构造性数学（四）

如果 ？表示2^*的子集的属性，然后Brouwer的粉丝定理？-Bars告诉我们每个酒吧都带有该属性？是一个统一的棒。我们对可拆卸条的Fan定理特别感兴趣（第3.1节已经讨论）：

FT_D：完整的二进制风扇的每个可拆卸杆都是均匀的；

\ mathsf {c} -bars的风扇定理（即\ Mathsf {c} -ubsets）：

ft _ {\ Mathsf {C}}：完整的二进制风扇的每个C杆都是均匀的；

\ pi^{0} _1-bars（即，是\ pi^{0} _1-subsets）的fan定理：

ft _ {\ pi^{0} _1}：完整的二进制风扇的每个\ pi^{0} _1-bar均匀；

和完整的粉丝定理：

ft：完整的二进制风扇的每个栏都是均匀的。

请注意，相对于Bish，

ft \ rightarrow ft _ {\ pi^{0} _1} \ rightArrow ft_c \ rightarrow ft_d。

Lubarsky和Diener [2014]表明，这些含义是严格的。

通常，我们要证明那个ft_？相当于比什等于以下主张，即适当地的每一集，表格的某些侧重属性

\ tag {2} \ forall x \ in S \ in t p（s，t）中的t \

实际上以统一形式保持

\ tag {3} \存在于s p（s，t）中的t \ forall s \中的t \。

我们攻击这个问题的策略是两个方面。首先，给定适当排序的一组，我们构造了2^*的n？-subset n

如果（2）持有，则b是一个栏，而

如果b是均匀的条，则（3）持有。

但是，这只是解决方案的一半。为了证明（3）到（2）的含义意味着ft_？，我们认为A？-subset b属于2^*，并构造一个相应的集合S，使得

如果b是条，则（2）持有，并且

如果（3）持有，则B是均匀的条。

这种结果的规范示例是Julian和Richman [1984]，其中S是给定均匀连续映射f的值集：[0,1] \ rightarrow \ br，t是一个正实数的集合， 和

p（s，t）\ equiv（s \ ge t）。

我们考虑的点属性是

\ forall x \ in [0,1] \存在t \ gt 0（f（x）\ ge t），

它的统一版本是

\存在于[0,1]（f（x）\ ge t）中的t \ gt 0 \ forall x \。

朱利安·里奇曼（Julian-Richman）的结果如下。

定理1：令F：[0,1] \ rightarrow \ br均匀连续。然后存在一个可拆卸的子集B 2^*，这样

如果[0,1]中的每个x \ f（x）\ gt 0，则b是一个条，

如果b是均匀的条，则\ inf f \ gt 0。

定理2：令B为2^*的可拆卸子集。然后存在一个均匀连续的f：[0,1] \ rightarrow \ br，这样

如果b是条，则[0,1]中的每个x \ f（x）\ gt 0，

如果Inf f \ gt 0，则B是一个均匀的条。

这两个定理的证明是微妙而棘手的。参见Julian＆Richman [1984]。

两个朱利安·里奇曼（Julian-Richman）定理一起表明，相对于比什（Bish），粉丝定理ft_d等同于阳性原理，pos：

[0,1]上的每个正值，均匀连续的功能都具有正额。

因此，POS在INT中是可衍生的，其中完整的风扇定理（不仅是ft_d）是标准原理。这种情况在Russ中相反，在Russ中，存在不统一的2^*的可拆卸栏，并且在[0,1]上具有相当于0的[0,1]上的正值，均匀连续的功能；参见Bridges＆Richman [1987]的第5章和第6章。

Berger和Ishihara [2005]采取了不同的间接途径来建立POS和FT_C的等效性。他们在POS，FT_C和类型的四个原理之间建立了一系列等价链：“如果最多有一个具有属性P的对象，那么就有一个这样的对象”。四个独特的原则是：

cin！：每个居住的封闭的封闭的近端序列紧凑的度量空间的子集，最多有一个共同点都有居住的交叉点（Cantor's交叉点具有唯一性。）如果对于x中的每个x，则存在从x到s的最大距离。

