情况下，我们编写a≅B，第二个是A≲B。

在建设性的zermelo – fraenkel集理论中，替换公理的结果CZF是，如果a是一个集合，而b是与a的类别，那么b也是一个集合。因此，class \ textrm {dch}（\ bn）= \ {s \ subset \ bn：\ forall x \ in \ bn（x \ in s \ vee x \ in s \ vee x \ in s） \ bn，等效于2^{\ bn}，是一组。

从经典上讲，\ bn的每个子集都可以从\ bn分离，因此\ textrm {dch}（\ bn）= \ textrm {sb}（\ bn）。但事实并非如此：如果对于每个语句p，seet \ {x \ in 1：p \ vee \ neg p \}在\ textrm {dch}（\ bn）中，那么我们可以得出排除的定律中间。

经典的连续性假设指出，没有集合在集合\ bn和\ textrm {sb}（\ bn）之间严格存在的集合。我们可以更正式地陈述如下：\ forall c（\bn≲c≲\ textrm {sb}（\ bn）\ rightarrow c \ cong \ bn \ bn \ vee c \ vee c \ cong \ cong \ textrm {sb}（sb}（\ bn）（\ bn））或，等效地，\ forall c（\bn≲c≲\ textrm {sb}（\ bn）\ wedge \ neg \ neg（c≲\ bn）\ rightarrow c \ cong \ cong \ textrm {sb}（\ bn）在这两个陈述中，有：\ forall c（\bn≲c≲\ textrm {dCh}（\ bn）\ rightarrow c \ cong \ bn \ bn \ vee c \ cong \ cong \ cong \ textrm {dch}（\ bn））和一个）我们以我们的建设性连续性假设为\ textrm {ch}，\ forall c（\bn≲c≲\ textrm {dCh}（\ bn）\ wedge \ wedge \ neg（c \ cong \ bn） {DCH}（\ bn））

我们绘制一个证明\ textrm {ch}意味着中间的定律。首先，我们注意到2^{\ bn}在很强的意义上是不可数的：cantor的对角线参数表明，如果s是2^{\ bn}的可计数子集，则存在f \ in 2^{\ bn}，因此f \ notin S.假设\ textrm {ch}，我们现在定义x程x \ {s \ in \ textrm {dch}（\ bn）：p \ vee \ neg p \}和\ textrm {c} c} c}。杯子X.然后\bn≲c≲\ textrm {dch}（\ bn）。如果c \ cong \ bn，则p \ vee \ neg p是错误的，这是荒谬的。因此，\ neg（c \ cong \ bn），因此c \ cong \ textrm {dch}（\ bn）。但是\ textrm {dch}（\ bn）与2^{\ bn}相等，是不可容纳的，因此存在s \ in \ textrm {dch}（\ bn），不属于可计数的子集的\ bn \ textrm {dch}（\ bn）。因此，在c中，因此p \ vee \ neg p保留。

顺便说一句，尽管鉴于“ \ vee”的BHK解释，但我们的两个建设性陈述在经典上等同于经典的连续性假设似乎比\ textrm {ch}更强大，因为后者意味着被排除的定律中间与前者相等。

\ textrm {ch}上的上述工作可以在CZF中形式化，这与经典的Zermelo – Fraenkel Set理论相当，ZF。如果我们允许自己援引Gödel -fohen定理，即连续假设独立于ZF，那么我们可以通过更仔细地查看我们的证明\ textrm {Ch}意味着LEM，从而得出一些有趣的结论。为此，在我们的证明中取p = \ textrm {ch}，以便x p = \ {s \ in \ textrm {dch}（\ bn）：\ textrm {ch} \ vee \ neg \ neg \ neg \ neg \ textrm {ch} {ch} \ }。如果x = 0，则\ neg（\ textrm {ch} \ vee \ neg \ textrm {ch}），这是荒谬的； \ neg（x = 0）。另一方面，如果x居住（即包含一个点），则\ textrm {ch} \ vee \ neg \ neg \ textrm {ch}，因此，在“ \ vee”的建设性解释下，我们要么有证明\ textrm {ch}，否则我们有证明\ neg \ textrm {ch}。由于这与上述Gödel -cohen定理背道而驰，因此我们可以将X视为一个不是空的集合的明确示例，而不是空的，而是不可能构建成员的。这本身并不感兴趣。但这也为\ textrm {ch}的建设性状态提供了新的见解。从我们的证明\ textrm {ch}意味着LEM，我们看到集合c程c。另外，\ n neg（c \ cong \ textrm {dch}（\ bn））\ rightArrow x = 0，荒谬，\ so \ neg \ neg \ neg（c \ cong \ cong \ textrm {dch}（\ bn））。另一方面，c \ cong \ textrm {dch}（\ bn）\ rightarrow \ textrm {ch} \ vee \ neg \ neg \ textrm {ch}。因此，提供的\ textrm {ch}独立于CZF（鉴于CZF和ZF的等值，它更好），我们看到C是具有属性\bn≲c≲的集合的明确示例\ textrm {dCh}（\ bn）\ wedge \ neg（c \ cong \ bn）\ wedge \ neg \ neg \ neg \ neg（c \ cong \ textrm {dch}（\ bn）），但在CZF中，不能在CZF中表现出来\ textrm {dch}（\ bn）。

