数学视觉思维的认识论（一）

一、简介

二、历史背景

3. 形象思维与证明

3.1 可靠性问题

3.2 非形式化证明中的视觉手段

3.3 争议：分析中的证明中的图表。

4.视觉思维与发现

4.1 命题发现

4.2 发现证明策略

4.3 发现属性和种类

5. 视觉思维与心算

6. 视觉体验的先验和后验作用

6.1 视觉体验的证据用途

6.2 视觉经验在证明中的证据运用

6.3 视觉体验的非证据性使用

7. 视觉表现的进一步运用

八、结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

一、简介

视觉思维是跨多个学科领域和多个层次的数学实践的一个特征。它是如此普遍，以至于自然会出现一个问题：数学中的视觉思维是否具有任何认知上重要的作用？肯定的答案会引发进一步的问题。我们能否通过关注特定的图表或图像，理性地得出具有数学定理的普遍性和必然性特征的信念？如果视觉思维有助于相信数学结论，那么结果一定是经验信念吗？视觉思维如何（如果有的话）有助于理解抽象的数学主题？

视觉思维包括利用外部视觉表征（例如图表、符号阵列、运动学计算机图像）进行思维以及利用内部视觉意象进行思维；通常，两者结合使用，例如当我们需要直观地想象纸上或屏幕上的图表所表示的对象的某种空间变换时。数学中的视觉思维几乎总是（也许总是）与非视觉思维结合使用。可能的认知作用包括对证据、证明、发现、理解和掌握概念的贡献。数学中视觉思维的种类和用途多种多样。本文将讨论该领域中一些受到关注的主题，并省略其他主题。其中遗漏的是视觉表示在数学中可能的解释作用。纯数学中的解释主题很棘手，最好单独处理。为此，一个很好的起点是数学解释条目（Mancosu 2011）。另外两个遗漏是逻辑图的发展（欧拉、维恩、皮尔斯和辛）以及欧几里得几何原理中几何图的性质和使用，这两者在入门图中都得到了很好的处理（Shin et al. 2013）。这里的重点通常是视觉思维，包括使用符号数组和图表进行思维；这里不会试图制定区分符号思维和图解思维的标准。然而，视觉思维在证明和各种发现中的使用将在下文中介绍。对这里未考虑的一些相关问题的讨论和一些历史案例的研究可以在《数学图表：历史与哲学》（Mumma and Panza 2012）中找到。

二、历史背景

在描述欧几里得角和定理证明中的几何构造之前，康德（1781/9：A715/B743）写道：“数学仅凭概念无法取得任何成果，但会立即加速直觉”（欧几里得，第一卷，命题 32）。高斯在对 1816 年的评论中呼应了康德的观点：

任何熟悉几何学本质的人都知道，[同一性和矛盾性的逻辑原理]本身是一事无成的，除非物体本身丰富的生命直觉无处不在，否则它们会开出贫瘠的花朵。 （埃瓦尔德 1996 [卷 1]：300）

这里的“直觉”一词翻译自德语“Anschauung”，该词适用于视觉想象和感知，尽管它也有更普遍的用途。

到了 19 世纪末，至少在基础领域出现了不同的观点。在一篇首次对射影几何进行严格公理化的著名文章中，帕什写道：“只有当证明完全独立于图形时，该定理才能真正得到证明”（Pasch 1882），希尔伯特在基于几何（希尔伯特 1894）。对视觉思维的消极态度并不局限于几何学。例如，戴德金 (Dedekind) 写到，在基本的无穷小分析中诉诸几何直觉，产生了一种压倒性的不满情绪（Dedekind 1872，简介）。理由被认为是不确定的，所使用的概念含糊不清。当这些概念被精确定义的替代方案所取代而没有提及空间、时间或运动时，我们的直觉期望被证明是不可靠的（Hahn 1933）。