最小值！：在紧凑的度量空间上，每个最小点的连续连续，实用值函数都具有最小点。

wkl！每个无限树最多有一个无限分支都有一个无限的分支（具有独特性的弱könig引理）。

修复！：每个均匀连续的函数从紧凑的度量空间进入自身，最多可以在一个固定点和近似固定点具有固定点。

例如，在其中的最后一个中，我们说的是公制空间（x，\ varrho）的地图f

如果\ varrho（f（x），x） + \ varrho（f（y），y）\ gt 0，则最多有一个固定点。

如果对于每个\ varepsilon \ gt 0，则具有近似固定点。

CRM中的一个主要开放问题是找到一种与[0,1]的均匀连续性定理相等的风扇定理形式。

uct _ {[0,1]}：[0,1]中的每个连续映射\ br都是均匀连续的，

布鲁维尔最初为粉丝定理的证明的主张。 （请注意，UCT _ {[0,1]}相对于Bish等效，与公制空间的一般统一连续性定理：每个全面的连续映射到一个完整的，完全有界的度量空间中的度量空间都是均匀的。例如，勒布[2005]。

从Berger [2006]的结果来看，

bish \ vdash uct _ {[0,1]} \ 右箭头 ft_c。

另外，Diener和Loeb（2008）证明了这一点

bish \ vdash ft _ {\ pi^{0} _1} \ 右箭头 uct _ {[0,1]}。

但是，我们不知道这些暗示中的任何一个是否都可以用双重象征代替。也许UCT _ {[0,1]}，因此，紧密的密集空间的完整均匀连续性定理相对于Bish相当于，与某有些自然，但尚未确定的范定理版本。

有关构建性逆向数学的Fan定理上的其他材料，请参见Berger＆Bridges [2007]；Diener [2008，2012]；Diener＆Loeb [2009]；和Diener＆Lubarsky [2014]。在Dent [2013]中，有一个清晰但但复杂的图表说明了风扇定理、连续性和无所不知的互连之间的原则（请参阅其他互联网资源）。

有兴趣的读者可以在以下补充文档中更详细地探讨建设性逆向数学的主题：

石原慎太郎的原理 \BDN 和反 Specker 性质

6. 构造代数和拓扑

构造性数学家最初将他们的努力集中在分析领域，并取得了相当大的成功——Bishop [1967] 发展的丰富的泛函分析就是见证。例如，这并不意味着代数已被排除在建设性事业之外：Mines等人[1986]专着中的材料可以被视为Bishop进行的建设性分析的实质代数对应物。最近，Lombardi 和 Quitte [2011] 出版了拟议的两卷本构造代数著作的第一卷。然而，由于我们不是代数专家，并且意识到本文太长而无法吸引读者的注意力，因此我们选择不详细讨论构造性分析或代数；相反，在下面的补充文档中，我们转向构造性拓扑，描述了该主题的一些相当不同的方法：

构造拓扑的方法

7. 建构性数理经济与金融

构造性数理经济学的研究可以追溯到 1982 年以来一系列关于偏好、效用和需求的论文；参见桥梁[1999]。 Hendtlass [2013]在他的博士论文中大幅削弱了需求函数存在的条件；他还在不动点理论及其应用方面取得了丰富的成果，特别是对经济均衡存在的两个经典证明的建构。

2015 年，Berger 和 Svindland 在慕尼黑路德维希马克西米利安大学开始了一个关于构造性数学金融的研究项目。他们首先证明了资产定价基本定理、分离超平面定理和马尔可夫原理在构造上等价（Berger & Svindland） [2016]）。他们最近的工作集中在如何规避经典极值定理的非构造性，以证明在存在相对较弱的凸性性质的情况下函数极值点的存在（Berger & Svindland [2016a]）。他们的项目表明，数学金融学，就像数理经济学一样，可能是优雅、实用的构造性定理的丰富来源。

八、结束语

数学家想要分析数学的建设性内容所采取的传统路线是遵循经典逻辑的路线；为了避免真实计算机无法做出的决策，例如实数是否等于 0，数学家必须保持在严格的算法边界内，例如由递归函数理论形成的边界。相比之下，构造性数学家所采取的路线遵循直觉逻辑，它自动处理计算上不可接受的决策。这种逻辑（连同适当的集合论或类型论框架）足以将数学保持在构造性边界内。因此，数学家可以自由地以分析师、代数学家（例如，Mines et al. [1988]）、几何学家、拓扑学家（例如，Bridges & Vîşă [2011]，Sambin 即将出版）或其他普通数学家的自然风格工作，唯一的限制是直觉逻辑所施加的限制。正如毕肖普和其他人所表明的那样，希尔伯特所宣扬的、至今仍被广泛持有的传统信念，即直觉逻辑强加了这样的限制，使得严肃数学的发展变得不可能，显然是错误的：大部分深层现代数学可以而且已经存在。是由纯粹建设性的方法产生的。此外，构造性数学和编程之间的联系为抽象数学在计算机上的未来实现和发展带来了巨大的希望。

有关现代构造性数学状况的更多信息，我们推荐即将出版的构造性数学手册 [Bridges et al., eds, 2023]。

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