5。建设性反向数学

在1970年代，哈维·弗里德曼（Harvey Friedman）启动了一项反向数学的研究计划，旨在根据数学定理的等效性与少数固定理论原理之一进行分类（Friedman 1975）。这种分类揭示了证明理论复杂性的有趣，有时显着的差异。例如，尽管在Peano存在的标准证明中使用了Ascoli-arzelà定理用于普通微分方程解决方案的定理（Hurewicz [1958]，第10页），但反向数字分析表明，前者等于严格强的强度固定理论原理比等同于Peano定理的原理（Simpson [1984]，定理3.9和4.2）。经典反向数学的标准论文是（Simpson [1999/2009]）。

在本世纪初，荷兰的Veldman（请参阅其他互联网资源）和Ishihara [2005，2006]，在日本，独立启动了一个建设性反向数学（CRM）计划，基于直觉，而不是古典，而不是古典，而不是逻辑。 （但是请注意，CRM现代时代的第一批发表的作品可能是Julian and Richman [1984]的作品，该作品提前了二十年。）在本文的本节中，我们描述了一种不太正式的方法以Bish的风格和框架向CRM。 CRM计划的目的是将定理在三种标准模型（类，INT和RUSS）中进行分类 - 我们必须（仅需要）将其原则添加到哪种原则以证明它们。

我们强调，我们将自己限制为非正式的CRM，在此中，我们认为，在Bishop [1967]或Bishop＆Bridges [1985]的第一章中所描述的功能和设定构建原则是理所当然的，我们从事非正式的工作。 ，虽然严格，但练习分析师的风格，代数主义者，拓扑师，…。

实际上，CRM自然分为两个部分。在其中的第一个中，我们考虑了int或russ的定理，并尝试找到一些原则，在该模型中有效，除了T本身以外，其补充是必要和足够的。 CRM的第二部分，我们对我们怀疑的班级定理t进行了处理，我们试图证明T与Bish相当于Bish，而不是许多已知的基本非构建原则之一，例如MP，LLPO，LPO，LPO ，或lem。对于CRM的这一部分的例子，我们提到了我们之前的证据，表明经典的最小成主义原则意味着，因此等同于LEM。

顺便说一句，对于Brouwer [1921]是第一个处理反向数学思想的强烈论点：他的Brouwerian反例（请参阅上面的第1节中的Goldbach猜想）在CRM的第二部分中直接出现。即使Brouwer没有将这些示例表示为逻辑等价，而是类型的含义

p \ rightarrow \ text {一些非构造原理}，

很难相信他不知道右侧侧面暗示了这种情况下的左侧。

5.1 CRM中的粉丝定理

为了说明CRM的第一部分，我们现在专注于类型的定理

\ text {bish} \ vdash \ text {ft} _？ \ leftrightarrow t，

ft_在哪里？是Brouwer的粉丝定理的某种形式，T是INT的定理。为此，我们需要区分完整的二进制风扇2^*的某些类型的栏（\ {0,1 \}中的所有有限序列的集合）。

令\ alpha \ equiv（\ alpha_1，\ alpha_2，\ ldots）为有限或无限二进制序列。 \ alpha与另一个字符串\ beta的串联是

\ alpha^{\ frown} \ beta \ equiv（\ alpha_1，\ alpha_2，\ ldots，\ alpha_n，\ alpha_n，\ beta_1，\ ldots，\ beta_m）。

对于\ {0,1 \}中的b，我们写\ alpha^{\ frown} b，而不是\ alpha^{\ frown}（b）。由2^*的A \ Mathsf {C} -ubset的subset表示2^*的子集B

\ tag {1} b = \ {u \ in 2^*：\ forall v \ in 2^*（u^{\ frown} v \ in D）\} \}

对于某些可拆卸的子集D为2^*。 2^*的每个可分离子集都是\ Mathsf {C} -ubset。另一方面，通过a \ pi^{0} _1-subset 2^*，我们的意思是2^*的子集b，具有以下属性：存在一个可拆下的子集s的2^* \ times \ bn，因此

\ forall u \ in 2^*\，\ forall n \ in \ bn \ in \ bn \，（（u，n）\ in s \ rightarrow（u^{\ frown} 0，n）\ in s \ wedge（u^{{u^{ \ frown} 1，n）\ in S）

和

b = \ {u \ in 2^*：\ forall n \ in \ bn（（u，n）\ in s）\}。

每个\ mathsf {c} -subset b of 2^*是a \ pi^{0} _1-subset：简单地拿走s = d \ times \ bn，其中d是2^*的可拆卸子集，以便（1）成立。

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