在某些方面，这种观点变成了对数学中视觉思维的普遍蔑视：“在最好的书中”罗素宣称“根本没有数字”（Russell 1901）。尽管这种态度遭到了一些数学家的反对，特别是克莱因（Klein，1893），但其他人却牢记在心。例如，Landau 编写了一本没有任何图表的微积分教科书（Landau 1934）。但占主导地位的观点并不那么极端：用数字进行思考被认为是促进掌握公式和语言文本的一种手段，但只有通过公式和文本表达的推理才具有认识论的分量。

到了 20 世纪末，人们的情绪又重新转向了可视化：Mancosu (2005) 提供了一项出色的调查。有些书在标题中宣传了对反视觉清教主义的蔑视，例如视觉几何和拓扑学（Fomenko 1994）和视觉复杂分析（Needham 1997）；数学教育者将注意力转向可视化的教学用途（Zimmerman 和 Cunningham 1991）；计算机生成图像的使用开始在研究层面取得成果（Hoffman 1987；Palais 1999），图表也进入抽象领域的研究论文中：例如，参见 Joyal 等人关于高维范畴论的论文。 (1996)、Leinster (2004) 和 Lauda (2005，其他互联网资源)。但对视觉思维认识论的态度仍然褒贬不一。讨论主要涉及图表在证明中的作用。

3. 形象思维与证明

据称，在某些情况下，一张图片本身就是一个证据（Brown 1999：第 3 章）。但这种观点很少见。甚至《无词证明：视觉思维练习》的编辑也写道：“当然，‘无词证明’并不是真正的证明”（Nelsen 1993：vi）。另一个极端的表达很少见，但也可以找到：

[图表]在证明中没有适当的位置。因为证明是一个语法对象，仅由排列在有限且可检查的数组中的句子组成。 （坦南特，1986）

在极端之间，我们发现这样的观点：即使没有图片单独作为证明，视觉表征也可以在构成证明的推理中发挥非多余的作用。 （这并不是否认同一结论可能有另一个不涉及任何视觉表示的证明。）几何图、图表和地图都带有信息。 Barwise 和 Etchemendy (1996:4) 将有效的演绎推理视为从已获得的信息中可靠地提取信息，因此提出了以下问题：为什么构成证明的表示不能像语言上的那样既是视觉的又是语言的？否认视觉表征的这一作用的唯一原因是这样的想法：除了非常有限的情况之外，视觉思维是不可靠的，因此无法为证明做出贡献。是这样吗？

我们在这里关心的是思考证明中的步骤，无论是第一次（第一次成功尝试构建证明）还是遵循给定的证明。显然，我们想要区分视觉思维和视觉思维，视觉思维只是伴随着证明步骤的思维过程，而视觉思维对该过程至关重要。这并不总是那么简单，因为可以通过不同的方式提出证明。不同的表述虽然是同一证明的表述，但又有多大的不同呢？对此没有上下文不变的答案。如果两种情况的中心思想相同，数学家通常会很乐意将两种演示视为提供相同的证明。但是，如果一个人主要关心的是通过证明思考所涉及的内容，那么它的中心思想不足以将其个体化：总体结构、步骤顺序以及可能影响所涉及认知过程的其他一些因素将是相关的。

一旦证明的个性化问题得到解决，我们就可以区分可替换思维和多余思维，其中这些属性被理解为相对于给定的论证或证明。在通过证明进行思考的过程中，如果某种其他类型的思维可以在算作通过同一证明进行思考的过程中代替给定部分，则思维的给定部分是可以替换的。如果思维的某个特定部分被删除而不替换将成为通过相同证明进行思考的过程，那么该思维的给定部分就是多余的。多余的思考对于促进证明文本的理解和理解证明步骤背后的思想可能非常有价值；但没有必要思考证明。

毫无争议的是，符号操作中涉及的视觉思维，例如遵循有关群的基本引理证明的“代数”步骤，可能是必不可少的，它既不是多余的，也不是可替代的。令人担心的是用图表进行视觉思考，其中“图表”被广泛使用以包括所有非符号视觉表示。让我们同意，在思考证明时可能存在多余的图解思维。这留下了几种可能性。

(a) 通过证明进行思考的过程中的所有图解思维都是多余的。

(b) 证明思考过程中的图解思维并非都是多余的；但即使不是多余，它也会被非图解思维所取代。

(c) 证明思考过程中的一些图解思维既不是多余的，也不是非图解思维所取代的。

3.1 可靠性问题

前面指出图表在证明中不起任何作用的否定观点需要主张 (a)。 (a)背后的想法是，由于图解推理是不可靠的，如果通过论证进行思考的过程包含一些非多余的图解思维，那么该过程就缺乏作为通过证明进行思考的情况的认知安全性。

这种观点，特别是主张（a），受到非视觉证明图解思维可靠性的案例的威胁。最清晰的例子将由一个形式系统提供，该系统在其句法对象中用图表代替公式，以及推理规则的图表间转换类型。假设你采用这样一个形式系统及其解释，然后思考该系统相对于该解释的健全性的证明；假设您随后检查一系列图表，并一路检查它是否构成系统中的推导；假设你最终恢复了解释并得出结论。 （顺序并不重要：可以先进行推导，然后进行可靠性证明。）整个过程将构成通过结论证明进行思考；所涉及的图解思维也不是多余的。

申等人。 (2013) 报告称，逻辑和几何的形式图表系统已被证明是合理的。人们确实遵循了这些系统中的证据。这足以反驳主张（a），即通过证明进行思考时所有图解思维都是多余的主张。举一个具体的例子，图 1 展示了欧几里得第一定理的推导，即在欧几里得几何的一部分的正式图解系统中，在任何直线段上都可以构造等边三角形（Miller 2001）。

[一个三乘三的矩形数组，每个矩形包含一个图表。从左到右，然后从上到下，第一个有一条线段，两端各有一个点。 第二个是一个带有半径的圆，半径线段的两端都有点。第三个与第二个相同，只是使用相同的半径线段绘制另一个重叠的圆，但第一个圆的中心点现在位于周边，第一个圆的周边点现在位于第二个圆的中心，在两个圆处添加点圆相交的点。 第四个图与第三个图相同，只是从顶部交点到第一个圆的中心点绘制了一条线段。 第五张图与第四张图类似​​，只是从顶部交点到第二个圆的中心点绘制了一条线段。 ...]

图1

坦南特声称证明是“仅由句子组成的语法对象”而不是图表，这又如何呢？证明从来都不是语法对象。形式推导本身是一个句法对象，但不是证明。如果没有对形式系统语言的解释，推导的最终公式就什么也说不出来；所以什么都没有得到证明。如果没有证明系统在解释方面的健全性，人们可能缺乏足够的理由相信所有可得出的结论都是正确的。形式推导加上解释和健全性证明可以是推导结论的证明，但整个包不是语法对象。此外，证明中真正作为句法对象的部分，即形式推导，不必仅由句子组成；它可以是形式推导。它可以由图表组成。

处理掉主张（a）后，再次考虑主张（b），即虽然在证明思考过程中并非所有图解思维都是多余的，但在证明过程中所有非多余的图解思维都将被非图解思维所取代。思考同样的证明。使用米勒形式系统证明欧几里得第一定理的视觉思维包括浏览一系列图表，并在每一步中看到下一个图表是由上一个图表允许的更改产生的。显然，在这个证明的思考过程中，图解思维既不是多余的，也不是非图解思维所取代的。这就淘汰了(b)，只留下(c)：一些在证明中涉及图解思维的思维既不是多余的，也不是可以被非图解思维取代的（不改变证明）。

3.2 非形式化证明中的视觉手段

数学实践几乎从不通过正式系统进行。在正式图表系统的背景之外，人们普遍认为图表的使用是不可靠的。图表可能不忠实于所描述的结构：它可能表示具有描述所排除的属性的事物，或者不具有描述所要求的属性。所有三角形都是等腰命题的著名论证中的图表就证明了这一点：角平分线和对边垂直平分线的交点被表示为落入三角形内部，而实际上它必须在三角形外部（Rouse Ball麦克斯韦 1939；这类错误相对罕见，通常只要稍加注意就可以避免，而且并不是图表本质所固有的；因此，他们不值得被指责为不可靠。

主要的错误是无根据的概括。通常，图表（和其他非语言视觉表示）不会将其对象表示为具有实际上被要表示的对象的意图或规范所排除的属性。但是图表经常将其对象表示为具有虽然规范未排除但不要求的属性。口头描述可以是离散的，因为它们提供的信息不超过所需的信息。但视觉表示通常是不离散的，因为它们提供了太多细节。这通常是不可避免的，因为对于许多属性或种类 F，如果不以特定方式将某物表示为 F，则视觉表示无法将其表示为 F。例如，任何三角形图都必须将其表示为具有三个锐角或仅具有两个锐角，即使规范中没有要求这两个属性，就像规范“让 ABC 是一个三角形”的情况一样。 ”。因此，存在这样的危险：在使用图表来推理类 K 的任意实例时，我们将无意中依赖图表中表示的特征，而该特征并非对类 K 的所有实例都通用。因此，存在无根据的风险概括是使用许多图表所固有的危险。

图表的不严谨并不限于几何图形。用于说服数论基本真理之一的古代数学的点图或卵石图必然显示特定数量的点，尽管这些真理是普遍的。这是一个例子，用于证明第 n 个三角数的公式，即前 n 个正整数的和。

[蓝点网格，宽 5，深 7，右侧是一个大括号，包含标记为 n+1 的右列，底部是一个包含标记为 n 的底行的大括号]

图2

得出的结论是，对于任何正整数 n，从 1 到 n 的整数之和为 (n×n+1)/2，但图中显示的是 n=6 的情况。当我们仅仅想象相关类型的显示时，我们也许可以避免表示特定数量的点；或者，如果表示了一个特定的数字，我们的经验可能不会让我们意识到这个数字——就像当一个人想象星夜的天空时，因为没有特定的数字 k，我们意识到正好代表了 k 颗星星。即便如此，也可能存在一些额外的特殊性。例如，在想象刚刚示出的形式的点阵列时，人们不太可能想象只有两列三个点，即n=2的矩形阵列。通常，受试者会意识到想象一个具有两列以上的阵列。这意味着图像可能有意外的排除。在这种情况下，它将排除三乘二数组。将所有角度表示为锐角的三角形图像将排除具有钝角或直角的三角形。危险在于，视觉推理对于视觉表示无意中排除的情况无效，结果是得出结论的步骤是无根据的概括。

对此我们该怎么办？首先，我们要注意，在某些情况下，图像或图表不会过于具体。当在几何中相关类的所有实例彼此一致时，例如所有圆形或所有正方形，图像或图表对于该类的概括不会过于具体；因此，不会出现无意识的排除，也不会有无根据的概括的危险。这就是在证明中可靠的视觉思维的可能性。

为了弄清楚其他存在过度概括危险的情况，看看普通非视觉推理中的概括会有所帮助。简单地说，在推理 K 类事物时，一旦我们证明从某些前提出发，这样的条件对于任意实例 c 为真，我们就可以从这些相同的前提有效地推断出该条件对于任意实例 c 为真。所有 K，条件或任何前提均未提及 c。附带条件是必需的，因为如果前提或条件确实提到了 c，则推理可能取决于 c 的属性，而该属性并不为所有其他 K 所共享，因此泛化将是不安全的。举一个简单的例子，考虑从“x=c”到“∀x[x=c]”的步骤。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（笔尖小说网http://www.bjxsw.cc），接着再看更方便。